2.3.1 等比数列

时间:2019-9-9 19:05:04   作者:数学名师王老师
1.理解等比数列的定义,并能利用定义判断或证明一个数列是否为等比数列.
2.掌握等比数列的通项公式及性质,能够用它解决有关等比数列的问题.
3.了解等比数列与指数函数的关系.
知识点
  • 1.等比数列的定义

    如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母$q(q \neq 0)$表示.定义表达式为$\frac{a_{n}}{a_{n-1}}=q(n \geqslant 2)$.

    知识拓展
    1.对于公比$q$,要注意它是每一项与它前一项的比,应防止把相邻两项的比的次序弄颠倒.

    2.“从第2项起”是因为首项没有“前一项”,同时注意如果一个数列不是从第2项起,而是从第3项或第4项起每一项与前一项的比都是同一个常数,此数列不是等比数列,这时可以说此数列从第2项起或第3项起是等比数列.

    3.如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的比尽管是一个与n无关的常数,但却是不同的常数,那么此数列不是等比数列.

    【做一做1】 下列数列中,等比数列的个数是_________. 

    ①$-1,-2,-4,-8$;②$1,-\sqrt{3}, 3,-3 \sqrt{3}$;③$1,1,1,1$;④$a, a, a, a$.

    解析:若常数列的各项不为零,则它也是等比数列,所以③是等比数列;①是首项为-1,公比为2的等比数列;②是首项为1,公比为$-\sqrt{3}$的等比数列;④中$a$的值没确定,当$a=0$时,这4个数不能构成等比数列.

    答案:3

  • 2.等比数列的通项公式

    设等比数列$\left\{a_{n}\right\}$的首项为$a_{1}$,公比为q,则通项公式为$a_{n}=a_{1} q^{n-1}$.其中,$a_{1}, q$均不为0.

    名师点拨

    等比数列的通项公式$a_{n}=a_{1} q^{n-1}$的另外一种形式为$a_{n}=a_{m} \cdot q^{n-m}$.

    【做一做2】已知在等比数列$\left\{a_{n}\right\}$中,$a_{1}=8, a_{4}=64$,则公比$q$为 (  )

    A.2  B.3  C.4  D.8

    解析:由等比数列的通项公式,得$a_{4}=a_{1} q^{3}$,即$64=8 \times q^{3}$,所以$q=2$.

    答案:$A$

  • 3.等比中项

    如果三个数$x, G, y$组成等比数列,那么$G$叫做x与y的等比中项,即$G^{2}=x y$;反过来,如果$x, y$同号,$G=\sqrt{x y}$或$G=-\sqrt{x y}$即$G^{2}=x y$,那么G是x,y的等比中项.在等比数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项,即$a_{n}^{2}=a_{n-1} a_{n+1}(n \geqslant 2)$.

    知识拓展
    1.$x, G, y$成等比数列等价于“$G^{2}=x y$”(x,y均不为0),可以用它来判断或证明三个数成等比数列,要注意“$x, G, y$成等比数列”与“$G=\sqrt{x y}$”是不等价的,而应与“$G=\pm \sqrt{x y}$”等价.

    2.当$x,y$同号时,$x,y$的等比中项有两个,异号时没有等比中项.

    3.在任意两个非零实数$x$和$y$之间,可以插入$n$个数使之成为等比数列.但要注意:在实数范围内,当$x y>0$时,$x, y$之间可以插入任意个数;当$x y < 0$时,在$x$和$y$之间只能插入偶数个数使之成为等比数列.

    【做一做3】 若$2+\sqrt{3}, x, 2-\sqrt{3}$成等比数列,则$x$的值是(  )

    $\begin{array}{ll}{\text { A. } 1} & {\text { B. }-1} \\ {\text { C. } \pm 1} & {\text { D.2 }}\end{array}$

    解析:由题意,得$x^{2}=(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=1$

    $\therefore x=\pm 1$,

    答案:C 

重难点
  • 一、解读等比数列的主要性质

    剖析:在等比数列问题的解答中,运用基本量转化是最基本的方法.但灵活运用等比数列性质,便可使求解的过程更简捷,所以解答问题时要优先考虑等比数列的性质.等比数列有以下性质:

    (1)在等比数列$\left\{a_{n}\right\}$中,若$m+n=p+q$,则$a_{m} a_{n}=a_{p} a_{q}$.

    (2)若数列$\left\{a_{n}\right\}$是有穷数列,则与首末两项等距离的两项的积相等,且等于首末两项之积.

    (3)在等比数列$\left\{a_{n}\right\}$中,每隔$k$项取出一项,按原来的顺序排列,所得新数列仍为等比数列,公比为$q^{k+1}$.

    (4)当数列$\left\{a_{n}\right\}$是公比为$q$,且各项都为正数的等比数列时,数列$\left\{\lg a_{n}\right\}$是公差为$\lg q$的等差数列.

