1.2.2 单位圆与三角函数线

时间:2019-9-9 19:05:03   作者:数学名师王老师
1.会利用单位圆中的有向线段表示正弦、余弦和正切.
2.能使用三角函数线求三角函数值、比较大小、解简单的三角方程或三角不等式、证明相关的命题等.
知识点
  • 1.单位圆

    半径为1的圆叫做单位圆.

    【做一做1】 若单位圆的圆心与坐标原点重合,有下列结论:

    ①单位圆上任意一点到原点的距离都是1;

    ②单位圆与x轴的交点为(1,0);

    ③过点(1,0)的单位圆的切线方程为$x=1$;

    ④与$x$轴平行的单位圆的切线方程为$y=1$.

    以上结论正确的个数为(  )

    A.1  B.2  C.3  D.4

    解析:单位圆与$x$轴的交点为(1,0)和(-1,0);与$x$轴平行的单位圆的切线方程为$y=\pm 1$,所以②④错误.显然①③正确.

    答案:B

  • 2.三角函数线

    (1)如图①,设单位圆的圆心与坐标原点重合,则单位圆与$x$轴的交点分别为$A(1,0), A^{\prime}(-1,0)$,而与$y$轴的交点分别为$B(0,1), B^{\prime}(0,-1)$.

    blob.png

    设角$\alpha$的顶点在圆心$O$,始边与x轴的正半轴重合,终边与单位圆相交于点$P$(如图①),过点$P$作$PM$垂直$x$轴于点$M$,作$PN$垂直$y$轴于点$N$,则点$M,N$分别是点$P$在$x$轴、$y$轴上的正射影(简称射影).由三角函数的定义可知,点$P$的坐标为($\cos \alpha, \sin \alpha$),即$P(\cos \alpha, \sin \alpha)$.其中$\cos \alpha=O M \cdot \sin \alpha=O N$


    这就是说,角$\alpha$的余弦和正弦分别等于角$\alpha$终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标.

    如图②,以A为原点建立$y^{\prime}$轴与y轴同向,$y^{\prime}$轴与$\alpha$的终边(或其反向延长线)相交于点T(或$T^{\prime}$),则$\tan \alpha=A T$(或$A T^{\prime}$).

    我们把轴上向量$\overrightarrow{O M}, \overrightarrow{O N}$ 和$\overrightarrow{A T}$(或$\overrightarrow{A T^{\prime}}$)分别叫做$\alpha$的余弦线、正弦线和正切线.

    当角$\alpha$的终边在$x$轴上时,点$P$与点$M$重合,点$T$与点$A$重合,此时,正弦线和正切线都变成了一点,它们的数量为零,而余弦线$OM=1$或$-1$.

    当角$\alpha$的终边在$y$轴上时,正弦线$MP=1$或-1,余弦线变成了一点,它表示的数量为零,正切线不存在.

    (2)三角函数线的方向表示三角函数值的符号:正弦线、正切线的方向同$y$轴一致,向上为正,向下为负;余弦线的方向同$x$轴一致,向右为正,向左为负.三角函数线的长度等于所表示的三角函数值的绝对值.

    【做一做2-1】 如图,在单位圆中,角α的正弦线、正切线完全正确的是 (  )

    blob.png

    A.正弦线$\overrightarrow{P M}$,正切线$\overrightarrow{A^{\prime} T^{\prime}}$

    B.正弦线$\overrightarrow{M P}$,正切线$\overrightarrow{A^{\prime} T^{\prime}}$

    C.正弦线$\overrightarrow{M P}$,正切线$\overrightarrow{A T}$

    D.正弦线$\overrightarrow{P M}$,正切线$\overrightarrow{A T}$

    答案:C

    【做一做2-2】

    如图,你从图中可得到什么信息?

    blob.png

    (1)点$P$的坐标是________; 

    (2)若点$Q$的坐标是$\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$,则$\angle x O Q=$________rad,点$G$的坐标为________. 

    答案:$(1)\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \quad(2) \frac{2 \pi}{3} \quad\left(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

重难点
  • 1.三角函数线的作用

    剖析三角函数线在解决有关三角函数的问题时,具有实用性、简捷性、直观性等特点.我们在使用时主要从形的角度看待三角函数线.三角函数线是三角函数值的直观表达形式.从三角函数线的方向可看出三角函数值的符号,从三角函数线的长度可看出三角函数值的绝对值的大小.三角函数线的主要作用是解三角不等式、证明三角不等式、求函数定义域及比较大小,同时它也是以后学习三角函数的图象与性质的基础.

