1.1.1 角的概念的推广

时间:2019-9-9 19:05:03   作者:数学名师王老师
1.结合具体实例体会角的概念的推广,能正确区分正角、负角和零角.
2.理解象限角与终边在坐标轴上的角的特征.
3.掌握终边相同的角的表示方法,并能判断角所在的位置.
知识点
  • 1.任意角

    (1)角的定义.

    ①静态定义:有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,这个公共端点叫做角的顶点,这两条射线叫做角的边.

    ②动态定义:一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角,所旋转射线的端点叫做角的顶点,开始位置的射线叫做角的始边,终止位置的射线叫做角的终边.

    (2)角的记法:用一个希腊字母表示;用三个大写的英文字母表示(字母前面要写“$\angle$”).

    (3)在平面内,一条射线绕它的端点旋转有两个相反的方向:顺时针方向和逆时针方向.习惯上规定,按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角;按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角;当射线没有旋转时,也把它看成一个角,叫做零角;旋转生成的角,又常叫做转角.这样就形成了任意大小的角,即任意角.

    (4)角的运算:引入正角、负角的概念以后,角的减法运算可以转化为角的加法运算,即$\alpha-\beta$可以化为$\alpha+(-\beta)$.这就是说,各角和的旋转量等于各角旋转量的和.

    【做一做1】 钟表的分针在一个半小时内转了(  )

    A. $180^{\circ}$ $\mathrm{B} \cdot-180^{\circ}$  $\mathrm{C} .540^{\circ}$  $\mathrm{D} \cdot-540^{\circ}$

    解析:分针是顺时针旋转的,故分针旋转而成的角为负角,其值为-$\mathrm{C.} 540^{\circ}$.

    答案:D

  • 2.终边相同的角

    设$\alpha$表示任意角,所有与$\alpha$终边相同的角,包括$\alpha$本身构成一个集合,这个集合可记为$S=\left\{\beta | \beta=\alpha+k \cdot 360^{\circ} \quad, k \in \mathbf{Z}\right\}$,即任一与$\alpha$终边相同的角,都可以表示成$\alpha$与整数个周角的和的形式.

    归纳总结
    1.集合中的$\alpha$为任意角.

    2.$k \cdot 360^{\circ}-\alpha, k \in \mathbf{Z}$可理解为$k \cdot 360^{\circ}+(-\alpha), k \in \mathbf{Z}$,即$k \cdot 360^{\circ}-\alpha, k \in \mathbf{Z}$的终边与$-\alpha$的终边相同.

    3.相等的角终边一定相同,终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无数个,它们相差$360^{\circ}$的整数倍.

    4.“$k \in \mathbf{Z}$”这一条件不可少.

    5.零角的始边和终边相同,但始边和终边相同的角并不一定是零角.

    【做一做2-1】 与$610^{\circ}$角终边相同的角表示为(  )

    A. $k \cdot 360^{\circ}+230^{\circ}, k \in \mathbf{Z}$

    B. $k \cdot 360^{\circ}+250^{\circ}, k \in \mathbf{Z}$

    C. $k \cdot 360^{\circ}+70^{\circ}, k \in \mathbf{Z}$

    D. $k \cdot 360^{\circ}+270^{\circ}, k \in \mathbf{Z}$

    解析:$\because 610^{\circ}=360^{\circ}+250^{\circ}$,

    ∴所求角为$k \cdot 360^{\circ}+250^{\circ}, k \in \mathbf{Z}$.

    答案:B

    【做一做2-2】 在$-398^{\circ}, 38^{\circ}, 142^{\circ}, 1042^{\circ}$角中,终边相同的角是(  )

    $\begin{array}{ll}{\mathrm{A} \cdot-398^{\circ}} & {, 38^{\circ}} & {\mathrm{B} \cdot-398^{\circ}} & {, 142^{\circ}} \\ {\mathrm{C} \cdot-398^{\circ}} & {, 1042^{\circ}} & {\mathrm{D} .142^{\circ}} & {, 1042^{\circ}}\end{array}$

    解析:$-398^{\circ}=-1 \times 360^{\circ}-38^{\circ}, \\ 1042^{\circ}=3 \times 360^{\circ}-38^{\circ}$

    答案:C

  • 3.象限角

    (1)在平面直角坐标系中,如果将角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴正半轴重合,那么角的终边在第几象限,就把这个角叫做第几象限的角.

    (2)如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限.

    【做一做3-1】 已知$\alpha$是第三象限的角,则$-\alpha$的终边在 (  )

    A.第一象限  B.第二象限

    C.第三象限  D.第四象限

    解析:因为$\alpha$是第三象限的角,

    所以$k \cdot 360^{\circ}+180^{\circ}<\alpha < \\ k \cdot 360^{\circ}+270^{\circ}, k \in \mathbf{Z}$

    则$-k \cdot 360^{\circ}-270^{\circ}<-\alpha< \\ -k \cdot 360^{\circ}-180^{\circ}, k \in \mathbf{Z}$

    故$-\alpha$的终边在第二象限.

