1.1.1 正弦定理

时间:2019-9-9 19:05:04   作者:数学名师王老师
1.理解正弦定理及其相关变式的推导过程.
2.掌握正弦定理,并初步学会用正弦定理解决简单的三角形度量问题.
3.依据正弦定理判断三角形的形状.
知识点
  • 1.正弦定理

    文字语言

    在一个三角形中,各边的长和它所对角的正弦的比相等

     blob.png

    符号语言

     $\frac{\mathrm{a}}{\sin \mathrm{A}}=\frac{\mathrm{b}}{\sin \mathrm{B}}=\frac{\mathrm{c}}{\sin \mathrm{C}}$

    名师点拨

    1.从方程的观点看,正弦定理有三个等式,可视为三个方程,每个方程含有四个量,可知三求一.

    2.适用范围:对任意的三角形都成立.

    3.结构形式:分子为边长、分母为该边所对角的正弦的连等式.

    4.在同一三角形中边角的不等关系:若$\angle A>\angle B>\angle C$,可得$a>b>c$,则sinA>sinB>sinC;

    反之,若$\sin A>\sin B>\sin C$,可得$a>b>c$,则$\angle A>\angle B>\angle C$.

    【做一做1-1】 在$\triangle A B C$中,一定成立的等式有(  )

    A. $a \sin A=b \sin B$  B. $a \sin B=b \sin A$

    C. $a \cos A=b \cos B \quad$ D. $a \cos B=b \cos A$

    答案:$B$

    【做一做1-2】 在$\triangle A B C$中,已知$A C=2, B C=3, \sin A=\frac{3}{5}$,则$\sin B=(\quad)$

    $\mathrm{A} \cdot \frac{2}{5}$ $\mathrm{B} \cdot \frac{2}{3}$

    $\mathrm{C} \cdot \frac{3}{5}$ D.无法确定

    解析:由正弦定理,得$\frac{A C}{\sin B}=\frac{B C}{\sin A}$,

    即$\frac{2}{\sin B}=\frac{3}{\frac{3}{5}}$,解得$\sin B=\frac{2}{5}$.

    答案:$\mathrm{A}$

  • 2.正弦定理的适用范围

    利用正弦定理,可解决两类解三角形的问题:

    (1)已知两角和任一边,求其他的边和角;

    (2)已知两边和其中一边的对角,首先求另一边的对角,然后求出其他的边和角.

    【做一做2】 在$\triangle A B C$中,已知$a=\frac{4 \sqrt{3}}{3}, b=4, \angle A=30^{\circ}$,则$\angle B=$_________. 

    解析:由正弦定理$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$,

    得$\sin B=\frac{b \sin A}{a}=\frac{4 \times \frac{1}{2}}{\frac{4 \sqrt{3}}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

    由$b>a$,得$\angle B=60^{\circ}$或$\angle B=120^{\circ}$. 

    答案:$60^{\circ}$或$120^{\circ}$ 

  • 3.解三角形

    解三角形是指由三角形的六个元素(三条边和三个角)中的三个元素(至少有一个是边),求其余三个未知元素的过程.

重难点
  • 一、判断三角形解的个数

    剖析:(1)代数法

    在$\triangle A B C$中,已知$a, b, \angle A$,由正弦定理可得$\sin B=\frac{b}{a} \sin A=m$.

    ①当$m>1$时,这样的$\angle B$不存在,即三角形无解.

    ②当$m=1$时,$\angle B=90^{\circ}$,若$\angle A < 90^{\circ}$,则三角形有一解,否则无解.

    ③当$m < 1$时,满足$\sin B=m$的角有两个,其中设锐角为$\alpha$,钝角为$\beta$,则当$\angle A+\alpha \geq 180^{\circ}$时,三角形无解;当$\angle A+\alpha < 180$,且$\angle A+\beta < 180^{\circ}$时,有两解;当$\angle A+\alpha < 180^{\circ}$,且$\angle A+\beta \geq 180^{\circ}$时,有一解.

