1.2 应用举例

时间:2019-9-9 19:05:04   作者:数学名师王老师
1.了解实际问题中所涉及的名词和一些术语.
2.会建立实际应用题的三角形模型,画出示意图.
3.能运用正弦定理或余弦定理解有关距离、高度及角度等实际问题.
知识点
  • 1.实际应用问题中的有关术语

    (1)铅直平面:与水平面垂直的平面.

    (2)仰角和俯角:在同一铅直平面内,目标视线与水平线的夹角中,视线在水平线上方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角.如图①所示.

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    (3)方位角:从某点的指北方向线起,顺时针转到目标方向线的水平角叫做方位角.如图②所示.

    (4)坡角与坡度:坡面与水平面的夹角叫坡角,坡面的铅直高度$h$与水平距离$l$的比叫做坡度(或坡比).

    设坡角为$\alpha$,坡度为$i$,则$i=\frac{h}{l}=\tan \alpha$,如图③所示. 

    【做一做1】 已知两座灯塔$A$和$B$与海洋观测站$C$的距离相等,灯塔$A$在观测站$C$的北偏东$40^{\circ}$,灯塔$B$在观测站$C$的南偏东$60^{\circ}$,则灯塔$A$在灯塔$B$的(  )

    A.北偏东$40^{\circ}$  B.北偏西$10^{\circ}$

    C.南偏东$10^{\circ}$  D.南偏西$10^{\circ}$

    解析:如图所示,$\angle E C A=40^{\circ}, \angle F C B=60^{\circ}$

    $\therefore \angle A C B=180^{\circ}-40^{\circ}-60^{\circ}=80^{\circ}$

    $\therefore A C=B C$

    $\therefore \angle A=\angle A B C=\frac{180^{\circ}-80^{\circ}}{2}=50^{\circ}$

    $\therefore \angle A B G=180^{\circ}-\angle C B H-\angle C B A \\ =180^{\circ}-120^{\circ}-50^{\circ}=10^{\circ}$

    故选$B$.

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    答案:$B$

  • 2.三角形中的有关公式和结论

    (1)直角三角形中各元素间的关系.

    在$\triangle A B C$中,若$\angle C=90^{\circ}, A B=c_{2} A C=b_{3} B C=a$,则有:

    ①锐角之间的关系:$\angle A+\angle B=90^{\circ}$;

    ②三边之间的关系:$a^{2}+b^{2}=c^{2}$;

    ③边角之间的关系:(锐角三角函数的定义)

    $\sin A=\cos B=\frac{a}{c}, \cos A=\sin B=\frac{b}{c} \tan A=\frac{a}{b}$

    (2)斜三角形中各元素间的关系.

    在$\triangle A B C$中,若$\angle A, \angle B, \angle C$为其内角,a,b,c分别表示$\angle A, \angle B, \angle C$的对边,则有:

    ①角与角之间的关系:$ \angle A+\angle B+\angle C=\pi ; \sin A < \sin B \Leftrightarrow \angle A < \angle B $

    ②边与边之间的关系:$ a+b > c, b+c > a, c+a > b, \\ a-b < c, b-c < a, c-a < b$

    ③边角之间的关系:

    正弦定理:$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2 R(R$为$\triangle \mathrm{ABC}$的外接圆的半径$)$;

    余弦定理:$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cos C,\\  b^{2}=a^{2}+c^{2}-2 a c \cos B, \\ a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A$

    它们的变形形式有:$a=\frac{2 R \sin A}{\sin B}=\frac{a}{b} \cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}$

    (3)三角形中的角的变换及面积公式.

    ①角的变换.

    因为在$\triangle A B C$中,$\angle A+\angle B+\angle C=\pi$,所以$\sin (A+B)=\sin C$;

    $\cos (A+B)=-\cos C ; \\ \tan (A+B)=-\tan C \cdot \sin \frac{A+B}{2}=\cos \frac{C}{2}, \\ \cos \frac{A+B}{2}=\sin \frac{C}{2}$

    ②面积公式的有关变换.