    答案:B

    【做一做3-2】$-2017^{\circ}$角是第_________象限的角. 

    解析:$\because-2017^{\circ}=-6 \times 360^{\circ}+143^{\circ}$,

    即$-2017^{\circ}$角与$143^{\circ}$角终边相同,而$143^{\circ}$是第二象限的角,

    $\therefore-2017^{\circ}$是第二象限的角.

    答案:二

重难点
  • 1.各象限角与终边在坐标轴上的角的表示

    剖析(1)象限角的集合.

    第一象限的角的集合为$\left\{x | k \cdot 360^{\circ} < x < \\ k \cdot 360^{\circ}+90^{\circ}, k \in \mathbf{Z}\right\}$

    第二象限的角的集合为$\left\{x | k \cdot 360^{\circ}+90^{\circ} < \\ x < k \cdot 360^{\circ}+180^{\circ}, k \in \mathbf{Z}\right\}$

    第三象限的角的集合为$\left\{x | k \cdot 360^{\circ}+180^{\circ} < \\ x < k \cdot 360^{\circ}+270^{\circ}, k \in \mathbf{Z}\right\}$

    第四象限的角的集合为$\left\{x | k \cdot 360^{\circ}+270^{\circ} < \\ x < k \cdot 360^{\circ}+360^{\circ}, k \in \mathbf{Z}\right\}$


    (2)终边在坐标轴上的角的集合.

    终边落在x轴的正半轴上,角的集合为$\left\{x | x=k \cdot 360^{\circ}, k \in \mathbf{Z}\right\}$;

    终边落在x轴的负半轴上,角的集合为{x|x=k?360°+180°,k∈Z};

    终边落在x轴上,角的集合为$\left\{x | x=k \cdot 360^{\circ}+180^{\circ}, k \in \mathbf{Z}\right\}$;

    终边落在y轴的正半轴上,角的集合为$\left\{x | x=k \cdot 360^{\circ}+90^{\circ}, k \in \mathbf{Z}\right\}$;

    终边落在y轴的负半轴上,角的集合为$\left\{x | x=k \cdot 360^{\circ}-90^{\circ}, k \in \mathbf{Z}\right\}$;

    终边落在y轴上,角的集合为$\left\{x | x=k \cdot 180^{\circ}+90^{\circ}, k \in \mathbf{Z}\right\}$;

    终边落在坐标轴上,角的集合为$\left\{x | x=k \cdot 90^{\circ}, k \in \mathbf{Z}\right\}$.

    名师点拨

    象限角与终边在坐标轴上的角的集合的表示形式并不唯一,还有其他的表示形式.如终边落在y轴的非正半轴上,角的集合为$\left\{x | x=k \cdot 360^{\circ}+270^{\circ}, k \in \mathbf{Z}\right\}$.

  • 2.第一象限的角、小于$90^{\circ}$的角、$0^{\circ} \sim 90^{\circ}$的角、锐角的差别

    剖析受初中所学角的影响,往往在解决问题时,考虑的角还是仅仅停留在锐角、直角、钝角上,即初中所学角的范围,没有按任意角来看待.其突破方法是把握住各类角的取值范围.

    锐角是$0^{\circ}<\alpha < 90^{\circ}$的角;

    $0^{\circ} \sim 90^{\circ}$的角是$0^{\circ} \leq \alpha < 90^{\circ}$的角;

    小于$90^{\circ}$的角包括锐角以及所有负角和零角;

    第一象限的角是$\left\{\alpha | k \cdot 360^{\circ}<\alpha < k \cdot 360^{\circ}+90^{\circ}, k \in \mathbf{Z}\right\}$所表示的角,其中有正角、负角.

    名师点拨要正确区分易混的概念,如锐角一定是第一象限的角,而第一象限的角不全是锐角,如$-330^{\circ}, 730^{\circ}$角都是第一象限的角,但它们都不是锐角.

  • 3.教材中的“思考与讨论”

    (1)如果$\alpha$是第一象限的角,那么$\alpha$的取值范围可以表示为怎样的不等式?

    (2)如果$\alpha$分别是第一、第二、第三和第四象限的角,那么$\frac{\alpha}{2}$分别是第几象限的角?

    剖析(1)如果$\alpha$是第一象限的角,那么$\alpha$的取值范围可以表示为$k \cdot 360^{\circ}<\alpha < k \cdot 360^{\circ}+90^{\circ}, k \in \mathbf{Z}$.

