3.2 用数学归纳法证明不等式,贝努利不等式

时间:2019-9-9 19:05:05   作者:数学名师王老师
1.会用数学归纳法证明简单的不等式.
2.会用数学归纳法证明贝努利不等式.
3.了解贝努利不等式的应用条件.
知识点
  • 1.用数学归纳法证明不等式

    在不等关系的证明中,有多种多样的方法,其中数学归纳法是最常用的方法之一,在运用数学归纳法证不等式时,推导“$k+1$”成立时,比较法、分析法、综合法、放缩法等方法常被灵活地应用.

    【做一做1-1】 欲用数学归纳法证明:对于足够大的正整数n,总有$2^{n}>n^{3}, n_{0}$为验证的第一个值,则(  )

    A. $n_{0}=1$

    $\mathrm{B} \cdot n_{0}$为大于1小于10的某个整数

    $\mathrm{C} . n_{0} \geqslant 10$

    $\mathrm{D} \cdot n_{0}=2$

    解析:$n=1$时,$2 > 1;n=2$时,$4 < 8;n = 3 $时,$8 < 27;n = 4 $时,$16 < 64;n=5 $时,$32 < 125;n=6$时,$64 < 216;n=7$时,$128 < 343;n=8$时,$256 < 512;n=9$时,$512 < 729;n=10$时,$1024 > 1000$.故选$C$.

    答案::$C:$

    【做一做1-2】 用数学归纳法证明“$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{2^{n}-1} < n(n \in \mathbf{N}^{*}, n > 1 )$时,由$n=k(k > 1)$时不等式成立推证$n=k+1$时,左边应增加的项数是(  )

    $\begin{array}{ll}{\text { A. } 2^{k-1}} & {\text { B. } 2^{k}-1} \\ {\text { C. } 2^{k}} & {\text { D. } 2^{k}+1}\end{array}$

    解析:增加的项数为$\left(2^{k+1}-1\right)-\left(2^{k}-1\right)=2^{k+1}-2^{k}=2^{k}$.

    答案:C

  • 2.用数学归纳法证明贝努利不等式

    (1)定理1(贝努利不等式):设$x>-1$,且$x \neq 0, n$为大于1的自然数,则$(1+x)^{n}>1+n x$.

    (2)定理2:设$\alpha$为有理数,$x>-1$,①若$0<\alpha < 1$,则$(1+x)^{\alpha} \leq 1+\alpha x$;②若$\alpha < 0$或者$\alpha>1$,则$(1+x)^{\alpha} \geqslant 1+\alpha x$.当且仅当$x=0$时等号成立.

    名师点拨

    当指数推广到任意实数且$x>-1$时,

    ①若$0<\alpha < 1$,则$(1+x)^{\alpha} \leqslant 1+\alpha x$;

    ②若$\alpha < 0$或者$\alpha>1$,则$(1+x)^{\alpha} \geqslant 1+\alpha x$.

    当且仅当$x=0$时等号成立.

重难点
  • 应用数学归纳法证明不等式,从“$n=k$”到“$n=k+1$”证明不等式成立的技巧有哪些?

    剖析:在用数学归纳法证明不等式的问题中,从“$n=k$”到“$n=k+1$”的过渡,利用归纳假设是比较困难的一步,它不像用数学归纳法证明恒等式问题一样,只需拼凑出所需要的结构来,而证明不等式的第二步中,从“$n=k$”到“$n=k+1$”,只用拼凑的方法,有时也行不通,因为对不等式来说,它还涉及“放缩”的问题,它可能需通过“放大”或“缩小”的过程,才能利用上归纳假设,因此,我们可以利用“比较法”“综合法”“分析法”等来分析从“$n=k$”到“$n=k+1$”的变化,从中找到“放缩尺度”,准确地拼凑出所需要的结构.

例题解析
  • 用数学归纳法证明数列型不等式

    【例1】 已知数列$\left\{a_{n}\right\}$满足$a 1=\frac{3}{2}$,且$a_{n}=\frac{3 n a_{n-1}}{2 a_{n-1}+n-1}\left(n \geqslant 2, n \in \mathbf{N}^{*}\right)$

    (1)求数列$\left\{a_{n}\right\}$的通项公式;

    (2)求证:对一切正整数$n$,不等式$a_{1} a_{2} \dots a_{n} < 2 n$!恒成立.

    分析:由题设条件知,可用构造新数列的方法求得$a_{n}$;第(2)问的证明,可以等价变形,视为证明新的不等式.

    反思
    利用数学归纳法证明数列型不等式的关键是由$n=k$到$n=k+1$的变形.为满足题目的要求,常常要采用“放”与“缩”等手段,但是放缩要有度,这是一个难点,解决这类问题一是要仔细观察题目的结构,二是要靠经验积累.

  • 用数学归纳法比较大小

    【例2】 已知$f(x)=\frac{x^{n}-x^{-n}}{x^{n}+x^{-n}}$,对于$x \in \mathbf{N}^{*}$,试比较f$f(\sqrt{2})$与 $\frac{n^{2}-1}{n^{2}+1}$ 的大小,并说明理由.

    分析:先通过$n$取比较小的值进行归纳猜想,确定证明方向,再用数学归纳法证明.

    反思
    利用数学归纳法比较大小,关键是先用不完全归纳法归纳出两个量的大小关系,猜测出证明方向,再利用数学归纳法证明结论成立.

  • 用数学归纳法证明探索型不等式

    【例3】 若不等式 $\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\dots+\frac{1}{3 n+1}>\frac{a}{24}$ 对一切

    正整数 $n $都成立,求正整数 $a $的最大值,并证明你的结论.

    分析:用数学归纳法证明从 $n=k $到 $n=k+1 $时,为利用假设需增加因式  $\frac{1}{k+1}$对于除含有 $n=k$的因式外的其余的项运用不等式的性质证明其大于零即可.

    反思
    用数学归纳法解决探索型不等式的思路是:观察??归纳??猜想??证明,即先通过观察部分项的特点进行归纳,判断并猜测出一般结论,然后用数学归纳法进行证明.

  • 真题

    1.下列选项中,满足$1 \times 2+2 \times 3+3 \times 4+\ldots+n X(n+1) \\ > 3 n^{2}-3 n+2$
    的自然数$n$是(  )

    A.1  B.2

    C.3  D.4

    2.用数学归纳法证明“$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\dots+\frac{1}{n+n} \geq \frac{11}{24}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$”时,由$n=k$到$n=k+1$时,不等式左边应添加的项是(  )

    A. $\frac{1}{2(k+1)}$

    B. $\frac{1}{2 k+1}+\frac{1}{2 k+2}$

    C. $\frac{1}{2 k+1}+\frac{1}{2 k+2}-\frac{1}{k+1}$

    D. $\frac{1}{2 k+1}+\frac{1}{2 k+2}-\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2}$

    3.证明 $\frac{n+2}{2} < 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{2 n} < n+1(n>1)$,当$n=2$时,要证明的式子为_________. 

    4.用数学归纳法证明 $\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\dots+\frac{1}{(n+1)^{2}}>\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$,假设当$n=k$时不等式成立,则当$n=k+1$时,应推证的目标不等式是_________.

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