1.1.2 余弦定理

时间:2019-9-9 19:05:04   作者:数学名师王老师
1.理解用向量的工具推导余弦定理的过程.2.掌握余弦定理及其常用几种变形,并学会运用余弦定理解三角形.3.能够运用正弦定理、余弦定理、面积公式等知识和方法解决一些与测量及几何计算有关的三角形问题.
知识点
  • 1.余弦定理

    公式表达

    语言叙述

    推论

    $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A$

    三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍

    $\cos$

    $A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}$


    $b^{2}=a^{2}+c^{2}-2 a c \cos B$

    $\cos$

    $B=\frac{\mathrm{a}^{2}+\mathrm{c}^{2}-\mathrm{b}^{2}}{2 \mathrm{ac}}$


    $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cos C$

    $\cos$

    $C=\frac{\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}-\mathrm{c}^{2}}{2 \mathrm{ab}}$


    归纳总结
    1.余弦定理揭示了任意三角形边角之间关系的客观规律,是解三角形的重要工具.

    2.余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例.

    3.在余弦定理中,每一个等式均含有四个量,利用方程的观点,可以知三求一.

    4.运用余弦定理时,已知三边求角,或已知两边及夹角求另一边,由三角形全等的判定定理知,三角形是确定的,所以解也是唯一的.

    【做一做1】已知在$\triangle A B C$中,$A B=1, B C=2, \angle B=60^{\circ}$,则$A C$的长为_________. 

    解析:由余弦定理,得$A C^{2}=1^{2}+2^{2}-2 \times 1 \times 2 \times \cos 60^{\circ}=3$,

    则$A C=\sqrt{3}$.

    【做一做2】已知在$\triangle A B C$中,$a^{2}-c^{2}+b^{2}=a b$,则$\angle C=$_________. 

    答案:60°

  • 2.余弦定理的应用

    (1)利用余弦定理判断三角形的形状

    由余弦定理知,当边$c$为最大边时,

    若$c^{2}=a^{2}+b^{2}$,则$\triangle A B C$为直角三角形;

    若$c^{2} < a^{2}+b^{2}$,则$\triangle A B C$为锐角三角形;

    若$c^{2}>a^{2}+b^{2}$,则$\triangle A B C$为钝角三角形.

    (2)利用余弦定理可以解决有关斜三角形的问题

    ①已知三边,求三个角;

    ②已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角;

    ③已知三角形的两边和其中一边的对角解斜三角形时,也可用余弦定理,如已知$a, b, \angle A$,可先用余弦定理$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A$,求出$c$,此时$c$的个数即为三角形解的个数. 

    名师点拨使用余弦定理求角时,一般在判断三条边的大小后,可先求最大角,也可先求最小角,若最大角小于$60^{\circ}$或最小角大于$60^{\circ}$,则可知三角形无解.

重难点
  • 一、三角形中的四类基本问题

    剖析:解三角形的问题可以分为以下四类:

    (1)已知三角形的两边和其中一边的对角,解三角形.

    此种情况的基本解法是先由正弦定理求出另一条边所对的角,用三角形的内角和定理求出第三个角,再用正弦定理求出第三边,注意判断解的个数.

    (2)已知三角形的两角和任一边,解三角形.

    此种情况的基本解法是若所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一边,再由三角形内角和定理求出第三个角,再由正弦定理求第三边.若所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求第三个角,再由正弦定理求另外两边.

    (3)已知两边和它们的夹角,解三角形.

    此种情况的基本解法是先用余弦定理求第三边,再用正弦定理或余弦定理求另一角,最后用三角形内角和定理求第三个角.

    (4)已知三角形的三边,解三角形.

    此种情况的基本解法是先用余弦定理求出一个角,再用正弦定理或余弦定理求出另一个角,最后用三角形内角和定理求出第三个角.

  • 二、教材中的“?”

    在$\triangle A B C$中,令$\overrightarrow{A B}=\mathbf{c}, \overrightarrow{A C}=\mathbf{b}, \overrightarrow{B C}=\mathbf{a}$,你能通过计算$|\mathbf{a}|^{2}=\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}$证明余弦定理吗?