    (2)若$\alpha$是第一象限的角,则$k \cdot 360^{\circ}<\alpha < k \cdot 360^{\circ}+90^{\circ}, k \in \mathbf{Z}$,故$180^{\circ} \cdot k<\frac{\alpha}{2} < 180^{\circ} \cdot k+45^{\circ}, k \in \mathbf{Z}$.

    ①若$k=2 n, n \in \mathbf{Z}$,则$360^{\circ} \cdot n<\frac{\alpha}{2} < 360^{\circ} \cdot n+45^{\circ}, n \in \mathbf{Z}$,此时为第一象限的角;

    ②若$k=2 n+1, n \in \mathbf{Z}$,则$360^{\circ} \cdot n+180^{\circ}<\frac{\alpha}{2} < 360^{\circ} \cdot n+180^{\circ}+45^{\circ}, \\ n \in \mathbf{Z}$,此时$\frac{\alpha}{2}$为第三象限的角.

    所以,当$\alpha$为第一象限的角时,$\frac{\alpha}{2}$可以为第一、三象限的角.

    同理,当$\alpha$为第二象限的角时,$\frac{\alpha}{2}$可以为第一、三象限的角;当$\alpha$为第三象限的角时,$\frac{\alpha}{2}$可以为第二、四象限的角;当$\alpha$为第四象限的角时,$\frac{\alpha}{2}$可以为第二、四象限的角.

    我们可以用以下方法对$\frac{\alpha}{2}$的终边所在的象限的结论进行记忆:

    作出各个象限的角平分线,它们与坐标轴一起把周角等分成8个区域,从x轴的非负半轴起,按逆时针方向把这8个区域依次循环标上1,2,3,4,如图所示,当$\alpha$为第几象限的角时,则标的数字是几的两个区域,就是$\frac{\alpha}{2}$的终边所在的区域.

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例题解析
  • 题型一 对角的概念的理解

    【例1】 下列结论正确的是(  )

    A.第一象限的角都是锐角

    B.锐角都是第一象限的角

    C.第一象限的角一定不是负角

    D.小于$180^{\circ}$的角是钝角、直角或锐角

    反思

    解答本题的关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、正角、负角等概念.另外需要掌握判断结论正确与否的技巧.判断结论正确,需要证明;而判断结论错误,只要举出一个反例即可.

    【变式训练1】 给出以下说法:

    ①第二象限的角都是钝角;②三角形的内角一定是第一、二象限的角;③不相等的角的终边一定不相同;④第四象限的角一定比第一象限的角大;⑤若$\alpha$是锐角,则$90^{\circ}$$-\alpha$一定是锐角.

    其中正确说法的个数是_________. 

  • 题型二 终边相同的角的问题

    【例2】 写出与$75^{\circ}$角终边相同的角的集合,并在$\left[360^{\circ}, 1080^{\circ}\right)$内找出与它终边相同的所有角.

    分析根据与角$a$终边相同的角的集合为$S=\left\{\beta | \beta=k \cdot 360^{\circ}+\alpha, k \in \mathbf{Z}\right\}$,写出与7$75^{\circ}$角终边相同的角的集合,再取适当的$k$值,求出在$\left[360^{\circ}, 1080^{\circ}\right)$内的角.

    反思

    求某一范围内与已知角的终边相同的角时,常在集合中,通过对k进行赋值求得.

    【变式训练2】 下列各角中,与$30^{\circ}$角终边相同的角是(  )

    A. $150^{\circ} \quad$ B. $210^{\circ}$ $\mathrm{C}-330^{\circ} \quad \mathrm{D} .330^{\circ}$

    【例3】 在角的集合$\left\{\alpha | \alpha=k \cdot 90^{\circ}+45^{\circ} \quad, k \in \mathbf{Z}\right\}$中,

    (1)有几种终边不相同的角?

    (2)有几个在$-360^{\circ} \sim 360^{\circ}$范围内的角?

    分析从代数角度看,取$k=\ldots,-2,-1,0,1,2, \ldots$,可以得α为$\ldots,-135^{\circ},-45^{\circ} \quad, 45^{\circ}, 135^{\circ} \quad, 225^{\circ}, \ldots$;从图形角度看,是以$45^{\circ}$角为基础,依次加上(或减去$90^{\circ}$的整数倍,即依次按逆时针(或顺时针)方向旋转$90^{\circ}$所得各角,如图所示.结合图形求解.

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    反思

    把代数计算与对图形的认识结合起来即数形结合,会使这类问题处理起来更容易些.数形结合是解决数学问题的最重要的方法之一,做题时要注意应用.