    (2)几何法

    根据条件中$\angle A$的大小,分为锐角、直角、钝角三种情况,通过几何作图,得出解的情况.作出已知$\angle A$,以点$A$为圆心,边长$b$为半径画弧交$\angle A$的一边于点$C$.使未知的边$A B$水平,顶点$C$在边$A B$上方,以点$C$为圆心,边长$a$为半径作圆,该圆与射线$AB$交点的个数,即为解的个数,如表所示:

     

    $\angle A$为锐角

    $\angle A$为钝角或直角

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    ①$\mathrm{a}= \\ \mathrm{b} \sin \mathrm{A}$
    ②$\mathrm{a} \geq \mathrm{b}$

    $b \sin A<$

    $a < b$

    $a < b \sin A$

    $a>b$

    $a \leqslant b$

     

    一解

    两解

    无解

    一解

    无解

  • 二、教材中的“探索与研究”

    在正弦定理中,设$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=k$ .请研究常数$k$与$\triangle A B C$外接圆的半径$R$的关系.(提示:先考察直角三角形)

    剖析:(1)如图①,当$\triangle A B C$为直角三角形时, 

    直接得到$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2 R$

    $(a, b, c$分别为$\triangle A B C$中角$A,B,C$的对边,$R$为$\triangle A B C$外接圆的半径$)$.

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    (2)如图②,当$\triangle A B C$为锐角三角形时,连接$BO$并延长交圆$O$于点$D$,连接$CD$.

    因为$\angle A=\angle D$,

    所以$\frac{a}{\sin A}=\frac{a}{\sin D}=2 R$,

    同理$\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2 R$,

    即$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2 R$.

    (3)如图③,当$\triangle A B C$为钝角三角形,且$\angle A$为钝角时,连接$BO$并延长交圆$O$于点$D$,连接$C D, \angle A=180^{\circ}-\angle D$,

    所以$\frac{a}{\sin A}=\frac{a}{\sin \left(180^{\circ}-\angle D\right)}=\frac{a}{\sin D}=2 R$.

    由(2)知$\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2 R$,

    即$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2 R$.

    综上所述,对于任意$\triangle A B C$,$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2 R$恒成立.

    归纳总结
    根据上述关系式可得到正弦定理的常用变式:

    $(1) a \sin B=b \sin A ; \\ \operatorname{asin} C=\operatorname{csin} A : b \sin C=\operatorname{csin} B$

    (2) $a=\frac{b \sin A}{\sin B} ; \sin B=\frac{b \sin A}{a}$

    $(3) \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C} \\ =\frac{a+b+c}{\sin A+\sin B+\sin C}=2 R(R$
    为$\Delta A B C$外接圆的半径$)$ 

    $(4) a : b : c=\sin A \therefore \sin B \therefore \sin C$.

    $(5)$边化角公式:$a=2 R \sin A, b=2 R \sin B . c=2 R \sin C$.

    $(6)$角化边公式:$\sin A=\frac{a}{2 R}, \sin B=\frac{b}{2 R}, \sin C=\frac{c}{2 R}$  < br/>

例题解析
  • 解三角形

    【例1】 已知在$\triangle A B C$中,$c=10, \angle A=45^{\circ}, \angle C=30^{\circ}$,求$a, b$和$\angle B$.

    分析:当知道两个角时,即可知道第三个角,所以若再知道三边中任意一边,就可解这个三角形.

    【变式训练1】已知在$\triangle A B C$中,$a=10, \angle B=60^{\circ}, \angle C=45^{\circ}$,则$c$等于(  )

    $\begin{array}{ll}{\mathrm{A} .10+\sqrt{3}} & {\mathrm{B} .10(\sqrt{3}-1)} \\ {\mathrm{C} \cdot \sqrt{3}+1} & {\mathrm{D} .10 \sqrt{3}}\end{array}$

    【例2】 在$\triangle A B C$中,已知$a=\sqrt{3}, b=\sqrt{2}, \angle B=45^{\circ}$,求$\angle A, \angle C$和$c$.

    分析:已知两边和其中一边的对角的解三角形问题可运用正弦定理来求解,但应注意解的个数.

    反思

    已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角及其他的角和边的方法步骤:先由正弦定理求得已知边的对角,再利用内角和公式求得第三角,最后求得第三边.解答此类问题应注意对解的个数的讨论.

