1.2.4.1 诱导公式(1)

时间:2019-9-9 19:05:03   作者:数学名师王老师
1.会借助单位圆的直观性探索正弦、余弦和正切的诱导公式.
2.掌握角$\alpha$与$\alpha+k \cdot 2 \pi(k \in \mathbf{Z}), \alpha$与$-\alpha$的三角函数间的关系,并能用公式解决简单的三角函数的化简、求值和有关三角函数命题的证明等问题.
知识点
  • 1.角$\alpha$与$\alpha+k \cdot 2 \pi(k \in \mathbf{Z})$的三角函数间的关系(诱导公式(一))

    $\cos (\alpha+k \cdot 2 \pi)=\cos \alpha$, 

    $\sin (\alpha+k \cdot 2 \pi)=\sin \alpha$, 

    $\tan (\alpha+k \cdot 2 \pi)=\tan \alpha$. 

    归纳总结 上述诱导公式我们可以根据终边相同的角的三角函数值相等来概括和理解.

    【做一做1-1】 $\sin 2190^{\circ}=$________. 

    解析:$\sin 2190^{\circ}=\sin \left(360^{\circ} \times 6+30^{\circ}\right)=\sin 30^{\circ}=\frac{1}{2}$

    答案:$\frac{1}{2}$

    【做一做1-2】 $\tan 405^{\circ}=$________. 

    解析:$\tan 405^{\circ}=\tan \left(360^{\circ}+45^{\circ}\right)=\tan 45^{\circ}=1$.

    答案:1

  • 2.角$\alpha$与$-\alpha$的三角函数间的关系(诱导公式(二))

    $\cos (-\alpha)=\cos \alpha$

    $\sin (-\alpha)=-\sin \alpha$

    $\tan (-\alpha)=-\tan \alpha$

    名师点拨

    因为角$\alpha$与$-\alpha$的终边关于$x$轴对称,所以结合三角函数线可得到上述诱导公式.

    【做一做2】 已知cos(12π-3)=p,用p表示tan(-3)=________. 

    解析:$\because \cos (12 \pi-3)=\cos (-3)=\cos 3=p$,

    又$\frac{\pi}{2} < 3<\pi, \therefore \sin 3=\sqrt{1-\cos ^{2} 3}=\sqrt{1-p^{2}}$

    $\therefore \tan (-3)=-\tan 3=-\frac{\sin 3}{\cos 3}=-\frac{\sqrt{1-p^{2}}}{p}$

    答案:$-\frac{\sqrt{1-p^{2}}}{p}$

重难点
  • 三角函数的诱导公式(一)与诱导公式(二)的作用

    剖析(1)诱导公式(一)的作用是将任意角的三角函数求值问题转化为0$\sim 2 \pi$π之间角的三角函数求值问题.

    (2)诱导公式(二)的作用是将任意负角的三角函数求值问题转化为正角的三角函数求值问题.

    在运用诱导公式时,要注意角的合理拆分.解答有关三角函数问题的时候,除了掌握特殊角的三角函数值外,还要能够把某些数值恰当地转化成某个特殊角的三角函数的形式,以达到简化问题的目的.如:

    $\sin \left(-300^{\circ}\right)$值的求解,可以用$\sin \left(-300^{\circ}\right)=-\sin 300^{\circ}=-\sin \left(360^{\circ}-60^{\circ}\right) \\ =-\sin \left(-60^{\circ}\right)=\sin 60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$,也可以用$\sin \left(-300^{\circ}\right)=\sin \left(-360^{\circ}+60^{\circ}\right) \\ =\sin 60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

    要多积累经验,注重解题方法的选择和比较.

例题解析
  • 题型一 直接利用诱导公式化简、求值

    【例1】 求下列各三角函数式的值:

    $(1) m \sin \frac{7 \pi}{2}+n \tan (-4 \pi)+p \cos \frac{5 \pi}{2}$

    $(2) a^{2} \sin 810^{\circ}+b^{2} \tan 765^{\circ} \\ +\left(a^{2}-b^{2}\right) \tan 1125^{\circ}-2 a b \cos 360^{\circ} .$

    分析利用诱导公式(一)、(二)求值即可.

    反思

    解决本题,可以得出的一般规律是:求值、化简时,一般先用诱导公式(二)把负角的三角函数值转化为正角的三角函数值,再用诱导公式(一)将其转化为$[0,2 \pi)$内的角的三角函数值.