    【变式训练3】 已知角$\alpha$的终边落在直线$y=x$上,则角$\alpha$的集合$S=$(  )

    A. $\left\{\alpha | \alpha=k \cdot 360^{\circ}+45^{\circ} \quad, k \in \mathbf{Z}\right\}$

    B. $\left\{\alpha | \alpha=k \cdot 90^{\circ}+45^{\circ}, k \in \mathbf{Z}\right\}$

    C. $\left\{\alpha | \alpha=k \cdot 360^{\circ}+225^{\circ}, k \in \mathbf{Z}\right\}$

    $\mathrm{D} .\left\{\alpha | \alpha=k \cdot 180^{\circ}+45^{\circ}, k \in \mathbf{Z}\right\}$

  • 题型三 象限角

    【例4】 若$\alpha$是第三象限的角,试判断2$\alpha$是第几象限的角?$180^{\circ}$$-\alpha$是第几象限的角?

    分析根据$\alpha$所在的象限,用不等式表示其范围,再求出$2 \alpha, 180^{\circ}$$-\alpha$的范围,从而确定它们所在的象限.

    反思

    1.给定一个角,判断其终边所在的象限,将所给出的角的度数除以$360^{\circ}$,求出其在$\left[0^{\circ}, 360^{\circ}\right)$内的余数,再根据这个余数来确定角所在的象限.

    2.已知角$\alpha$终边所在的象限,求$n \alpha$或$\frac{\alpha}{n}\left(n \in \mathbf{N}_{+}\right)$的终边所在的象限,可用分类讨论法解决,也可用几何法解决.

    【变式训练4】 若$a$是第一象限的角,则$\frac{\alpha}{2}+180^{\circ}$的终边所在的象限是(  )

    A.第一、二象限  B.第二、三象限

    C.第一、三象限  D.第二、四象限

  • 题型四 终边相同的角的集合之间的关系

    【例5】 设集合$A=\left\{\alpha | \alpha=k \cdot 180^{\circ}+90^{\circ}, k \in \mathbf{Z}\right\} \cup \\ \left\{\alpha | \alpha=k \cdot 180^{\circ}, k \in \mathbf{Z}\right\}$
    ,集合$B=\left\{\beta | \beta=k \cdot 90^{\circ} \quad, k \in \mathbf{Z}\right\}$,则(  )

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    反思

    判断角的集合之间的关系一般有两种方法:一种方法是将各集合中表示角的式子化为同一种形式(这种方法要用到整数分类的有关知识);另一种方法是将各集合中表示角的式子中的k赋值,并将角的终边画在坐标系中,直至重复出现相同位置的终边为止,根据各类集合中角的终边的情况,判断角的集合的关系.

    【变式训练5】 设集合$M=\left\{\alpha | \alpha=k \cdot 360^{\circ}+50^{\circ}, k \in \mathbf{Z}\right\}, \\ N=\left\{\alpha | \alpha=k \cdot 180^{\circ}+50^{\circ}, k \in \mathbf{Z}\right\}$
    ,则$M$与$N$的关系是(  )

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  • 真题

    1.把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转$240^{\circ}$所形成的角是(  )

    $\mathrm{A} .120^{\circ} \quad \mathrm{B}-120^{\circ}$  $\mathrm{C.} 240^{\circ} \quad \mathrm{D} .-240^{\circ}$

    2.与$120^{\circ}$角终边相同的角是(  )

    $\mathrm{A} \cdot-600^{\circ}+k \cdot 360^{\circ}(k \in \mathbf{Z})$

    $\mathrm{B} \cdot-120^{\circ}+k \cdot 360^{\circ}(k \in \mathbf{Z})$

    $\mathrm{C.} 120^{\circ}+(2 k+1) \cdot 180^{\circ}(k \in \mathbf{Z})$

    $\mathrm{D} .660^{\circ}+k \cdot 360^{\circ}(k \in \mathbf{Z})$

    3.若$\alpha$为锐角,则下列各角中为第四象限的角的是(  )

    $\begin{array}{ll}{\mathrm{A} .90^{\circ}-\alpha} & {\mathrm{B.90}^{\circ}+\alpha} \\ {\mathrm{C.} 360^{\circ}-\alpha} & {\mathrm{D.180}^{\circ}+\alpha}\end{array}$

    4.已知角$\alpha$终边上的一点的坐标是$P(0,-3)$,则角$\alpha$的集合是_________. 

    5.终边在直线$y=-\sqrt{3} x$_________ x上的所有角的集合是_________,上述集合在$-180^{\circ} \sim 180^{\circ}$范围内的角是_________. 

    6.判断下列命题是否正确,并说明理由.

    (1)第一象限的角小于第二象限的角;

    (2)若$90^{\circ} \leq \alpha \leq 180^{\circ}$,则$\alpha$是第二象限的角.

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