    【变式训练2】 根据下列条件,判断三角形解的情况,其中正确的是(  )

    $\mathrm{A} . a=8, b=16, \angle A=30^{\circ}$,有两解

    $\mathrm{B} . a=18, b=20, \angle A=60^{\circ}$,有一解

    $\mathrm{C} \cdot a=5, b=2, \angle A=90^{\circ}$,无解

    $\mathrm{D} . a=30, b=25, \angle A=150^{\circ}$,有一解

  • 判断三角形的形状

    【例3】 在$\triangle A B C$中,$\angle A, \angle B, \angle C$的对边分别为$a, b, c$,且

    $\frac{a}{\cos A}=\frac{b}{\cos B}=\frac{c}{\cos C}$ ,试判断$\triangle A B C$的形状.

    分析:将式中的$a, b, c$分别用$2 R \sin A, 2 R \sin B, 2 R \sin C(R$为$\triangle A B C$外接圆半径$)$来代替是解决本题的关键.

    反思

    已知三角形中的边角关系式,判断三角形的形状,有两种思路:其一,先化边为角,再进行三角恒等变换求出三个角之间的关系;其二,先化角为边,再进行代数恒等变换求出三条边之间的关系.

    【变式训练3】 已知在$\triangle A B C$中,$\angle A, \angle B$所对的边分别是$a$和$b$,若$a \cos B=b \cos A$,试判断$\triangle A B C$的形状.

  • 三角形面积公式的应用

    【例4】 在$\triangle A B C$中,$c=2 \sqrt{2}, a>b, \angle C=\frac{\pi}{4}$,且有$\tan A \cdot \tan B=6$,试求$a,b$及此时三角形的面积.

    分析:由已知可求出$\tan A+\tan B$的值,这样便可求出$\tan A \tan B$的值,只要求出$\sin A, \sin B$,利用正弦定理便可求出$a,b$.

    反思

    在求三角形的面积时,应注意运用三角形中的常见性质以及两角和与差的正、余弦公式.当已知条件不满足三角形面积公式的条件时, 一般可通过正弦定理求出所需要的量,再计算三角形的面积.

    【变式训练4】 在$\triangle A B C$中,$\angle B=\frac{\pi}{3}, \cos A=\frac{4}{5}, b=\sqrt{3}$,求$\triangle A B C$的面积.

  • 易错辨析

    易错点:忽视角的取值范围而致误

    【例5】 在$\triangle A B C$中,若$a^{2} \tan B=b^{2} \tan A$,试判断$\triangle A B C$的形状.

  • 真题

    1.在$\triangle A B C$中,已知$a=3, b=5, \sin A=\frac{1}{3}$,则$\sin B=(\quad)$ 

    $\begin{array}{ll}{\mathrm{A} \cdot \frac{1}{5}} & {\mathrm{B} \cdot \frac{5}{9}} \\ {\mathrm{C} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2}} & {\mathrm{D} .1}\end{array}$

    2.在$\triangle A B C$中,根据下列条件解三角形,其中有两解的是(  )

    $\mathrm{A} \cdot b=10, \angle A=45^{\circ}, \angle C=70^{\circ}$

    $\mathrm{B} \cdot a=30, b=25, \angle A=150^{\circ}$

    $\mathrm{C} a=7, b=8, \angle A=98^{\circ}$

    $\mathrm{D} a=14, b=16, \angle A=45^{\circ}$

    3.在$\triangle A B C$中,已知$\angle A=60^{\circ}, a=3 \sqrt{6}, c=6$,则$\triangle A B C$的面积为(  )

    $\begin{array}{ll}{\mathrm{A} \cdot \frac{27+9 \sqrt{3}}{2}} & {\mathrm{B} \cdot \frac{27-9 \sqrt{3}}{2}} \\ {\mathrm{C.} 27+9 \sqrt{3}} & {\text { D. } 27-9 \sqrt{3}}\end{array}$

    4.在$\triangle A B C$中, $\angle A, \angle B, \angle C$所对的边长分别为$\angle C=120^{\circ}, c=\sqrt{2} a$,则$a$与$b$的大小关系是_________. 

    5.在$\triangle A B C$中,已知$\frac{\cos A}{\cos B}=\frac{b}{a}=\frac{2014}{2015}$ ,试判断$\triangle A B C$的形状. 

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