    (5)在等比数列$\left\{a_{n}\right\}$中,当$m, n, p\left(m, n, p \in \mathbf{N}_{+}\right)$成等差数列时,$a_{m}, a_{n}, a_{p}$成等比数列.

    (6)在等比数列$\left\{a_{n}\right\}$中,若公比为q,则数列$\left\{\lambda a_{n}\right\}$仍是公比为$q$的等比数列;若$\left\{b_{n}\right\}$是公比为$q^{\prime}$的等比数列,则数列$\left\{a_{n} \cdot b_{n}\right\}$是公比为$q \cdot q^{\prime}$

    的等比数列;数列$\left\{\frac{1}{a_{n}}\right\}$是公比为$\frac{1}{q}$的等比数列;$\left\{\left|a_{n}\right|\right\}$是公比为$|q|$的等比数列.

  • 二、求数列通项公式的方法

    剖析:1.如果已知数列为等差(或等比)数列,可直接根据等差(或等比)数列的通项公式,求得$a_{1}, d$(或q),直接套用公式即可.

    2.若已知数列的前n项和求通项时,通常用公式 $a_{n}=\left\{\begin{array}{ll}{S_{1},} & {n=1} \\ {S_{n}-S_{n-1}, n} & { \geq 2}\end{array}\right.$用此公式时我们应当注意结论有两种可能,一种是“一分为二”,即分段式;另一种是“合二为一”,即$a_{1}和a_{n}(n \geq 2)$合为一个表达式.

    3.对于$a_{n+1}=a_{n}+f(n)$型或$a_{n+1}=f(n) a_{n}$型的数列,其中$f(n)$是等差数列或等比数列,可以根据递推公式,写出$n$取1到$n$时的所有的递推关系式,然后将它们分别相加(或相乘)即可得到通项公式.

    4.有些数列本身并不是等差数列或等比数列,但可以经过适当变形,构造出一个等差数列或等比数列,从而利用这个数列求其通项

    公式,这叫做构造法.例如:在数列$\left\{a_{n}\right\}$中,$a_{1}=1, a_{2}=2, a_{n+2}=\frac{2}{3} a_{n+1}+\frac{1}{3} a_{n}$,我们在上式的两边减去$a_{n+1}$,得$a_{n+2}-a_{n+1}=-\frac{1}{3}\left(a_{n+1}-a_{n}\right)$,即可构造一个等比数列来解决问题.

  • 三、教材中的“?”

    1.为什么$q \neq 0$?等比数列中的项有可能等于0吗?

    剖析:因为等比数列的公比是后项与前项的商,其商不能为0,除数也不可能为0,故$q \neq 0$,在等比数列中,各项都不会为0.

    2.等差数列的通项公式是怎样推导出来的?怎样用类似的方法推导等比数列的通项公式?

    剖析:等差数列的通项公式是利用累加的方法推出的;等比数列的通项公式的推导类似于等差数列,先采用归纳的方法猜想出通项公式,然后利用迭乘的方法证明得$a_{n}=a_{1} q^{n-1}$.


    3.你能通过公比$q$的不同取值,对等比数列进行分类吗?

    剖析:当$a_{1} > 0, q > 1$或$a_{1} < 0,0 < q < 1$时,数列$\left\{a_{n}\right\}$为递增数列;

    当$a_{1} > 0,0 < q < 1 $ 或 $a_{1} < 0, q > 1 $时,数列$\left\{a_{n}\right\}$为递减数列;

    当$q=1$时,数列$\left\{a_{n}\right\}$为常数列;

    当$q < 0$时,数列$\left\{a_{n}\right\}$为摆动数列.

  • 四、教材中的“思考与讨论”

    对于例3中的数列,你是否发现$a_{5}, a_{10}, a_{15}, a_{20}$恰好成等比数列?你能说出其中的道理吗?你能由此推导出一个一般性的结论吗?

    剖析:在已知数列中,每隔$k$项取1项,保持原来顺序依次排列,所得数列还是一个等比数列.

例题解析
  • 等比数列定义的应用

    【例1】 已知数列的通项公式为$a_{n}=3 \times 2^{n}$,试问:这个数列是否为等比数列?

    分析:可用定义法、等比中项法证明.

    反思
    已知某数列的通项公式,判定其是否为等比数列,可依据等比数列的定义证明.常用的判定等比数列的方法有:(1)定义法:$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=q$(常数);(2)等比中项法:$a_{n+1}^{2}=a_{n} a_{n+2}\left(a_{n} \neq 0\right)$.

    【变式训练1】 下面四个数列:

    (1)1,1,2,4,8,16,32,64;

    (2)在数列$\left\{a_{n}\right\}$中,已知$\frac{a_{2}}{a_{1}}=2, \frac{a_{3}}{a_{2}}=2$;

    (3)在数列$\left\{a_{n}\right\}$中,$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=q(q \neq 0)$,其中$n \in \mathbf{N}_{+}$.