    $S=\frac{1}{2} a b \sin C=\frac{1}{2} a c \sin B=\frac{1}{2} b c \sin A=\frac{a b c}{4 R}(R$为$\triangle A B C$的外接圆的半径$)$; 

    $S=\frac{1}{2} r(a+b+c)(r$为三角形内切圆的半径$)$.

    【做一做2-1】已知一树干被台风吹断,折断部分与残存树干成$30^{\circ}$角,树干底部与树尖着地处相距10 m,则树干原来的高度是(  )

    $\begin{array}{ll}{\mathrm{A} .(20+10 \sqrt{3}) \mathrm{m}} & {\mathrm{B} \cdot(10+20 \sqrt{3}) \mathrm{m}} \\ {\mathrm{C} \cdot(20+20 \sqrt{3}) \mathrm{m}} & {\mathrm{D} .(10+10 \sqrt{3}) \mathrm{m}}\end{array}$

    解析:如图所示,$B C=10 \mathrm{m}$,

    所以$A B=\frac{B C}{\tan 30^{\circ}}=10 \sqrt{3} \mathrm{m}$,

    $A C=\frac{B C}{\sin 30^{\circ}}=20 \mathrm{m}$.

    所以树干原来的高度为$A B+A C=(20+10 \sqrt{3}) \mathrm{m}$.

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    答案:$\mathrm{A}$

    【做一做2-2】 已知在$\triangle A B C$中,$a b=10, S_{\Delta A B C}=\frac{5 \sqrt{3}}{2}, \Delta A B C$的外接圆的半径为$\sqrt{3}$,则边$c$的长为_________. 

    答案:3

    【做一做2-3】 在$\triangle A B C$中,$\angle A=120^{\circ} A B=5, B C=7$,则$\frac{\sin C}{\sin B}$的值为_________. 

    解析:由余弦定理,得

    $B C^{2}=A B^{2}+A C^{2}-2 A B \cdot A C \cos A$,

    即$7^{2}=5^{2}+A C^{2}-2 \times 5 \times A C \cos 120^{\circ}$,

    所以$A C^{2}+5 A C-24=0$.

    解得$A C=3, A C=-8$舍去).

    由正弦定理,得$\frac{\sin C}{\sin B}=\frac{A B}{A C}=\frac{5}{3}$

    答案:$\frac{5}{3}$

  • 3.解应用题的一般思路

    (1)读懂题意,理解问题的实际背景,明确已知和所求,理清量与量之间的关系.

    (2)根据题意画出示意图,把已知和要求的量尽量集中到有关三角形中,将实际问题抽象成解三角形模型.

    (3)选择正弦定理或余弦定理求解.

    (4)将三角形的解还原为实际问题的解,注意实际问题中单位、近似计算的要求.这一思路描述如下:

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    【做一做3-1】如图,为了测量隧道$\square A B$的长度,给定下列四组数据,测量时应当用第_________组数据. 

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    < br/>

    ①$\alpha, a, b$;②$\alpha, \beta, a$;

    ③$a, b, \gamma$;④$\alpha, \beta, b$.

    解析:根据实际情况$\alpha, \beta$都是不易测量的数据,而③中的$a, b, y$很容易测量,并且根据余弦定理能直接求出$A B$的长,故选③.

    答案:③

    【做一做3-2】 在200 m的山顶上,测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别为$30^{\circ}, 60^{\circ}$,则塔高为________m.

    解析:如图, 在$\mathrm{Rt} \triangle \mathrm{CDB}$中,

    $C D=200 \mathrm{m}, \angle B C D=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$,

    所以$B C=\frac{200}{\cos 30^{\circ}}=\frac{400 \sqrt{3}}{3}(\mathrm{m})$  (m).

    在$\triangle A B C$中,$\angle A B C=\angle B C D=30^{\circ}, \\ \angle A C B=60^{\circ}-30^{\circ}=30^{\circ}$

    所以$\angle B A C=120^{\circ}$.