    如:求函数$y=\log _{2}(\sin x)$的定义域.

    我们可以通过转化为解不等式$\sin x>0$.解答如下:

    要使函数$y=\log _{2}(\sin x)$有意义,$x$的取值必须满足$\sin x>0$.

    如图所示,($\overrightarrow{M P}$是角$x$的正弦线,

    blob.png

    则$\sin x=M P>0$.

    blob.png的方向向上

    ∴角$x$的终边在$x$轴的上方.

    $\therefore 2 k \pi < x < 2 k \pi+\pi(k \in \mathbf{Z})$,

    即函数$y=\log _{2}(\sin x)$的定义域是$(2 k \pi, 2 k \pi+\pi), k \in \mathbf{Z}$.

    我们根据角能作出角的三角函数线,反过来,我们也可以根据三角函数值去找角的终边,从而找到角的取值范围.观察三角函数线的变化,我们知道:

    当角$\alpha$由0增加到2$\pi$时,

    $\sin \alpha$在第一、四象限都是增函数,在第二、三象限都是减函数;

    $\cos \alpha$在第一、二象限都是减函数,在第三、四象限都是增函数;

    $\tan \alpha$在各个象限内均是增函数.

    观察三角函数线的变化,还可以得出:当$\alpha \in \mathbf{R}$时,$\sin \alpha, \cos \alpha$的值域为$[-1,1], \tan \alpha$的值域为$\mathbf{R}$.

    归纳总结
    三角函数线是利用数形结合思想解决有关三角函数问题的重要工具,要注意通过平时经验的积累,掌握三角函数线的应用.

  • 2.教材中的“思考与讨论”

    角$\alpha=x(\mathrm{rad})$,且$0 < x<\frac{\pi}{2}$,于是$x, \sin x, \tan x$都是实数.请你给x一个具体的值,比较这三个实数的大小.然后想一想,你得到的大小关系是否对区间$\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$上的任意x都成立.

    剖析取$x=\frac{\pi}{6}$,则$\sin \frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}, \tan \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

    $\because \frac{1}{2}=\frac{3}{6}=\frac{\sqrt{9}}{6}, \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2 \sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{12}}{6}$

    $\therefore \tan \frac{\pi}{6}>\sin \frac{\pi}{6}$


    又$\frac{1}{2}=\frac{3}{6}<\frac{\pi}{6}, \therefore \sin \frac{\pi}{6}<\frac{\pi}{6}$.

    又$\tan \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2 \sqrt{3}}{6}>\frac{\pi}{6}, \therefore \tan \frac{\pi}{6}>\frac{\pi}{6}$.

    从而可知,$\tan \frac{\pi}{6}>\frac{\pi}{6}>\sin \frac{\pi}{6}$.


    证明:如图所示,

    blob.png

    在直角坐标系中作单位圆和角$\alpha=x(\mathrm{rad})$,且$0 < x<\frac{\pi}{2}$.

    $\overrightarrow{M P}$为角x的正弦线,$\overrightarrow{A T}$为角x的正切线,$\because S_{\triangle O P A}<$blob.png$O P A < S_{\Delta O A T} $,且$S_{\triangle O P A}=\frac{1}{2} O A-M P=\frac{1}{2} \sin x$blob.png$O P A = \frac{1}{2} x-O A^{2}=\frac{1}{2} x, S_{\Delta O A T} \\ =\frac{1}{2} O A-A T=\frac{1}{2} \tan x$

    $\therefore \frac{1}{2} \sin x < \frac{1}{2} x < \frac{1}{2} \tan x$,

    即$\sin x < x<\tan x$.

    $\therefore $若$x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$,则必有$\sin x < x<\tan x$.

例题解析
  • 题型一 作出三角函数线

    【例1】 分别作出$\frac{3 \pi}{4}$和$-\frac{4 \pi}{7}$的正弦线、余弦线和正切线

    分析利用单位圆中三角函数线的作法作图. 

    反思

    1.正弦线、余弦线、正切线这三条有向线段中,有两条在单位圆内,有一条在单位圆外.

