3.2.3直线与平面的夹角 -3.2.4二面角及其度量

时间:2019-9-9 19:05:04   作者:数学名师王老师
1.理解斜线和平面所成角的定义,体会夹角定义的唯一性、合理性.
2.会求直线与平面所成的角.
3.掌握二面角的概念,二面角的平面角的定义,会找一些简单图形中的二面角的平面角.
4.掌握求二面角大小的基本方法.
知识点
  • 1.直线与平面的夹角

    (1)如果一条直线与一个平面垂直,我们规定这条直线与平面的夹角为$90^{\circ}$;

    (2)如果一条直线与一个平面平行或在平面内,我们规定这条直线与平面的夹角为$0^{\circ}$;

    (3)斜线和它在平面内的射影所成的角叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角);

    (4)直线与平面的夹角的范围是$\left[0^{\circ}, 90^{\circ}\right]$.

    【做一做1】 已知直线$l$的一个方向向量与平面$\alpha$的法向量的夹角为$135^{\circ}$,则直线$l$与平面$\alpha$的夹角为(  )

    $A .135^{\circ}$  B.45°  C.75°  D.以上均错

    解析:因为直线与平面的夹角的范围是$\left[0^{\circ}, 90^{\circ}\right]$,所以直线$l$与平面$\alpha$的夹角为$180^{\circ}-135^{\circ}=45^{\circ}, 90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}$.

    答案:B

  • 2.最小角定理

    (1)线线角、线面角的关系式:

    $\cos \theta=\cos \theta_{1} \cos \theta_{2}$, 

    如图,$\theta$是$OA$与$OM$所成的角,

    $\theta_{1}$是$OA$与$OB$所成的角,

    $\theta_{2}$是$OB$与$OM$所成的角.

    (2)最小角定理:

    斜线和它在平面内的射影所成的角,是斜线和这个平面内的______所有直线所成角中最小的角.

    blob.png

    【做一做2】 已知一条直线与平面的夹角为$30^{\circ}$,则它和这个平面内所有直线所成角中最小的角为(  )

    $A .30^{\circ} \mathrm{B} .60^{\circ} \mathrm{C.} 90^{\circ} \mathrm{D} .150^{\circ}$

    答案:A

  • 3.二面角的定义及表示方法

    (1)平面内的一条直线把平面分为两部分,其中的每一部分都叫做半平面.

    (2)从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角;这条直线叫做二面角的棱,每个半平面叫做二面角的面.棱为$l$,两个面分别为$\alpha, \beta$的二面角,记作$\alpha-1-\beta$.若$A \in \alpha, B \in \beta$,二面角也可以记作$A-l-B$. 

    (3)二面角的平面角

    在二面角$\alpha-l-\beta$的棱上任取一点O,在两半平面内分别作射线$O A \perp l, O B \perp l$,则$\angle A O B$叫做二面角$a-l-\beta$的平面角. 

    (4)二面角的范围是$\left[0^{\circ}, 180^{\circ}\right]$.

    (5)平面角是直角的二面角叫做直二面角.

    名师点拨

    1.二面角是图形,它是由两个半平面和一条棱构成的图形.

    2.符号$\alpha-l-\beta$的含义是棱为$l$,两个面分别为$\alpha, \beta$的二面角.

    3.两个平面相交,构成四个二面角.

    【做一做3】 在正方体$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$中,二面角$A-B_{1} C-A_{1}$的平面角的正切值为(  )

    $\begin{array}{ll}{\text { A.1 }} & {\text { B. } \frac{\sqrt{2}}{2}} \\ {\text { C. } \sqrt{2}} & {\text { D. } \sqrt{3}}\end{array}$

    解析:连接$A_{1} D$,设$A_{1} D, B_{1} C$的中点分别为$E, F$,连接$A F_{,} E F$,可知$\angle A F E$是所求二面角的平面角.在$\operatorname{Rt} \triangle A E F$中,$\tan \angle A F E=\frac{A E}{E F}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} A B}{A B}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

    答案:B

    4.设$\mathbf{m}_{1} \perp \alpha, \mathbf{m}_{2} \perp \beta$,则角$<\mathbf{m}_{1},\mathbf{m}_{2}>$与二面角$\alpha-l-\beta$相等或互补.

    【做一做4】 若二面角的两个半平面的法向量分别为$(4,2,0)$和$(3,-6,5)$,则这个二面角的余弦值是(  )

    A. 0$\quad$ B. $\frac{\sqrt{3}}{2} \quad$ C. $\frac{1}{2} \quad$ D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

    解析:$4 \times 3+2 \times(-6)+0 \times 5=0$,则二面角的两个半平面的法向量互相垂直.故这个二面角的余弦值是0.

    答案:A

重难点
  • 1.如何理解直线与平面所成的角?

    剖析:(1)直线与平面斜交时,直线与平面所成的角是指这条直线和它在平面内的射影所成的锐角;

    (2)直线与一个平面垂直时,直线与平面的夹角为$90^{\circ}$;

    (3)一条直线与一个平面平行或在平面内时,直线与平面的夹角为$0^{\circ}$.

  • 2.如何用向量求线面角?

    剖析:设直线l的方向向量为$\mathbf{a}$,平面的法向量为$\mathbf{n}$,直线与平面所成的角为$\theta$,则$\sin \theta=|\cos <\mathbf{a},\mathbf{b}>|=\frac{|a \cdot n|}{|a||n|}$,

  • 3.如何理解二面角的平面角?