    在$\triangle A B C$中,由正弦定理,得$\frac{B C}{\sin 120^{\circ}}=\frac{A B}{\sin 30^{\circ}}$,

    所以$A B=\frac{B C \sin 30^{\circ}}{\sin 120^{\circ}}=\frac{400}{3}(\mathrm{m})$.

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    答案: $\frac{400}{3}$

重难点
  • 实际问题中度量A,B两点的长度(高度)的方法

    剖析:(1)求距离问题.

    如图,当$A B$的长度不可直接测量时,求AB的距离.

    两点间不可达又不可视

    两点间可视但有一点不可达

    两点都不可达

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    ①当$A, B$两点之间不可达又不可视时,测出两边及其夹角,运用余弦定理求解,

    则$A B=\sqrt{a^{2}+b^{2}-2 a b \cos C}$

    ②当A,B两点之间可视但有一点不可达时,测出两角及其夹边,先用内角和定理求第三个角,再运用正弦定理求解.

    $\because \angle A=\pi-(\angle B+\angle C), \therefore$根据正弦定理,

    得$\frac{A B}{\sin C}=\frac{B C}{\sin A}=\frac{B C}{\sin [\pi-(B+C)]} \\ =\frac{B C}{\sin (B+C)}=\frac{a}{\sin (B+C)}$,

    则$A B=\frac{a \sin C}{\sin (B+C)}$.

    ③当$A, B$两点都不可达时,先在$\triangle A D C$和$\triangle B D C$中分别求出$A C, B C$或$A D, B D$,再在$\triangle A B C$或$\triangle A B D$中运用余弦定理求解.

    先在$\triangle A D C$中求$A D=\frac{a}{\sin (\angle A D C+\angle A C D)} \times \sin \angle A C D$;

    再在$\triangle B D C$求:$B D=\frac{a}{\sin (\angle B D C+\angle B C D)} \times \sin \angle B C D$;

    最后在$\triangle A B D$中求:

    $A B=\sqrt{A D^{2}+B D^{2}-2 A D \cdot B D \cos \angle A D B}$

    名师点拨

    将所求距离或方向的问题转化为求一个三角形的边或角的问题时,我们选择的三角形往往条件不够,这时需要我们寻找其他的三角形作为解这个三角形的支持,为解这个三角形提供必要的条件.

    (2)求高度问题.

    如图,当$A B$的高度不可直接测量时,求$A B$的高度,有如下情况.

    底部可达

    底部不可达

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    ①当$B C$底部可达时,利用直角三角形的边角关系求解,则$A B=a \tan C$.

    ②当$B D$不可达时,

    在$\mathrm{Rt} \triangle A B D$中,$B D=\frac{A B}{\tan \angle A D B}$,

    在$\mathrm{Rt} \triangle A B C$中,$B C=\frac{A B}{\tan \angle A C B}$,

    $\therefore a=C D=B C-B D=\frac{A B}{\tan \angle A C B}-\frac{A B}{\tan \angle A D B}$.


    $\therefore a=C D=B C-B D=\frac{A B}{\tan \angle A C B}-\frac{A B}{\tan \angle A D B}$

    $\therefore A B=\frac{a}{\frac{1}{\tan \angle A C B} \frac{1}{\tan \angle A C B}}$

    ③当$B C, B D$都不可达时,在$\triangle B C D$中,$B C=\frac{a}{\sin (\angle B C D+\angle D)} \times \sin D$.

    $\because A B \perp B C, \therefore \angle B A C=\frac{\pi}{2}-\angle A C B$.

