2.2.2 等差数列的前n项和

时间:2019-9-9 19:05:04   作者:数学名师王老师
1.理解等差数列前n项和公式推导过程.
2.掌握等差数列前n项和公式.
3.熟练掌握等差数列的五个量$a_{1}, d, n, a_{n}, S_{n}$的关系.
知识点
  • 1.等差数列的前n项和公式

    已知量

    首项、末项与项数

    首项、公差与项数

    求和公式

    $S_{n}=\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{a}_{1}+\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right)}{2}$

    $S_{n}=n a_{1}+\frac{n(n-1)}{2} d$

    名师点拨

    1.倒序相加法是解决等差数列求和问题的基本方法,利用倒序相加法可以推出等差数列的前$n$项和公式.

    2.等差数列的前$n$项和公式有两个,一共涉及$a_{1}, a_{n}, S_{n}, n, d$五个量,通常已知其中三个量,可求另外两个量,解答方法就是解方程组.

    3.当已知首项$a_{1}$和末项$a_{n}$及项数$n$时,用公式$S_{n}=\frac{n\left(a_{1}+a_{n}\right)}{2}$来求和,用此公式时常结合等差数列的性质.

    4.当已知首项$a_{1}$和公差$d$及项数$n$时,用公式$S_{n}=n a_{1}+\frac{n(n-1)}{2} d$来求和.

    【做一做1-1】 设$S_{n}$为等差数列$\left\{a_{n}\right\}$的前n项和,$S_{8}=4 a_{3}, a_{7}=-2$,则$a_{9}$的值为(  )

    A.-6  B.-4  C.-2  D.2

    解析:由$S_{8}=4 a_{3}$知$a_{1}+a_{8}=a_{3}, a_{8}=a_{3}-a_{1}=2 d=a_{7}+d$,所以$a_{7}=d=-2$.

    所以$a_{9}=a_{7}+2 d=-2-4=-6$.

    答案:$A$

    【做一做1-2】 等差数列$\left\{a_{n}\right\}$的前n项和为$S_{n}$,若$a_{3}+a_{17}=10$,则$S_{19}$的值为(  )

    A.55  B.95 

    C.100  D.不能确定

    解析:$\because a_{1}+a_{19}=a_{3}+a_{17}=10$,

    $\therefore S_{19}=\frac{19\left(a_{1}+a_{19}\right)}{2}=\frac{19 \times 10}{2}=95$

    答案:$B$

  • 2.等差数列前n项和公式与函数的关系

     由于$S_{n}=n a_{1}+\frac{n(n-1)}{2} d=\frac{d}{2} n^{2}+\left(a_{1}-\frac{d}{2}\right) n$,当$d \neq 0$时,此公式可看作二次项系数为$\frac{d}{2}$,一次项系数为$a_{1}-\frac{d}{2}$,常数项为0的二次函数,其图象为抛物线$y=\frac{d}{2} x^{2}+\left(a_{1}-\frac{d}{2}\right) x$上的点集,坐标为$\left(n, S_{n}\right)\left(n \in \mathbf{N}_{+}\right)$.

    因此,由二次函数的性质立即可以得出结论:当$d>0$时,$S_{n}$有最小值;当$d < 0$时,$S_{n}$有最大值.

    归纳总结
    数列中的最值问题可以根据二次函数的最值加以求解,这也是利用函数解决数列问题的一个重要应用.

    【做一做2-1】 已知等差数列$\left\{a_{n}\right\}$的通项公式$a_{n}=19-2 n$,则$\left\{a_{n}\right\}$的前________项和最大. 

    答案:9

    【做一做2-2】 已知数列$\left\{a_{n}\right\}$的前$n$项和$S_{n}=n^{2}-12 n$,则当$n$等于    时,$S_{n}$最小. 

    答案:6

重难点
  • 一、关于等差数列中奇数项和、偶数项和的问题

    剖析:(1)当等差数列$\left\{a_{n}\right\}$有偶数项时,设项数为2$n$,

    blob.png

    (2)当等差数列$\left\{a_{n}\right\}$有奇数项时,设项数为$2 n+1$,

    blob.png

    blob.png


    综上所述,等差数列奇数项和、偶数项和有如下性质:

    blob.png

    熟练运用这些性质,可以提高解题速度.


    知识链接除了上述性质外,与前$n$项和有关的性质还有:

    (1)等差数列的依次连续每k项之和$S_{k}, S_{2 k}-S_{k}, S_{3 k}-S_{2 k}, \cdots$组成公差为$k^{2} d$的等差数列.

    (2)若$S_{n}$为数列$\left\{a_{n}\right\}$的前n项和,则数列$\left\{a_{n}\right\}$为等差数列等价于数列$\left\{\frac{S_{n}}{n}\right\}$是等差数列.