    【变式训练1】 求下列各三角函数值:

    $(1) \sin 1110^{\circ};\quad(2) \cos \left(-\frac{15 \pi}{4}\right);\quad(3) \tan 750^{\circ} ;$

    $(4) \tan \left(-390^{\circ}\right) ; \quad(5) \cos \left(-\frac{13 \pi}{6}\right)$

  • 题型二 利用诱导公式证明三角恒等式

    【例2】 求证:$\tan (2 \pi-\alpha) \sin (-2 \pi-\alpha) \cos (6 \pi-\alpha) \\ =\sin ^{2} \alpha$.

    分析解答本题可直接利用诱导公式把等号左边的式子进行化简,直到推出右边.

    反思

    利用诱导公式证明等式问题,关键在于公式的灵活应用.主要思路在于如何配角,如何分析角之间的关系.

    【变式训练2】 求证:$\frac{\tan (2 \pi-\alpha) \sin (-2 \pi-\alpha) \cos (6 \pi-\alpha)}{\cos (-4 \pi+\alpha) \sin (4 \pi+\alpha)}=\tan \alpha$

  • 题型三 给值求值问题

    【例3】 已知$3 \sin (4 \pi-\alpha)=\cos (\alpha-2 \pi)$,求下列各式的值:

    (1) $\frac{4 \sin \alpha-2 \cos \alpha}{5 \cos \alpha+3 \sin \alpha}$

    (2) $\frac{2 \sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha}{\sin ^{2} \alpha-\cos ^{2} \alpha}$

    (3) $2 \sin ^{2} \alpha-\frac{3}{2} \sin \alpha \cos \alpha+5 \cos ^{2} \alpha$

    分析由已知条件可求得$\tan \alpha$,所求式为弦,并且是关于$\sin \alpha, \cos \alpha$的齐次式,故可弦化为切进行求值.

    反思

    已知$\tan \alpha$,求关于$\sin \alpha, \cos \alpha$的一次(或二次)齐次分式时,通常采用将分式的分子、分母同除以$\cos \alpha$(或$\cos ^{2} \alpha$)的方法化归为关于$\tan \alpha$的函数式,然后求解;求关于$\sin \alpha, \cos \alpha$的二次齐次整式时,常将整式通过除以“1”(用$\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha$替代1)转化为二次齐次分式,然后求解.

    【变式训练3】 (1)已知$\sin 70^{\circ}=m$,求$\cos \left(-290^{\circ}\right)$的值;

    (2)若$\frac{\sin (2 \pi+\alpha)-2 \cos (4 \pi-\alpha)}{3 \sin (-\alpha)+\cos (-6 \pi-\alpha)}=-1$,求$\tan \alpha$的值.

  • 题型四  易错辨析

    易错点:忽视分类讨论致错

    【例4】 化简$\frac{\sqrt{1+2 \sin (-\theta) \cos (2 \pi-\theta)}}{\sin (-6 \pi+\theta)-\cos (-\theta+4 \pi)}$

    【变式训练4】 化简$\sqrt{1+2 \sin \left(-290^{\circ}\right) \cdot \cos 430^{\circ}}$

  • 真题

    1.$\cos 315^{\circ}+\tan 420^{\circ}+\sin \left(-60^{\circ}\right)+\tan \left(-60^{\circ}\right)$的值是 (  )

    $\begin{array}{ll}{\mathrm{A} \cdot \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2}} & {\mathrm{B} \cdot \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}} \\ {\mathrm{C} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6}} & {\mathrm{D} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{6}}\end{array}$

    2.已知函数$f(x)=a \sin (\pi x+\alpha)+b \cos (\pi x+\beta)$,其中$a, b, \alpha, \beta$都是非零实数,且满足$f(2012)=-1$,则$f(2018)$等于(  )

    A.-1  B.0  C.1  D.2

    3.已知$\sin (2 \pi+\alpha)=\log _{8} \frac{1}{4}$,且$\alpha \in\left(-\frac{\pi}{2}, 0\right)$,则$\tan (2 \pi-\alpha)$的值为(  )

    $A .-\frac{2 \sqrt{5}}{5} \quad B \cdot \frac{2 \sqrt{5}}{5} C . \pm \frac{2 \sqrt{5}}{5} \quad D \cdot \frac{\sqrt{5}}{2}$

    4.$\cos \left(-1380^{\circ}\right)=$________. 

    5.已知$\frac{1+3 \cos (-\theta)}{\cos (2 \pi-\theta)}=\frac{2}{9}$,则$\cos (2018 \pi-\theta)=$________. 

    6.已知$\tan (6 \pi-\alpha)=-3$,求$\frac{4 \sin (\alpha-2 \pi)-\cos (4 \pi+\alpha)}{3 \sin (\alpha-8 \pi)-5 \cos (\alpha-6 \pi)}$的值.

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