    $\therefore$在$\triangle A B C$中,$A B=\frac{B C}{\sin \angle B A C} \times \sin \angle A C B \\ =\frac{B C}{\cos \angle A C B} \times \sin \angle A C B$

    $\therefore A B=\frac{\frac{a}{\sin (\angle B C D+\angle D)} \times \sin D}{\cos \angle A C B} \times \sin \angle A C B \\ =\frac{a \sin D \tan \angle A C B}{\sin (\angle B C D+\angle D)}$

    名师点拨

    在测量某物体高度的问题中,很多被测量的物体是一个立体的图形,而在测量过程中,我们测量的角度也不一定在同一平面内,因此还需要我们有一定的空间想象能力,关键是画出图形,把已知量和未知量归结到三角形中来求解.

例题解析
  • 测量距离问题

    【例1】如图,隔河看两目标$A, B$,但不能到达,在岸边选取相距$\sqrt{3} \mathrm{km}$的$C, D$两点,并测得$\angle A C B=75^{\circ}, \angle B C D=45^{\circ}, \angle A D C=30^{\circ}, \\ \angle A D B=45^{\circ}$
    $(A, B, C, D$在同一平面内),求两目标$A, B$之间的距离.

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    分析:要求出$A, B$之间的距离,可在$\triangle A B C$(或$\triangle A D B )$)中去找关系,但不管在哪个三角形中,$A C, B C$这些量都是未知的,需要在三角形中找出合适的关系式,求出它们的值,然后解斜三角形即可.

    反思

    测量长度(距离)是解三角形应用题的一种基本题型.在解这类问题时,首先要分析题意,确定已知与所求,然后画好示意图,通过解三角形确定实际问题的解;测量两个不可达的点之间的距离问题,一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长问题.

    【变式训练1】 为了在一条河上建一座桥,施工前在河两岸打上两个桥位桩$A, B$(如图),要测算$A, B$两点的距离,测量人员在岸边定出线段BC,测得$B C=50 \mathrm{m}, \angle A B C=105^{\circ}, \angle B C A=45^{\circ}$,则$A, B$两点间的距离为(  )

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    $\mathrm{A} .50 \sqrt{2} \mathrm{m} \quad \mathrm{B} .50 \sqrt{3} \mathrm{m}$

    $\mathrm{C} .25 \sqrt{2} \mathrm{m} \quad \mathrm{D} \cdot \frac{25 \sqrt{2}}{2} \mathrm{m}$

  • 测量高度问题

    【例2】如图所示,在地面上有一旗杆$OP$,为测得它的高度$h$,在地面上取一基线$A B, A B=20 \mathrm{m}$,在$A$处测得$P$点的仰角$\angle O A P=30^{\circ}$,在$B$处测得$P$点的仰角$\angle O B P=45^{\circ}$,又测得$\angle A O B=60^{\circ}$,求旗杆的高度$h$.(精确到0.1 m)

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    分析:先在$\mathrm{Rt} \triangle \mathrm{PAO}$和$\mathrm{Rt} \triangle \mathrm{PBO}$中求出$A O, B O$,再在$\triangle A O B$中由余弦定理求出$h$.

    反思

    解三角形时,一定要选择合适的三角形,这样可以简化计算过程,还要注意立体几何图形中的边角关系,并选择好三角形的使用顺序.

    【变式训练2】 在某一山顶观测山下两村庄$A,B$,测得$A$的俯角为$30^{\circ}, B$的俯角为$40^{\circ}$,观测$A,B$两村庄的视角为$50^{\circ}$,已知$A,B$在同一海平面上且相距1 000 m,求山的高度.(精确到$1 \mathrm{m}, \sin 40^{\circ} \approx 0.643$)

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  • 测量角度问题

    【例3】如图,甲船在A处,乙船在甲船的南偏东$45^{\circ}$方向,距$A$处9海里的$B$处,并以20海里/时的速度沿南偏西$15^{\circ}$方向行驶,若甲船以28海里/时的速度行驶,应沿什么方向,用多长时间能最快追上乙船?(精确到$1^{\circ}$)

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    分析:假设甲船用$t$小时在$C$处追上乙船,则在$\triangle A B C$中,$AC,BC$可用$t$来表示,进而利用余弦定理求得$t$,解此三角形即可.

