3.3 三角函数的积化和差与和差化积

时间:2019-9-9 19:05:04   作者:数学名师王老师
1.理解三角函数的积化和差与和差化积公式的推导过程.
2.能利用积化和差与和差化积公式进行简单的三角函数式的化简、求值和证明.
知识点
  • 1.积化和差公式

    $\cos \alpha \cos \beta=\frac{1}{2}[\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta)]$

    $\sin \alpha \sin \beta=\frac{1}{2}[\cos (\alpha+\beta)-\cos (\alpha-\beta)]$

    $\sin \alpha \cos \beta=\frac{1}{2}[\sin (\alpha+\beta)+\sin (\alpha-\beta)]$

    $\cos \alpha \sin \beta=\frac{1}{2}[\sin (\alpha+\beta)-\sin (\alpha-\beta)]$

    【做一做1-1】 函数$y=\cos x \cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right)$的最小正周期是(  )

    $\begin{array}{ll}{\mathrm{A} .2 \pi} & {\mathrm{B} . \pi} \\ {\mathrm{C} \cdot \frac{\pi}{2}} & {\mathrm{D} \cdot \frac{\pi}{4}}\end{array}$

    解析:$\cos x \cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right)$                                             

    $=\frac{1}{2}\left\{\cos \left(x+x-\frac{\pi}{3}\right)+\cos \left[x-\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\right]\right\}$

    $=\frac{1}{2} \cos \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right)+\frac{1}{2} \cos \frac{\pi}{3}$

    $=\frac{1}{2} \cos \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right)+\frac{1}{4}$

    故最小正周期为$\pi$.

    答案:$B$

    【做一做1-2】 $\sin 37.5^{\circ} \cos 7.5^{\circ}=$_________.  

    解析:$\sin 37.5^{\circ} \cos 7.5^{\circ}$

    $=\frac{1}{2}\left[\sin \left(37.5^{\circ}+7.5^{\circ}\right)+\sin \left(37.5^{\circ}-7.5^{\circ}\right)\right]$

    $=\frac{1}{2}\left[\sin 45^{\circ}+\sin 30^{\circ}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\right)$

    $=\frac{\sqrt{2}+1}{4}$

    答案:$\frac{\sqrt{2}+1}{4}$

  • 2.和差化积公式

    设$\alpha+\beta=x, \alpha-\beta=y$,则$\alpha=\frac{x+y}{2}, \beta=\frac{x-y}{2}$这样,上面的四个式子可以写成

    $\sin x+\sin y=2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}$

    $\sin x-\sin y=2 \cos \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}$

    $\cos x+\cos y=\frac{2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}}{2}$

    $\cos x-\cos y=-\frac{2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}}{2}$

    名师点拨

    1.积化和差公式的推导用了“解方程组”的思想,和差化积公式的推导用了“换元”思想.

    2.不论是积化和差还是和差化积中的“和差”与“积”,都是指三角函数间的关系,并不是指角的关系.

    【做一做2-1】$\sin 105^{\circ}+\sin 15^{\circ}$等于(  )

    $\mathrm{A} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \mathrm{B} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \quad \mathrm{C} \cdot \frac{\sqrt{6}}{2} \quad \mathrm{D} \cdot \frac{\sqrt{6}}{4}$

    解析:$\sin 105^{\circ}+\sin 15^{\circ}$

    $=2 \sin \frac{105^{\circ}+15^{\circ}}{2} \cos \frac{105^{\circ}-15^{\circ}}{2}$

    $=2 \sin 60^{\circ} \cos 45^{\circ}=\frac{\sqrt{6}}{2}$

    答案:$C$

    【做一做2-2】 函数$f(x)=\cos \left(x+\frac{\pi}{4}\right)+\cos \left(x-\frac{\pi}{4}\right)$的最小值为________. 

    解析:$\because f(x)=\cos \left(x+\frac{\pi}{4}\right)+\cos \left(x-\frac{\pi}{4}\right)$

    $=2 \cos x \cos \frac{\pi}{4}=\sqrt{2} \cos x$

    $\therefore f(x)_{\min }=-\sqrt{2}$

    答案:$-\sqrt{2}$

重难点
  • 1.和差化积与积化和差公式的作用

    剖析(1)可从以下几方面来理解这两组公式:

    ①这些公式中的“和差”、“积”都是指三角函数间的关系,并不是指角的关系;

    ②只有系数绝对值相同的同名三角函数的和差,才能直接应用公式化为积的形式.如$\sin \alpha+\cos \beta$就不能直接化积,应先化成同名函数后,再用公式化成积的形式;

    ③三角函数的和差化积,可以理解为代数中的因式分解.

    (2) 一般情况下,遇有正弦函数、余弦函数的平方,要先考虑灵活应用二倍角公式的变形进行降幂,然后应用和差化积、积化和差公式进行化简或计算.