    (3)若数列$\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$都为等差数列,$S_{n}, S_{n}^{\prime}$为它们的前$n$项和,则$\frac{a_{m}}{b_{m}}=\frac{S_{2 m-1}}{S_{2 m-1}^{\prime}}$

  • 二、教材中的“?”

    如果仅利用通项公式,能求出使得$S_{n}$最小的序号$n$的值吗?

    剖析:如果仅利用通项公式,也可求出使得$S_{n}$最小的序号$n$的值.因为该数列的通项公式为$a_{n}=4 n-32$,其各项为$-28,-24, \cdots,-4,0,4, \cdots$,可以看出,所有负数或非正数的项相加其和最小,$n$的值为7或8.

  • 三、教材中的“思考与讨论”

    1.如果已知数列$\left\{a_{n}\right\}$的前$n$项和$S_{n}$的公式,那么这个数列确定了吗?如果确定了,那么如何求它的通项公式?应注意一些什么问题?

    剖析:确定了.由公式$a_{n}=\left\{\begin{array}{l}{S_{1}, n=1} \\ {S_{n}-S_{n-1}, n \geq 2}\end{array}\right.$来求解,求解时要分类讨论,要注意验证当$n=1$时是否也适合当n \geqslant 2时的式子,能写成统一的形式就将$a_{1}$合进来,否则保留分段函数形式.


    2.如果一个数列的前$n$项和的公式是$S_{n}=a n^{2}+b n+c(a, b, c$为常数$)$,那么这个数列一定是等差数列吗?

    剖析:等差数列前$n$项和公式变形为$S_{n}=\frac{d}{2} n^{2}+\left(a_{1}-\frac{d}{2}\right) n$ .当$d \neq 0$时,是关于$n$的二次函数,如果一个数列的前$n$项和公式是$S_{n}=a n^{2}+b n+c(a, b, c$为常数$)$,那么这个数列的通项公式是

    $a_{n}=\left\{\begin{array}{l}{a+b+c, n=1} \\ {2 a n-a+b, n \geq 2}\end{array}\right.$

    只有当$c=0$时,$a_{1}=a+b+c$才满足$a_{n}=2 a n-a+b$.因此,当数列的前$n$项和公式为$S_{n}=a n^{2}+b n$时,所确定的数列才是等差数列,此时,等差数列的公差$d=2 a$.

例题解析
  • 等差数列的前$n$项和公式的直接应用

    【例1】 在等差数列$\left\{a_{n}\right\}$中,

    (1)已知$a_{10}=30, a_{20}=50, S_{n}=242$,求n;

    (2)已知$S_{8}=24, S_{12}=84$,求$a_{1}$和d;

    (3)已知$a_{6}=20, S_{5}=10$,求$a_{8}$和$S_{8}$;

    (4)已知$a_{16}=3$,求$S_{31}$.

    分析:在等差数列的前$n$项和公式中有五个基本量$a_{1}, a_{n}, d, n, S_{n}$,只要已知任意三个量,就可以求出其他两个量.

    反思

    在等差数列$\left\{a_{n}\right\}$中,首项$a_{1}$与公差$d$是两个最基本的元素,有关等差数列的问题,均可化成有关$a_{1}, d$的方程或方程组求解.解题过程中,要注意:(1)选择适当的公式;(2)合理利用等差数列的有关性质.

    【变式训练1】 在等差数列$\left\{a_{n}\right\}$中, 

    (1)已知$d=\frac{1}{2}, a_{n}=\frac{3}{2}, S_{n}=-\frac{15}{2}$,求$\alpha_{1}$和n

    (2)已知$d=2, a_{20}=29$,求$S_{20}$.  

  • $S_{n}$与$a_{n}$的关系问题

    【例2】 已知下列各数列$\left\{a_{n}\right\}$的前$n$项和$S_{n}$,求$\left\{a_{n}\right\}$的通项公式.

    $(1) S_{n}=1-\frac{1}{2^{n}}$

    $(2) S_{n}=2 n^{2}-3 n-1$

    分析:利用$a_{n}=\left\{\begin{array}{l}{S_{1}, n=1} \\ {S_{n}-S_{n-1}, n \geq 2}\end{array}\right.$求解.

    反思
    利用$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}$时应注意以下三点:

    (1)由$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}$求$a_{n}$使用的条件是$n \geqslant 2$;

    (2)由$S_{n}-S_{n-1}$求得$a_{n}$,如果当$a_{1}=S_{1}$时,恰好与当$n=1$时$a_{n}$的值相等,那么$a_{n}$就是$\left\{a_{n}\right\}$的通项公式;

    (3)由$S_{n}-S_{n-1}$求得$a_{n}$,当$n=1$时,$a_{1}$的值与当$a_{1}=S_{1}$时的值不相等,那么

    数列的通项公式应用分段表示法,即$a_{n}=\left\{\begin{array}{l}{S_{1}, n=1} \\ {S_{n}-S_{n-1}, n \geq 2}\end{array}\right.$

    【变式训练2】 已知数列$\left\{a_{n}\right\}$满足$a_{1}=1, S_{n}=\frac{n+1}{2} a_{n}$,求通项公式$a_{n}$.

