1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算

时间:2019-9-9 19:05:03   作者:数学名师王老师
1.了解弧度制,明确1弧度的含义,能正确地进行弧度和角度的互化.
2.会应用弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式,并注意与角度制下的两个公式进行区分.
知识点
  • 1.弧度制

    (1)定义:以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制.

    (2)度量方法:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.

    (3)记法:弧度单位用符号“rad”表示,或用弧度两个字表示.在用弧度制表示角的大小时,通常单位省略不写. 

    (4)弧度数的公式:

    如果半径为$r$的圆的圆心角$\alpha$所对弧的长为$l$,那么角$\alpha$的弧度数$\alpha=\frac{l}{r}$

    名师点拨

    1.在公式$\alpha=\frac{l}{r}$ 中,$\alpha$是弧度数,不是角度数.

    2.角$\alpha$与其所在圆的半径的大小无关,它由比值$\frac{l}{r}$唯一确定.

    3.在弧度制下,角的集合与实数集$\mathbf{R}$之间是一一对应的关系.

    4.正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0.

    【做一做1】 在半径为3 $\mathrm{cm}$的圆中,长为6 $\mathrm{cm}$的圆弧所对的圆心角的弧度数等于(  )

    $\begin{array}{llll}{\text { A. } \frac{1}{2}} & {\text { B.2 }} & {\text { C.3 }} & {\text { D.6 }}\end{array}$

    解析:圆心角的弧度数$\alpha=\frac{6}{3}=2$

    答案:B

  • 2.角度制与弧度制

    (1)角度制与弧度制的换算.


    $360^{\circ}=2 \pi \mathrm{rad}$$1^{\circ}=\frac{\pi}{180} \mathrm{rad} \approx 0.01745 \mathrm{rad}$

    角度化弧度

    弧度化角度

    $2 \pi \mathrm{rad}=360^{\circ}$


    $180^{\circ}=\pi \mathrm{rad}$

    $\pi \mathrm{rad}=180^{\circ}$

    $1 \mathrm{rad}=\left(\frac{180}{\pi}\right)^{\circ} \approx$°≈57.30°


    (2)特殊角的弧度数. 

    角度

    $0^{\circ}$

    $15^{\circ}$

    $30^{\circ}$

    $45^{\circ}$

    $60^{\circ}$

    $75^{\circ}$

    $90^{\circ}$

    $120^{\circ}$

    $135^{\circ}$

    $150^{\circ}$

    弧度

    0

    $\frac{\pi}{12}$

    $\frac{\pi}{6}$

    $\frac{\pi}{4}$

    $\frac{\pi}{3}$

    $\frac{5 \pi}{12}$

    $\frac{\pi}{2}$

    $\frac{2 \pi}{3}$

    $\frac{3 \pi}{4}$

    $\frac{5 \pi}{6}$

    角度

    180$^{\circ}$

    210$^{\circ}$

    225$^{\circ}$ 

    240$^{\circ}$

    270$^{\circ}$

    300$^{\circ}$

    315$^{\circ}$ 

    330$^{\circ}$

    360$^{\circ}$

    弧度

     $\pi$

    $\frac{7 \pi}{6}$

    $\frac{5 \pi}{4}$

    $\frac{4 \pi}{3}$

    $\frac{3 \pi}{2}$

    $\frac{5 \pi}{3}$

    $\frac{7 \pi}{4}$

    $\frac{11 \pi}{6}$

     2$\pi$

    【做一做2-1】$\frac{3 \pi}{5}$弧度化为角度是_________,是第_________象限的角_________处应填(  ) 

    A.$108^{\circ}$ 二  B.$98^{\circ}$ 二 

    C.$130^{\circ}$ 二  D.$230^{\circ}$ 三

    解析:$\because 1 \mathrm{rad}=\left(\frac{180}{\pi}\right)^{\circ}, . : \frac{3 \pi}{5} \mathrm{rad} \\ =\frac{3 \pi}{5} \times\left(\frac{180}{\pi}\right)^{\circ}=\left(\frac{3 \pi}{5} \times \frac{180}{\pi}\right)^{\circ} \\ =108^{\circ}$b
    ,是第二象限的角.