    (3)和差化积、积化和差公式的基本功能在于:当和积互化时,角度要重新组合,因此有可能产生特殊角;结构将变化,因此有可能产生互消项或互约因式,从而利于化简求值. 正因为如此,“和积互化”是三角恒等变形的一种基本方法.在解题过程中,当遇到三角函数的和时,就试着化为积的形式;当遇到三角函数的积时,就试着化为和差的形式.往往这样就能发现解决三角函数问题的思路.为了能够把三角函数化成积的形式,有时需要把某些数当作三角函数值,

    如把$\frac{1}{2}-\cos \alpha$化为积的形式,可将$\frac{1}{2}$看作$\cos \frac{\pi}{3}$,再化为积的形式.

  • 2.教材中的“探索与研究”

    用向量运算证明和差化积公式.

    如图所示,作单位圆,并任作两个向量

    blob.png

    ($\overrightarrow{O P}=(\cos \alpha, \sin \alpha), \overrightarrow{O Q}=(\cos \beta, \sin \beta)$.取blob.png的中点$M$,则有$M\left(\cos \frac{\alpha+\beta}{2}, \sin \frac{\alpha+\beta}{2}\right)$.

    连接$P Q, O M$,设它们相交于点$N$,则点$N$为线段$P Q$的中点且$O N \perp P Q . \angle x O M$和$\angle Q O M$分别为$\frac{\alpha+\beta}{2}, \frac{\alpha-\beta}{2}$.

    探索三个向量$\overrightarrow{O P}, \overrightarrow{O N}, \overrightarrow{O Q}$之间的关系,并用两种形式表达点$N$的坐标,以此导出和差化积公式

    $\cos \alpha+\cos \beta=2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2}$

    $\sin \alpha+\sin \beta=2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2}$


    剖析由已知,得$P(\cos \alpha, \sin \alpha), Q(\cos \beta, \sin \beta)$.

    由于$M$为blob.png的中点,则$M\left(\cos \frac{\alpha+\beta}{2}, \sin \frac{\alpha+\beta}{2}\right)$.

    又$N$为$OM$与$PQ$的交点,

    则$N$必为$PQ$的中点,$\angle N O Q=\frac{\alpha+\beta}{2}-\beta=\frac{\alpha-\beta}{2}$.

    ①由$N$为线段$PQ$的中点,则$N$点的坐标可以表示为$\left(\frac{\cos \alpha+\cos \beta}{2}, \frac{\sin \alpha+\sin \beta}{2}\right)$.

    ②在$\mathrm{Rt} \triangle O N Q$中,

    $|\overrightarrow{O N}|=|\overrightarrow{O Q}| \cos \angle N O Q=\cos \frac{\alpha-\beta}{2}$.

    则点$N$的横坐标$x=|\overrightarrow{O N}| \cos \angle M O x=\cos \frac{\alpha-\beta}{2} \cos \frac{\alpha+\beta}{2}$.

    点$N$的纵坐标$y=|\overrightarrow{O N}| \sin \angle M O x=\cos \frac{\alpha-\beta}{2} \sin \frac{\alpha+\beta}{2}$.

    由①②,可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\cos \alpha+\cos \beta}{2}=\cos \frac{\alpha-\beta}{2} \cos \frac{\alpha+\beta}{2}} \\ {\frac{\sin \alpha+\sin \beta}{2}=\cos \frac{\alpha-\beta}{2} \sin \frac{\alpha+\beta}{2}}\end{array}\right.$

    也就是$\cos \alpha+\cos \beta=2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2}$,

    $\sin \alpha+\sin \beta=2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2}$.

例题解析
  • 题型一 求值问题

    【例1】 (1)求$\sin 20^{\circ} \cos 70^{\circ}+\sin 10^{\circ} \sin 50^{\circ}$的值;

    (2)已知$\cos \alpha-\cos \beta=\frac{1}{2}, \sin \alpha-\sin \beta=-\frac{1}{3}$,求$\sin (\alpha+\beta)$的值.

    分析解答本题,先利用积化和差、和差化积公式对所求式子进行变形,再利用特殊角的三角函数值或所给条件求解.

    反思

    通过和差化积与积化和差公式的运用,一是可产生特殊角,二是虽不是特殊角,但可正、负相消或分子、分母约分,从而达到求值的目的.

    【变式训练1】 求下列各式的值:

    (1) $\frac{\sin 35^{\circ}+\sin 25^{\circ}}{\cos 35^{\circ}+\cos 25^{\circ}}$

    $(2) \cos 146^{\circ}+\cos 94^{\circ}+2 \cos 47^{\circ} \cos 73^{\circ}$

  • 题型二 化简问题

    【例2】 化简:4 $\sin \left(60^{\circ}-\theta\right) \sin \theta \sin \left(60^{\circ}+\theta\right)$.

    分析观察$\left(60^{\circ}-\theta\right)$与$\left(60^{\circ}+\theta\right)$的和为特殊角,所以可用积化和差公式化简.