    剖析:二面角的平面角必须具备三个条件:

    (1)二面角的平面角的顶点在二面角的棱上;

    (2)二面角的平面角的两条边分别在二面角的两个面内;

    (3)二面角的平面角的两条边都与棱垂直,且平面角的大小与平面角在棱上的位置无关.

  • 4.如何求二面角?

    剖析:(1)作出二面角的平面角;

    (2)利用法向量的夹角.

例题解析
  • 用定义法求直线与平面所成的角

    【例1】 已知$\angle B O C$在平面$\alpha$内,$OA$是平面$\alpha$的一条斜线,若$\angle A O B=\angle A O C \\ =60^{\circ}, O A=O B=O C=a,
    B C=\sqrt{2} a$
    ,求$OA$与平面$\alpha$所成角的大小.


    分析:解答本题可找出点$A$在平面内射影的位置,作出线面角,然后解三角形求出线面角.

    反思

    用定义法求直线与平面所成的角时,关键是找到斜线的射影,找射影有两种方法:(1)斜线上任一点在平面内的射影必在斜线在平面内的射影上;(2)利用已知垂直关系得出线面垂直,确定射影.

  • 用向量法求直线与平面所成的角

    【例2】 在直三棱柱$A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$中,$\angle A C B=90^{\circ} A C=2 B C, A_{1} B \perp B_{1} C$

    求$B_{1} C$与侧面$A_{1} A B B_{1}$所成角的正弦值.

    分析:因为是直三棱柱,所以本题可建立空间直角坐标系,利用直线的方向向量与平面的法向量的夹角求解.

    反思

    利用向量法求斜线与平面的夹角的优势在于不用找角,只需建立适当的坐标系,用待定系数法求出平面的法向量,再用公式求解即可.但要注意法向量的正确性以及线面角与向量夹角的关系.

  • 用定义法求二面角的大小

    【例3】 如图,在四面体$A B C D$中,$A D \perp$平面$B C D, A D=D C=B C=a, A B=\sqrt{3} a$,

    blob.png

    (1)求证:平面$A B C \perp$平面$A D C$;

    (2)求二面角$C-A B-D$的大小.

    分析:(1)可利用面面垂直的判定定理证明;

    (2)利用平面$ABC$垂直于平面$A D C$,作出所求二面角的平面角,然后解三角形求角.

    反思

    所谓定义法,就是作出二面角的平面角,然后通过解三角形求解.作出二面角的平面角常用的方法有:(1)找与二面角的棱垂直的平面与二面角两半平面的交线;(2)在二面角的一个面上取一点,利用三垂线定理作平面角;(3)在二面角的棱上取一点,分别在两个面内作出和棱垂直的射线.

  • 用向量法求二面角的大小

    【例4】 在正方体$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$中,求二面角$A_{1}-B D-C_{1}$的余弦值.

    分析:本题可建立空间直角坐标系,分别求平面$C_{1} B D$和平面$A_{1} B D$的一个法向量,然后通过法向量的夹角的余弦值求得二面角的余弦值.

    反思    
    用向量法求二面角有如下方法:

    (1)可以在两个半平面内作垂直于棱的向量,转化为这两个向量的夹角,但需注意两个向量的起点应始终在二面角的棱上.

    (2)建立空间直角坐标系,分别求两个平面的法向量$\mathbf{m}, \mathbf{n}$,根据$\cos \theta=\frac{|m \cdot n|}{|m||n|}$,若二面角为锐角,则为$\theta$,若二面角为钝角,则为$180^{\circ}-\theta$.

  • 真题

    1.在正方体$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$中,$O$为侧面$B C C_{1} B_{1}$的中心,则$AO$与平面$ABCD$所成角的正弦值为(  )

    A. $\frac{\sqrt{3}}{3} \mathrm{B} \cdot \frac{1}{2} \mathrm{C} \cdot \frac{\sqrt{6}}{6} \mathrm{D} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

    2.若正三棱锥$A-B C D$的所有棱长都相等,则侧棱与底面所成的角的正切值是(  )

    A. $\sqrt{3} \mathrm{B} \cdot \sqrt{2} \mathrm{C} . \frac{\sqrt{3}}{3} \mathrm{D} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

    3.若$BC$在平面$\alpha$内,斜线$AB$与平面$\alpha$所成的角为$\gamma, \angle A B C=\theta A A^{\prime} \perp$平面$\alpha$,垂足为$A^{\prime}, \angle A^{\prime} B C=\beta$,那么(  )

    $A \cdot\cos \theta=\cos y \cdot \cos \beta \quad \\B \cdot\sin \theta=\sin y \cdot \sin \beta$

    $\mathrm{C} \cdot \cos \gamma=\cos \theta \cdot \cos \beta \quad \\ \operatorname{D.cos} \beta=\cos \gamma \cos \theta$

    4.已知正四面体$A B C D$,则二面角$A-B C-D$的余弦值为(  )

    $\mathrm{A} \cdot \frac{1}{2} \mathrm{B} \cdot \frac{1}{3} \mathrm{C} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \mathrm{D} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

    5.设$\mathbf{a}=(0,1,1), \mathbf{b}=(1,0,1)$分别是平面$\alpha, \beta$的两个法向量,则锐二面角$\alpha-l-\beta$的大小是(  )

    $\begin{array}{ll}{\text { A. } 45^{\circ}} & {\text { B. } 90^{\circ}} \\ {\text { C.60 }^{\circ}} & {\text { D. } 120^{\circ}}\end{array}$

声明:本站部分内容搜集整理自互联网,如果涉及侵犯您的版权,请联系我们举报,并提供相关证据,工作人员会在5个工作日内回复您,一经查实,本站将立刻删除涉嫌侵权内容。