    反思

    航海问题常利用解三角形的知识解决,在具体解题时,应画出示意图,找出已知量及所求的量,转化为三角形的边角关系,利用正、余弦定理求解.

    【变式训练3】 如图,某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击,发出求救信号,我海军护航舰在$A$处获悉后,立即测出该货船在北偏东$45^{\circ}$,距离为10海里的$C$处,并测得货船正沿南偏东$75^{\circ}$的方向,以10海里/时的速度向前行驶,我海军护航舰立即以10$\sqrt{3}$海里/时的速度前去营救,求护航舰的航向和靠近货船所需的时间.

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  • 面积问题

    【例4】 在半径为$R$的扇形$O A B$中,圆心角$\angle A O B=60^{\circ}$,在扇形内有一个内接矩形,求内接矩形的最大面积.

    分析:扇形的内接矩形有且仅有两种类型:一种是矩形的一边与扇形的一条半径重合;另一种是以扇形的对称轴为对称轴的矩形.我们分别求出这两种类型的矩形的最大面积,再取两者中较大的,就是符合条件的最大面积.

    反思

    关于求面积最值问题,关键是将面积函数表达出来,根据已知条件利用正弦定理将与矩形面积有关的量求出,再转化为求三角函数最值问题,这是这一类问题常用的解题思路.

    【变式训练4】 如图所示,半圆$O$的直径为$2,A$为直径延长线上一点,$O A=2, B$为半圆上任意一点,以$AB$为一边作等边三角形$ABC$.问点$B$在什么位置时,四边形$OACB$的面积最大?

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  • 易错辨析

    易错点:用正、余弦定理解决实际问题出现增解而致误

    【例5】 某观测站$C$在城$A$的南偏西$20^{\circ}$的方向上,由城A出发的一条公路,走向是南偏东$40^{\circ}$,在$C$处,测得公路上距$C$处31 km的$B$处有一人正沿公路向城$A$走去,走了20 km后到达$D$处,此时$C,D$间的距离为21 km,这人还要走多远才能到达城$A$?

  • 真题

    1.已知两座灯塔$A$和$B$与海洋观察站$C$的距离都等于$a \mathrm{km}$,灯塔$A$在观察站$C$的北偏东$20^{\circ}$,灯塔B在观察站$C$的南偏东$40^{\circ}$,则灯塔$A$与$B$的距离为(  )

    $\begin{array}{ll}{\text { A. } a \mathrm{km}} & {\text { B. } \sqrt{3} a \mathrm{km}} \\ {\text { C. } \sqrt{2} a \mathrm{km}} & {\text { D. } 2 a \mathrm{km}}\end{array}$

    2.已知轮船$A$和轮船$B$在中午12时同时离开海港$O$,两船航行方向的夹角为$120^{\circ}$,两船的航行速度分别为25海里/时,15海里/时,则下午14时两船之间的距离是(  )

    A.50海里  B.70海里

    C.90海里  D.110海里

    3.已知某人向正东方向走了$x \mathrm{km}$后向右转了$150^{\circ}$,然后沿新方向走了3 $\mathrm{km}$,结果离出发点恰好$\sqrt{3} \mathrm{km}$,那么 x=_________. 

    4.3已知$A,B$是海平面上的两个点,相距800 m,在点$A$测得山顶$C$的仰角为$45^{\circ}, \angle B A D=120^{\circ}$,又在点$B$测得$\angle A B D=45^{\circ}$,其中$D$是点$C$在海平面上的射影,则山高$CD$为_________.. 

    5.为了测量两山顶$M,N$间的距离,飞机沿水平方向在$A,B$两点进行测量,$A, B, M, N$在同一个铅垂平面内(如图所示).飞机能够测量的数据有俯角和$A,B$间的距离.请设计一个方案:包括:①指出需要测量的数据(用字母表示,并在图中标出);②用文字和公式写出计算$M,N$间的距离的步骤.

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