    剖析:如图所示,
    $ \begin{aligned} |\mathbf{a}|^{2}=\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}=\mathbf{a}^{2}=\mathbf{a}^{2}=\mathbf{a}^{2}=\mathbf{a}^{2} \\ =\overrightarrow{B C} \cdot \overrightarrow{B C}=(\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B}) \cdot(\overrightarrow{A C} \\ -\overrightarrow{A B})=\overrightarrow{A C}^{2}-2 \overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{A B}+\\ \overrightarrow{A B}^{2} =\overrightarrow{A C}^{2}-2|\overrightarrow{A C}| \overrightarrow{A C}| | \overrightarrow{A B}\left|\cos A+\overrightarrow{A B}^{2} \\ =\mathbf{b}^{2}+\mathbf{c}^{2}-2\right| \mathbf{b} \| \mathbf{c} \cos A \end{aligned} $

    blob.png

    即$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A$.

    同理可证$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2 a c \cos B, \\ c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cos C$

    知识拓展
    除了用向量法和几何法来证明余弦定理外,我们还可以用坐标法或正弦定理来解决.

    blob.png

    (1)(坐标法)如图所示,以$A$为坐标原点,$AC$所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,

    则点$A,B,C$的坐标分别为$A(0,0), B(c \cos A . c \sin A), C(b, 0)$,根据两点间的距离公式,得

    $a=|B C|=\sqrt{(c \cos A-b)^{2}+(c \sin A-0)^{2}}$

    $\therefore a^{2}=c^{2} \cos ^{2} A-2 b c \cos A+b^{2}+c^{2} \sin ^{2} A$,

    即$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A$.

    同理可得$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2 a c \cos B, \\ c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cos C$

    (2)(用正弦定理证明)$\because a=2 R \sin A, b=2 R \sin B, c=2 R \sin C$,

    $\therefore b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A$

    $=4 R^{2}\left(\sin ^{2} B+\sin ^{2} C \\ -2 \sin B \sin \operatorname{Ccos} A\right)$

    $=4 R^{2}\left[\sin ^{2} B+\sin ^{2} C \\ +2 \sin B \sin \operatorname{C\operatorname{cos}(B+C)]}\right.$

    $=4 R^{2}\left(\sin ^{2} B+\sin ^{2} C \\ -2 \sin ^{2} B \sin ^{2} C+2 \sin B \sin C \cos B \cos C\right)$

    $=4 R^{2}\left[\sin ^{2} B\left(1-\sin ^{2} C\right) \\ +\sin ^{2} C\left(1-\sin ^{2} B\right) \\ +2 \sin B \cdot \sin C \cos B \cos C\right]$

    $=4 R^{2}\left(\sin ^{2} B \cos ^{2} C \\ +2 \sin B \sin \operatorname{Ccos} B \cos C+\sin ^{2} C \cos ^{2} B\right)$

    $=4 R^{2} \sin ^{2}(B+C)=4 R^{2} \sin ^{2} A=a^{2}$

    同理可证$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2 a c \cos B, \\ c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cos C$

例题解析
  • 用余弦定理解三角形

    【例1】 在$\triangle A B C$:

    (1)$a=1, b=1, \angle C=120^{\circ}$,求c;

    (2$a : b : c=1 : \sqrt{3} : 2$,求$\angle A, \angle B, \angle C$.

    分析:(1)直接利用余弦定理即可;

    (2)可设三边为$x, \sqrt{3} x, 2 x$.

    反思

    利用余弦定理解三角形时,要熟练掌握余弦定理的结构特征,根据条件恰当选取公式.

    对于第(2)小题,根据已知条件,设出三边长,由余弦定理求出$\angle A$,进而求出其余两角.另外也可由边长关系,判断出$\angle C$为直角,再求角.

    【变式训练1】在$\triangle A B C$中,$a=3, b=4, c=\sqrt{37}$,求最大角.

  • 判断三角形的形状

    【例2】 在$\triangle A B C$中,已知$(a+b+c)(b+c-a)=3 b c$,且$\sin A=2 \sin B \cdot \cos C$,试确定$\triangle A B C$的形状.

    分析:利用余弦定理先求出$\angle A=60^{\circ}$,再根据三角变换公式求得$\angle B=\angle C$.

    反思
    1.判断三角形的形状是看该三角形是否为某特殊的三角形(如直角三角形、等腰三角形、等边三角形等).

    2.对于给出条件是边角关系混合在一起的问题,一般地,先应运用正弦定理和余弦定理,统一为边的关系或统一为角的关系.再利用三角形的有关知识、三角恒等变形方法、代数恒等变形方法进行转化、化简,从而得出结论.