    其中是等比数列的有_________. 

  • 等比数列的通项公式的应用

    【例2】 在等比数列$\left\{a_{n}\right\}$中,

    $(1) a_{4}=2, a_{7}=8$,求$a_{n}$;

    $(2) a_{2}+a_{5}=18, a_{3}+a_{6}=9, a_{n}=1$,求n.

    分析:先将条件转化为关于基本元素$a_{1}$与$q$的方程组,求出$a_{1}$和$q$,再表示其他量.

    反思

    $a_{1}$和$q$是等比数列的基本量,只要求出这两个基本量,其他量便可求出来,可以用常规解法,先求$a_{1}, q$,再求$a_{n}$,也可以观察式子的整体特点,运用整体思想求$a_{1}$和$q$.

    【变式训练2】 已知$a_{3}=2, a_{2}+a_{4}=\frac{20}{3}$,求$a_{n}$.

  • 等比数列性质的应用

    【例3】若已知数列$\left\{a_{n}\right\}$为等比数列,若$a_{1}+a_{2}+a_{3}=7, a_{1} a_{2} a_{3}=8$,求数列$\left\{a_{n}\right\}$的通项公式.

    分析:本题主要考查等比数列的性质“若$p+q=2 n$,则$a_{p} \cdot a_{q}=a_{n}^{2}\left(p, q, n \in \mathbf{N}_{+}\right)$”的应用.

    反思
    若三个数成等比数列,则可设为$\frac{a}{q}, a, a q$,当然也可设为$a, a q, a q^{2}$.若四个数成等比数列,则可设为$a, a q, a q^{2}, a q^{3}$,但不能设为$\frac{a}{q^{3}}, \frac{a}{q}, a q, a q^{3}$,因为这个数列的公比为$q^{2}$,漏掉了公比为负值的情况.

    【变式训练3】 在$\frac{8}{3}$和$\frac{27}{2}$ 之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为_________. 

  • 构造等比数列求通项公式

    【例4】 (1)在数列$\left\{a_{n}\right\}$中,$a_{1}=1, a_{n+1}=2 a_{n}+1$,求通项公式$a_{n}$.

    (2)在数列$\left\{a_{n}\right\}$中,$a_{1}=3, a_{n+1}=a_{n}^{2}$ ,求通项公式$a_{n}$.

    反思
    有些数列本身并不是等比数列,但是通过适当的变形,可以构造出等比数列.因此解决这类问题应该熟悉能构造成等比数列的形式以及对应方法.

    【变式训练4】 已知数列$\left\{a_{n}\right\}, a_{1}=2, a_{n+1}=2 a_{n}+3$.

    (1)求证:数列$\left\{a_{n}+3\right\}$是等比数列.

    (2)求数列$\left\{a_{n}\right\}$的通项公式.

    分析:根据题设条件先求出$a_{n+1}+3$的表达式再观察与$a_{n}+3$的关系证明.

  • 易错辨析

    易错点1:忽视等比中项的符号而致误

    【例5】 在等比数列$\left\{a_{n}\right\}$中,若$a_{3} a_{4} a_{6} a_{7}=81$,则$a_{1} a_{9}$的值为(  )

    A.3  B.9 $\mathrm{C} . \pm 3 \mathrm{D} . \pm 9$

    易错点2:忽视等比数列公比的符号而致误

    【例6】 已知一个等比数列的前4项之积为$\frac{1}{16}$ ,第2项与第3项的和为$\sqrt{2}$,求这个等比数列的公比.

  • 真题

    1.若$a, b, c, d$成等比数列,则下列三组数:①$a+b, b+c, c+d$;②$a b, b c, c d$;③$a-b, b-c, c-d$,必成等比数列的个数为(  )

    A.3  B.2  C.1  D.0

    2.等比数列$x, 3 x+3,6 x+6, \cdots$的第四项等于(  )

    A.-24  B.0  C.12  D.24

    3.在等比数列$\left\{a_{n}\right\}$中,公比为$q$,若$a_{m}=x a_{n}$,则$x$等于(  )

    $\begin{array}{ll}{\text { A.q }} & {\text { B.q }^{n-m}} \\ {\text { C. } q^{m-n}} & {\text { D.1 }}\end{array}$

    4.在等比数列$\left\{a_{n}\right\}$中, 已知$a_{3}=\frac{4}{3}, a_{5}=\frac{8}{3}$,则$a_{10}=$_________.

    5.在各项均为负的等比数列$\left\{a_{n}\right\}$中,$2 a_{n}=3 a_{n+1}$,且$a_{2} a_{5}=\frac{8}{27}$.

    (1)求数列$\left\{a_{n}\right\}$的通项公式;

    (2)$-\frac{16}{81}$是否为该数列的项?若是,为第几项?

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