1.2.3 同角三角函数的基本关系式

时间:2019-9-9 19:05:03   作者:数学名师王老师
1.理解同角三角函数的基本关系式:
$\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha=1, \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\tan \alpha$
2.会利用同角三角函数的基本关系式进行相关的化简、求值、证明等.
知识点
  • 1.同角三角函数的基本关系式

    平方关系:$\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha=1$;商关系:$\tan \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$

    深化提高 1.同角三角函数的基本关系式,反映了同角三角函数之间的内在联系.这里的“同角”,应作广义的理解,例如$\frac{\pi}{3}$与$\frac{\pi}{3}$是同角,3$\alpha$与3$\alpha$是同角,$5 \beta+\frac{\pi}{7}$与$5 \beta+\frac{\pi}{7}$也是同角,即$\sin ^{2} \frac{\pi}{3}+\cos ^{2} \frac{\pi}{3}=1, \tan 3 \alpha=\frac{\sin 3 \alpha}{\cos 3 \alpha}$等都是成立的.

    2.应用同角三角函数的基本关系式时,根据问题的需要,应注意它们的变形形式:

    如$\sin ^{2} \alpha=1-\cos ^{2} \alpha, \cos ^{2} \alpha=1-\sin ^{2} \alpha$,

    $\sin \alpha=\tan \alpha \cdot \cos \alpha, \cos \alpha=\frac{\sin \alpha}{\tan \alpha}$.


    3.同角三角函数的基本关系式有着广泛的应用.例如可以根据一个角的某一个三角函数值,求出这个角的其他三角函数值;还可以化简三角函数式以及证明有关的三角恒等式等.

    【做一做1-1】 若$\sin \alpha=-\frac{1}{2}, \alpha \in\left(-\frac{\pi}{2}, 0\right)$,则$\tan \alpha$等于(  )

    $\mathrm{A} \cdot \frac{1}{2}$   $\mathrm{B} \cdot-\frac{\sqrt{3}}{2}$   $\mathrm{C} \cdot-\sqrt{3}$   $\mathrm{D} \cdot-\frac{\sqrt{3}}{3}$

    解析:因为$\sin \alpha=-\frac{1}{2}, \alpha \in\left(-\frac{\pi}{2}, 0\right)$,

    所以$\cos \alpha=\sqrt{1-\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

    所以$\tan \alpha=-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

    答案:$D$

    【做一做1-2】$(\tan x+\cot x) \cdot \cos ^{2} x$等于(  )

    $\begin{array}{ll}{\text { A.tan } x} & {\text { B. sin } x} \\ {\text { C.cos } x} & {\text { D.cot } x}\end{array}$

    解析:$(\tan x+\cot x) \cdot \cos ^{2} x \\ =\left(\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}\right) \cdot \cos ^{2} x$

    $=\frac{1}{\sin x \cdot \cos x} \cdot \cos ^{2} x=\frac{\cos x}{\sin x}=\cot x$

    答案:D 

  • 2.同角三角函数的基本关系式成立的条件

    当$\alpha \in \mathbf{R}$ 时,$\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha=1$成立;

    当$\alpha \neq k \pi+\frac{\pi}{2}(k \in \mathbf{Z})$时,$\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\tan \alpha$成立. 

    【做一做2】$\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}=\cot \alpha$成立的条件是_________. 


    答案:$\alpha \neq k \pi(k \in \mathbf{Z})$

重难点
  • 1.探索$\sin \alpha+\cos \alpha, \sin \alpha-\cos \alpha, \sin \alpha \cos \alpha$之间的关系

    剖析$\because \sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha=1$,

    $\therefore \sin ^{2} \alpha+2 \sin \alpha \cos \alpha+\cos ^{2} \alpha \\ =1+2 \sin \alpha \cos \alpha$

    $\therefore(\sin \alpha+\cos \alpha)^{2}  =1+2 \sin \alpha \cos \alpha$

    同理可得$(\sin \alpha-\cos \alpha)^{2}=1-2 \sin \alpha \cos \alpha$.

    ∴(sin α+cosα)2+(sinα-cosα)2=2,

    $\therefore(\sin \alpha+\cos \alpha)^{2}+(\sin \alpha-\cos \alpha)^{2}=2$

    $\sin \alpha \cos \alpha=\frac{1}{2}(\sin \alpha+\cos \alpha)^{2}-\frac{1}{2} \\ =\frac{1}{2}-\frac{1}{2}(\sin \alpha-\cos \alpha)^{2}$

    $\therefore \sin \alpha+\cos \alpha, \sin \alpha-\cos \alpha, \sin \alpha \cos \alpha$可“知一求二”,也就是已知这三个三角函数式中任意一个式子的值,就能求其他两个三角函数式的值.这些关系式的应用非常广泛,是高考的热点之一,应引起我们的重视.

  • 2.同角三角函数的基本关系式应用指南

    剖析(1)已知角$\alpha$的一个三角函数值,求$\alpha$的其余三角函数值时,要特别注意角$\alpha$所在的象限,以确定三角函数值的符号.一般有以下三种情况:

    ①已知某一三角函数值,且角在某一确定的象限,这时只有一组解;

    ②已知某一三角函数值,但没有给出角所在的象限,这时一般有两组解,需对角所在的象限分两种情况讨论.如已知$\sin \alpha=\frac{12}{13}$ ,求$\cos \alpha, \tan \alpha$;

    ③所给的某一三角函数值为字母,这时必须对字母的各种取值情况进行分类讨论.如已知$\sin \alpha=t$,求$\cos \alpha, \tan \alpha$.