    答案:A

    【做一做2-2】 把$-320^{\circ}$化为弧度是(  )

    $\begin{array}{lll}{\text { A. } \frac{4 \pi}{3}} & {\text { B. } \frac{16 \pi}{9}} & {\text { C. } \frac{7 \pi}{4}} & {\text { D. }-\frac{7 \pi}{6}}\end{array}$

    解析:$-320^{\circ}=-320 \times \frac{\pi}{180}=-\frac{16 \pi}{9}$

    答案:B

  • 3.扇形的弧长及面积公式

    设扇形的半径为$r$,弧长为$l, \alpha$为其圆心角,则


        度量

      单位

    类别    

    $\alpha$为角度数

    $\alpha$为弧度数

    扇形的弧长

    $l=\frac{\alpha}{180} \pi r$

    $l=\alpha r$

    扇形的面积

    $S=\frac{\alpha}{360} \pi r^{2}$

    $S=\frac{1}{2} 1 r=\frac{1}{2} \alpha r^{2}$


    深化提高使用弧度制下的弧长公式、扇形面积公式有诸多优越性,但是若已知的角是以“度”为单位,则必须先把角度化成弧度后再计算,这样可避免烦琐的计算过程.

    【做一做3-1】 已知半径为12 $\mathrm{cm}$,弧长为8$\pi \mathrm{cm}$的圆弧,其所对的圆心角为$\alpha$,则$\alpha$=_________. 

    答案:$\frac{2 \pi}{3} \mathrm{rad}$

    【做一做3-2】 若2弧度的圆心角所对的弧长为4 $\mathrm{cm}$,则这个圆心角所在的扇形面积为_________$\mathrm{cm}^{2}$. 

    解析:根据扇形的面积公式$S=\frac{1}{2} l r$,可得$S=\frac{1}{2} \times 4 \times \frac{4}{2}=4\left(\mathrm{cm}^{2}\right)$.

    答案:4

重难点
  • 1.弧度制与角度制的关系

    剖析(1)1弧度是长度等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小,而$1^{\circ}$是圆周的$\frac{1}{360}$所对的圆心角的大小.

    (2)不管是以“弧度”为单位还是以“度”为单位,角的大小都是一个与半径大小无关的定值.

    (3)用弧度为单位表示角时,常常把弧度数写成多少π的形式,如无特殊要求,不必把π写成小数,如$45^{\circ}=\frac{\pi}{4}$弧度,不必写成$45^{\circ} \approx 0.785$弧度.

    (4)弧度制和角度制一样,只是一种度量角的方法.弧度制与角度制相比有一定的优点,其一是在进位上,角度制在度、分、秒上是60进位制,不便于计算,而弧度制是十进位制,给运算带来方便;其二是在弧长公式与扇形面积公式的表达上,弧度制下的公式远比角度制下的公式简单,运用起来方便.

    (5)在今后表示角的时候,由于弧度制的优点,常常使用弧度制表示角,但也要注意,用弧度制表示角时,不能与角度制混用,例如$\alpha=2 k \pi+30^{\circ}(k \in \mathbf{Z}), \\ \beta=k \cdot 360^{\circ}+\frac{3 \pi}{2}(k \in \mathbf{Z})$
    都是不正确的

  • 2.教材中的“思考与讨论”

    请你把扇形面积公式与三角形面积公式进行类比,你会产生什么联想?

    剖析扇形的面积公式$S=\frac{1}{2} l r$,其中l为扇形的弧长,$r$为扇形的半径;三角形的面积公式$S=\frac{1}{2} a h$,其中$a$为三角形的底边长,$h$是边长为$a$的底边上的高.扇形可以看作是特殊的三角形,其中将弧长看作是三角形的底边,半径看作是三角形底边上的高.

例题解析
  • 题型一 弧度制的概念

    【例1】 下列各命题中,真命题是(  )

    A.1弧度是一度的圆心角所对的弧

    B.1弧度是长度为半径的弧

    C.1弧度是一度的弧与一度的角之和

    D.1弧度是长度等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小

    反思

    必须牢记弧度制的定义,并在解决问题时有意识地加强应用,才能快速地掌握该定义.