    反思

    此题直接考查公式的应用,对于这种题目,解题公式的选取是关键.

    【变式训练2】 化简: $\frac{\cos \alpha+\cos \left(120^{\circ}+\beta\right)+\cos \left(120^{\circ}-\beta\right)}{\sin \beta+\sin \left(120^{\circ}+\alpha\right)-\sin \left(120^{\circ}-\alpha\right)}$

  • 题型三 证明三角恒等式

    【例3】 在$\triangle A B C$中,求证:$\sin ^{2} A+\sin ^{2} B-\sin ^{2} C=2 \sin A \sin B \cos C$.

    分析先用降幂公式,再利用和差化积公式.

    反思

    在三角形中证明恒等式时,一方面要充分利用内角和为$\pi$这一条件,另一方面要注意降幂公式与和差化积、积化和差公式的合理运用.

    【变式训练3】 求证:$\sin ^{2} \alpha-\sin ^{2} \beta=\sin (\alpha+\beta) \sin (\alpha-\beta)$.

  • 题型四 恒等变换公式的综合应用

    【例4】 已知$A+B=\frac{2}{3} \pi$,求$\cos ^{2} A+\cos ^{2} B$的最值.

    分析将$\cos ^{2} A+\cos ^{2} B$利用降幂公式与积化和差、和差化积公式化为正弦形式或余弦形式.

    反思

    求一个三角函数式的单调性、最值、周期或值域等,一般要先将函数式化简为类似$A \sin (\omega x+\varphi)+k$的形式,再进行求解.对于本题,不要错误地求解为:$\cos ^{2} A$和$\cos ^{2} B$的最大值均为1,最小值都是0,所以原式的最大值为2,最小值为0.

    【变式训练4】 函数$y=\cos \left(\frac{\pi}{3}+2 x\right) \cos \left(\frac{\pi}{3}-2 x\right)$的最大值是(  )

    $\mathrm{A} \cdot \frac{3}{4} \quad \mathrm{B} \cdot -\frac{1}{4} \quad \mathrm{C} \cdot \frac{1}{4} \quad \mathrm{D} \cdot -\frac{3}{4}$

  • 题型五 易错辨析

    易错点:公式记忆不准确致错

    【例5】 下列各三角关系式不正确的是(  )

    $A \cdot \sin \alpha+\sin \beta=2 \sin \frac{\beta+\alpha}{2} \cos \frac{\beta-\alpha}{2}$

    $B \cdot \cos \alpha+\cos \beta=2 \cos \frac{\beta+\alpha}{2} \cos \frac{\beta-\alpha}{2}$

    $C \cdot \sin \alpha-\sin \beta=2 \cos \frac{\beta+\alpha}{2} \sin \frac{\beta-\alpha}{2}$

    D.cos $\alpha-\cos \beta=2 \sin \frac{\beta+\alpha}{2} \sin \frac{\beta-\alpha}{2}$

    【变式训练5】 求值:$\sin 55^{\circ}-\sin 65^{\circ}+\sin 5^{\circ}$

  • 真题

    1.有下列关系式:①$\sin 5 \theta+\sin 3 \theta=2 \sin 8 \theta \cos 2 \theta$;②$\cos 3 \theta-\cos 5 \theta=-2 \sin 4 \theta \sin \theta$;③$\sin 3 \theta-\sin 5 \theta=-\frac{1}{2} \cos 4 \theta \cos \theta$;④$\sin 5 \theta+\cos 3 \theta=2 \sin 4 \theta \cos \theta$;⑤$\sin x \sin y=\frac{1}{2}[\cos (x-y)-\cos (x+y)]$.其中正确等式的个数是(  )

    A.0  B.1  C.2  D.3

    2.$\cos 40^{\circ}+\cos 80^{\circ}+\cos 160^{\circ}$的值等于(  )

    $\mathrm{A} \cdot \frac{1}{2} \quad$ B.0

    $\operatorname{C.cos} 20^{\circ} \quad$ D. 2 $\cos 20^{\circ}$

    3.化简$\frac{\cos \left(\frac{\pi}{4}+x\right)-\sin \left(\frac{\pi}{4}+x\right)}{\cos \left(\frac{\pi}{4}+x\right)+\sin \left(\frac{\pi}{4}+x\right)}$的结果为(  )

    $\begin{array}{ll}{\text { A.tan } \frac{x}{2}} & {\text { B.tan } 2 x} \\ {\text { C.tan } x} & {\text { D. }-\tan x}\end{array}$

    4.$\frac{\sin 83^{\circ}+\sin 37^{\circ}}{\cos 83^{\circ}+\cos 37^{\circ}}=$________.

    5.函数$y=\sin \left(x-\frac{\pi}{6}\right) \cos x$的最小值是_________. 

    6.求$\sin ^{2} 20^{\circ}+\cos ^{2} 50^{\circ}+\sin 20^{\circ} \cos 50^{\circ}$的值. 

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