    (2)在计算、化简或证明三角函数式时,常用的技巧有:“1”的代换,减少不同名的三角函数,或化切为弦,或化弦为切;多项式运算技巧的运用,如因式分解等;条件或结论的重新整理、配置或改造,以便更有利于同角三角函数式的应用.

    (3)运用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值、证明时,主要是灵活运用公式,消除差异,思维模式可归纳为三点:

    ①发现差异:观察角、函数、关系结构的差异;

    ②寻求联系:运用相关公式,找出转化差异的联系;

    ③合理转化:选择恰当的公式实现差异的转化.

例题解析
  • 题型一 利用同角三角函数基本关系式求值

    【例1】 已知$\alpha$是第四象限的角,且$\tan \alpha=-\frac{5}{12}$,求$\sin \alpha$.

    分析利用平方关系和商式关系列方程组求解即可. 

    反思在利用同角三角函数基本关系式时,一定要注意角的终边所在的象限,若没有象限的限制,则要进行分类讨论;再者,要注意关系式中的角必须是同角,否则不能使用此公式.

    【变式训练1】 如果$\sin \alpha=\frac{3}{5}$,且α是第二象限的角,那么$\tan \alpha$的值等于(  )

    A. $-\frac{4}{3}$ $\mathrm{B} \cdot-\frac{3}{4}$ $\mathrm{C} \cdot \pm \frac{3}{4}$ $\mathrm{D} . \pm \frac{4}{3}$

  • 题型二 利用同角三角函数基本关系式化简

    【例2】 已知$\tan \alpha=2$,先化简,再求值:

    (1)$\frac{2 \sin \alpha-3 \cos \alpha}{4 \sin \alpha-9 \cos \alpha}=$=_________; 

    (2)$\frac{2 \sin ^{2} \alpha-3 \cos ^{2} \alpha}{4 \sin ^{2} \alpha-9 \cos ^{2} \alpha}=$=_________. 

    反思

    这是一组在已知$\tan \alpha=m$的条件下,求关于$\sin \alpha, \cos \alpha$的齐次式的值的问题.解这类问题需注意以下几点:

    (1)一定是关于$\sin \alpha, \cos \alpha$的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式;

    (2)因为$\cos \alpha \neq 0$,所以可同除以$\cos ^{n} \alpha\left(n \in \mathbf{N}_{+}\right)$.这样可将所求式化为关于$\tan \alpha$的表达式,然后整体代入$\tan \alpha=m$求解.

    【变式训练2】 (1)已知$\tan \alpha=-4$,则$\frac{2 \sin ^{2} \alpha+1}{3 \sin ^{2} \alpha-\cos ^{2} \alpha}=$_________; 

    (2)若$\frac{2 \sin \alpha-3 \cos \alpha}{4 \sin \alpha-9 \cos \alpha}=-1$,则$\tan \alpha=$________. 

  • 题型三 三角恒等式的证明

    【例3】 求证:$\sin \theta(1+\tan \theta)+\cos \theta\left(1+\frac{1}{\tan \theta}\right) \\ =\frac{1}{\sin \theta}+\frac{1}{\cos \theta}$.

    分析化简一般采用切化弦的方式,即把左边的正切值用$\tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}$替换.

    反思

    证明三角恒等式的原则是由繁到简,常用的方法有:

    (1)从一边开始,证明它等于另一边;

    (2)证明左右两边都等于同一个式子;

    (3)变更论证.采用左右相减、化除为乘等方法,转化成与原结论等价的命题形式.

    【变式训练3】 求证:$2(1-\sin \alpha)(1+\cos \alpha)=(1-\sin \alpha+\cos \alpha)^{2}$.

  • 题型四 易错辨析

    易错点:忽视隐含条件致错

    【例4】 若$\sin \alpha=\frac{k+1}{k-3}, \cos \alpha=\frac{k-1}{k-3}(k \neq 3)$,求$\frac{\tan \alpha-1}{\tan \alpha+1}$的值.

    【变式训练4】 已知$\cos 130^{\circ}=m(m \neq 0)$,求$\tan 130^{\circ}$的值. 

  • 真题

    1.已知$\cos \alpha=-\frac{3}{5}$,且$\alpha$为第二象限的角,则$\tan \alpha$的值等于(  )

    $\mathrm{A} \cdot \frac{4}{3}$ $\mathrm{B} \cdot-\frac{4}{3}$ $\mathrm{C} \cdot \frac{3}{4}$  $D .-\frac{3}{4}$

    2.已知$\cos \theta=\frac{4}{5}$,且$\frac{3 \pi}{2}<\theta < 2 \pi$,则$\frac{1}{\tan \theta}$的值为(  )

    $A \cdot \frac{3}{4} B \cdot-\frac{3}{4} C \cdot \frac{5}{3} D \cdot-\frac{4}{3}$

    3.角A为$\triangle A B C$的一个内角,若$\sin A+\cos A=\frac{12}{25}$,则$\triangle A B C$的形状为(  )

    A.锐角三角形    B.钝角三角形

    C.等腰直角三角形  D.等腰三角形

    4.已知$\alpha \in\left(\pi, \frac{3 \pi}{2}\right), \tan \alpha=2$,则$\cos \alpha=$________. 

    5.若$\tan \alpha=2$,则$\sin ^{2} \alpha-\cos ^{2} \alpha=$________. 

    6.求证:$\frac{\tan \alpha \cdot \sin \alpha}{\tan \alpha-\sin \alpha}=\frac{\tan \alpha+\sin \alpha}{\tan \alpha \cdot \sin \alpha}$

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