    【变式训练1】 下列说法中,不正确的是(  )

    A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位

    B.1度的角是周角的$\frac{1}{360}, 1$弧度的角是周角的$\frac{1}{2 \pi}$

    C.根据角的弧度制的定义,$180^{\circ}$一定等于π弧度

    D.不论是用角度制还是用弧度制度量角,它们均与圆的半径长短有关

  • 题型二  角度制与弧度制的互化

    【例2】 填空:

    (1)$18^{\circ}=$_________rad; 

    (2)$67^{\circ} 30^{\prime}=$________rad; 

    (3)$\frac{3 \pi}{10}=$________$^{\circ}$. 

    反思

    1.角度与弧度的换算关系式是角度与弧度互化的重要依据,其中应记住关系式:$\pi \mathrm{rad}=180^{\circ}$,它能帮助我们更快更准确地进行运算.

    2.如果角度以度、分、秒的形式给出,应先将它化为度,再转化为弧度;如果弧度给出的是实数,如2弧度,化为度应是$2 \times\left(\frac{180}{\pi}\right)^{\circ}=\left(\frac{360}{\pi}\right)^{\circ}$

    【变式训练2】 将下列角度制与弧度制表示的角进行互化:

    (1)$3 \pi=$________$^{\circ}$; 

    (2)$-\frac{1}{3} \mathrm{rad}=$________$^{\circ}$;

    (3)$200^{\circ}=$________rad; 

    (4)$50^{\circ}=$________ rad. 

  • 题型三 扇形面积公式、弧长公式的应用

    【例3】 一条弦的长度等于半径$r$,求:(1)这条弦所对的劣弧长;(2)这条弦和劣弧所组成的弓形的面积.

    分析解决此类问题,首先要根据题意画出相关的图形,然后对涉及的量的大小进行确定.由已知可知圆心角的大小为$\frac{\pi}{3}$,然后用公式求解即可.

    反思

    图形的分解与组合是解决数学问题的基本方法之一,本例是把弓形面积看成是扇形面积与三角形面积的差,即可运用已有知识解决要求解的问题.此类数形结合的题目,要尽可能地从图中各种图形的组合关系中找到解决问题的突破口.

    【变式训练3】 已知一个扇形的圆心角为$\frac{2 \pi}{3}$,其弧长为$\pi$,求该扇形的面积.

  • 题型四 易错辨析

    易错点:忽视扇形圆心角的范围致错

    【例4】 已知一个扇形的周长是12 $\mathrm{cm}$,面积是5 $\mathrm{cm}^{2}$,试求这个扇形的圆心角的弧度数.

    【变式训练4】 若一个扇形的面积为6,周长为10,则该扇形的圆心角的弧度数是(  )

    A. $\frac{4}{3}$    B.3                

    C.3或$\frac{4}{3}$   D.$\frac{3}{4}$或$\frac{1}{3}$

  • 真题

    1.若将分针拨快30分钟,则时针转过的弧度数是(  )

    $\mathrm{A} \frac{\pi}{3} \quad \mathrm{B} \cdot \frac{\pi}{12} \quad \mathrm{C} \frac{\pi}{12} \quad \mathrm{D} \cdot \frac{\pi}{3}$

    2.已知圆的半径为1,则60°的圆心角所对的弧长为(  )

    $\mathrm{A}_{-\frac{\pi}{3}}^{\pi} \quad \mathrm{B} \cdot \frac{2 \pi}{3} \quad \mathrm{C.} \sqrt{3} \quad \mathrm{D} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$

    3.设$0 \leq \alpha < 2 \pi$,将$-1485^{\circ}$表示成$2 k \pi+\alpha, k \in \mathbf{Z}$的形式是_________. 

    4.如图所示的阴影部分用弧度制可表示为_________. 

    blob.png

    5.如图,已知扇形$A O B$的圆心角为$120^{\circ}$,

    半径长为6.求:

    (1)blob.png的长

    (2)弓形(阴影部分)的面积.


    blob.png

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