    3.常见结论:设$a, b, c$分别是$\triangle A B C$的$\angle A, \angle B, \angle C$的对边,

    (1)若$a^{2}+b^{2}=c^{2}$,则$\angle C=90^{\circ}$;

    (2)若$a^{2}+b^{2}>c^{2}$,则$\angle C < 90^{\circ}$;

    (3)若$a^{2}+b^{2} < c^{2}$,则$\angle c="">90^{\circ}$;

    (4)若s$\sin 2 A=\sin 2 B$,则$\angle A=\angle B$或$\angle A+\angle B=90^{\circ}$.

    【变式训练2】 在$\triangle A B C$中,如果$\frac{1-\cos A}{1-\cos B}=\frac{a}{b}$,试判断$\triangle A B C$的形状.

  • 与三角形面积有关的问题

    【例3】 在$\triangle A B C$中,$\angle A, \angle B, \angle C$的对边分别是$a, b, c$,且$\frac{\cos B}{\cos C}=-\frac{b}{2 a+c}$

    (1)求$\angle B$的大小;

    (2)若$b=\sqrt{13}, a+c=4$,求△ABC的面积.

    分析:先由余弦定理求出$\angle B$,再结合条件列方程求出$a c$,利用面积公式求出$\triangle A B C$的面积.

    反思

    求三角形的面积,要充分挖掘题目中的条件,转化为求两边及夹角的正弦问题,要注意方程思想在解题中的应用.

    【变式训练3】$\triangle A B C$的面积是30,内角$\angle A, \angle B, \angle C$所对边长分别为$a, b, c, \cos A=\frac{12}{13}$.

    $(1)$求$\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}$

    $(2)$若$c-b=1$,求$a$的值.

  • 正、余弦定理的综合应用

    【例4】 如图,在$\triangle A B C$,$\angle A B C=90^{\circ}, A B=\sqrt{3}, B C=1$,P为$\triangle A B C$内一点,$\angle B P C=90^{\circ}$.

    blob.png

    (1)若$P B=\frac{1}{2}$,求$PA$;

    (2)若$\angle A P B=150^{\circ}$,求$\tan \angle P B A$.

    分析:(1)在$\triangle P B A$中,利用余弦定理求得$PA$;(2)在$\triangle P B A$中,利用正弦定理列出与$\angle P B A$和$\angle A P B$有关的方程即可.

    反思

    正、余弦定理在解三角形中的应用关键要明确已知的边和角及所要求的量,正弦定理在边角转化方面比较方便.余弦定理的使用要注意选择好“第三边”,这样才能列出有效的方程,再者要熟练掌握三角变换公式,这在解三角形中经常用到.

    【变式训练4】 在$\triangle A B C$中,已知$B C=15, A B : A C=7 : 8, \sin B=\frac{4 \sqrt{3}}{7}$,求$B C$边上的高$A D$的长.

    blob.png

    分析:由已知设$A B=7 x, A C=8 x$,又已知$\sin B$,因此要求$A D$的长只需求出$x$,在$\triangle A B C$中已知三边只需再有一个角,根据余弦定理便可求出$x$,而用正弦定理恰好可求出$\angle C$.

  • 易错辨析

    易错点:忽视三角形三个内角的关系而致误

    【例5】已知在锐角三角形$A B C$中,$b=1, c=2$,则$\mathrm{a}$的取值范围是( )

    A. $1 < a < 3 \quad$ B. $1 < a<\sqrt{5}$                                            

    $\mathrm{C} \cdot \sqrt{3} < a<\sqrt{5}$ D.不确定

  • 真题

    1.已知在$\triangle A B C$中,$A B=5, A C=3, B C=7$,则$\angle B A C$的大小为(  )

    $\begin{array}{ll}{\mathrm{A} \cdot \frac{2 \pi}{3}} & {\mathrm{B} \cdot \frac{5 \pi}{6}} \\ {\mathrm{C} \cdot \frac{3 \pi}{4}} & {\mathrm{D} \cdot \frac{\pi}{3}}\end{array}$

    2.在$\triangle A B C$中,$a, b, c$分别为$\angle A, \angle B, \angle C$的对边,如果$b+c=2 \sqrt{3}, \angle A=60^{\circ}$,$\triangle A B C$的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$,那么$a$为 (  )

    A. $\sqrt{10} \quad$ B. $\sqrt{6}$ C.10 D.6

    3.已知在$\triangle A B C$中,$A B=5, B C=\sqrt{13}, A C=4$,则$\sin A=$_________. 

    4.设$\triangle A B C$的内角$\angle A, \angle B, \angle C$的对边分别为$a, b, c,(a+b+c)(a-b+c)=a c$.

    (1)求$\angle B$;(2)若$\sin A \sin C=\frac{\sqrt{3}-1}{4}$,求$\angle C$.

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