    2.三条有向线段的正负:三条有向线段凡与x轴或y轴的正方向同向的为正值,与x轴或y轴的正方向反向的为负值.

    3.三条有向线段的书写:有向线段的起点字母在前面,终点字母在后面.

    【变式训练1】 作出$-\frac{2 \pi}{3}$的正弦线、余弦线和正切线.

  • 题型二 利用三角函数线比较大小

    【例2】 利用三角函数线比较下列各组数的大小:

    (1)$\sin \frac{2 \pi}{3}$与$\sin \frac{4 \pi}{5}$;

    (2)$\cos \frac{2 \pi}{3}$与$\cos \frac{4 \pi}{5}$;

    (3)$\tan \frac{2 \pi}{3}$与$\tan \frac{4 \pi}{5}$.

    分析只要在同一单位圆中画出$\frac{2 \pi}{3}$和$\frac{4 \pi}{5}$这两个角的正弦线、余弦线和正切线即可.

    反思

    三角函数线在解决一些与三角函数有关的不等式、比较大小等问题时十分快捷有效,所以我们要能熟练地画出一个角的三角函数线,结合图形对比得出结论.这也是数形结合思想的很好体现.

    【变式训练2】 若$\theta \in\left(\frac{3 \pi}{4}, \pi\right)$,则下列各式错误的是_________(填序号). 

    ①$\sin \theta+\cos \theta < 0$;

    ②$\sin \theta-\cos \theta>0$;

    ③$|\sin \theta|<|\cos \theta|$;

    ④$\sin \theta+\cos \theta>0$.

  • 题型三 利用三角函数线解不等式

    【例3】 在单位圆中画出适合下列条件的角$\alpha$终边的范围,并由此写出角$\alpha$的集合.

    (1)$\sin \alpha \geq \frac{\sqrt{3}}{2}$;    (2)$\cos \alpha \leq-\frac{1}{2}$.

    分析作出满足$\sin \alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}, \cos \alpha=-\frac{1}{2}$的角$\alpha$的终边,然后根据已知条件确定角$\alpha$终边的范围.

    反思

    通过解答本题,我们可以总结出用三角函数线来解基本的三角不等式的步骤:

    blob.png

    【变式训练3】 求函数$f(x)=\sqrt{\sin x}+\sqrt{1-2 \sin x}$的定义域.

  • 题型四 易错辨析

    易错点:忽视三角函数线的方向致错

    【例4】 利用三角函数线证明$|\sin \alpha|+|\cos \alpha| \geq 1$.

    【变式训练4】 设$a=\sin (-1), b=\cos (-1), c=\tan (-1)$,试比较$a,b,c$的大小.

  • 真题

    1.若$\alpha=\frac{2 \pi}{3}$,则$\alpha$的终边与单位圆的交点$P$的坐标是(  )

    $\begin{aligned} \mathrm{A} \cdot\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) & \mathrm{B} \cdot\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \\ \mathrm{C} \cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right) & \mathrm{D} \cdot\left(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \end{aligned}$

    2.若$-\frac{3 \pi}{4} < a<-\frac{\pi}{2}$,则$\sin \alpha, \cos \alpha, \tan \alpha$的大小关系是 (  )

    A. $\sin \alpha<\tan \alpha<\cos \alpha$

    B. $\tan \alpha<\sin \alpha<\cos \alpha$

    $\mathrm{C} \cdot \cos \alpha<\sin \alpha<\tan \alpha$

    $\mathrm{D} \cdot \sin \alpha<\cos \alpha<\tan \alpha$

    3.若角$\alpha$的余弦线是单位长度的有向线段,则角$\alpha$的终边在(  )

    A.y轴上    B.x轴上

    C.直线y=x上  D.直线y=-x上

    4.在$(0,2 \pi)$内,使$\sin x>\cos x$成立的$x$的取值范围为(  )

    $\begin{array}{l}{\text { A. }\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) \cup\left(\pi, \frac{5 \pi}{4}\right) B \cdot\left(\frac{\pi}{4}, \pi\right)} \\ {\text { C. }\left(\frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}\right)}  {\text { D. }\left(\frac{\pi}{4}, \pi\right) \cup\left(\frac{5 \pi}{4}, \frac{3 \pi}{2}\right)}\end{array}$

    5.分别作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线: 

    $(1) \frac{\pi}{4} ;(2)-\frac{5 \pi}{8}$

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