  • 等差数列前$n$项和性质的应用

    【例3】 项数为奇数的等差数列,奇数项之和为44,偶数项之和为33,求这个数列的中间项及项数.

    分析:已知等差数列的奇、偶数项的和,求特殊项与项数,可从整体上直接考虑奇、偶数项的和与特殊项及项数的关系.

    反思
    在等差数列$\left\{a_{n}\right\}$中,(1)若项数为$2 n+1\left(n \in \mathbf{N}_{+}\right)$,则blob.png,其中blob.png;(2)若数列项数为2$n\left(n \in \mathbf{N}_{+}\right)$,则blob.png.

    【变式训练3】 在等差数列$\left\{a_{n}\right\}$中,$S_{10}=100, S_{100}=10$,求$S_{110}$. 

  • 等差数列前$n$项和的最值问题

    【例4】 在等差数列$\left\{a_{n}\right\}$中,$a_{1}=25, S_{17}=S_{9}$,求$S_{n}$的最大值.

    分析:本题可用二次函数求最值或由通项公式求$n$,使$a_{n} \geqslant 0, a_{n+1} < 0$或利用等差数列的性质求出大于或等于零的项.

    反思
    求解等差数列的前$n$项和最大(最小)问题的常用方法有:

    (1)二次函数法:由于$S_{n}=\frac{d}{2} n^{2}+\left(a_{1}-\frac{d}{2}\right) n$ 是关于$n$的二次式,因此可用二次函数的最值来确定$S_{n}$的最值,但要注意这里的$n \in \mathbf{N}_{+}$.

    (2)图象法:可利用二次函数图象的对称性来确定$n$的值,使$S_{n}$达到最大(或最小).

    (3)通项法:由于$S_{n}=S_{n-1}+a_{n}$,所以当$a_{n} \geqslant 0$时,$S_{n} \geqslant S_{n-1}$;当$a_{n} \leqslant 0$时,$S_{n} \leqslant S_{n-1}$,因此当$a_{1}>0$,且$d < 0$时,使$a_{n} \geqslant 0$的最大的n的值,使$S_{n}$最大;当$a_{1} < 0, d > 0$时,满足$ a_{n} \leqslant 0 $的最大的$n$的值,使$S_{n}$最小.

    【变式训练4】 已知数列$\left\{a_{n}\right\}$是等差数列,且满足$a_{n}=40-4 n$,求当$n$取何值时,数列的前$n$项和最大,最大值为多少?

  • 易错辨析

    易错点1:忽视$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}$的适用条件而致误

    【例5】 若数列$\left\{a_{n}\right\}$的前$n$项和为$S_{n}=3 n^{2}-2 n+1$求数列$\left\{a_{n}\right\}$的通项公式,并判断它是否为等差数列.

    易错点2:错用等差数列的性质而致误

    【例6】 已知两个等差数列$\left\{a_{n}\right\}$与$\left\{b_{n}\right\}$的前$n$项和分别为$S_{n}, S_{n}^{\prime}$,且它们满足$\frac{S_{n}}{S_{n}^{\prime}}=\frac{n+3}{n+1}$,求$\frac{a_{10}}{b_{10}}$

  • 真题

    1.已知在等差数列$\left\{a_{n}\right\}$中,$a_{2}=7, a_{4}=15$,则前10项的和$S_{10}$等于(  )

    A.100  B.210  C.380  D.400

    2.设等差数列$\left\{a_{n}\right\}$的前$n$项和为$S_{n}$,若$S_{m-1}=-2, S_{m}=0, S_{m+1}=3$,则$m$的值为(  )

    A.3  B.4  C.5  D.6

    3.已知等差数列$\left\{a_{n}\right\}$的前$m$项和为30,前$2m$项和为100,则它的前$3m$项和为(  )

    A.130  B.170 

    C.210  D.260

    4设数列$\left\{a_{n}\right\}$是等差数列,且$a_{2}=-6, a_{8}=6, S_{n}$是数列$\left\{a_{n}\right\}$的前$n$项和,则(  )

    $\mathrm{A.S}_{4} < S_{5} \mathrm{B.S}_{4}=S_{5}$

    $\mathrm{C.S}_{6} < S_{5} \mathrm{D} . S_{6}=S_{5}$

    5.设数列$\left\{a_{n}\right\}$的前n项和为$S_{n}=2-2 \cdot 3^{n}$,则通项公式$a_{n}=$_________. 

    6.设公差不为零的等差数列$\left\{a_{n}\right\}, S_{n}$是数列$\left\{a_{n}\right\}$的前n项和,且$S_{3}^{2}=9 S_{2}, S_{4}=4 S_{2}$,则数列{$\left\{a_{n}\right\}$的通项公式为_________. 

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