2.1.1 简单随机抽样

时间:2019-9-9 19:05:03   作者:数学名师王老师
1.正确理解随机抽样的概念,掌握抽签法、随机数表法的一般步骤,并能灵活应用简单随机抽样从总体中抽取样本.
2.理解随机抽样的必要性和重要性.
知识点
  • 1.相关概念

    (1)总体、个体

    我们一般把所考察对象的某一数值指标的全体构成的集合看成总体,构成总体的每一个元素作为个体.

    (2)样本、样本容量

    研究总体的性状,当总体中包含的个体很多时,很难对每一个个体进行考察.一个行之有效的办法是从总体中随机抽取若干个个体进行考察,这若干个个体构成的集合叫做总体的一个样本.样本中个体的数目叫样本容量.

    (3)随机抽样

    如何抽取样本,直接关系到对总体估计的准确程度,因此在抽样时要保证每一个个体都可能被抽到,每一个个体被抽到的机会是均等的,满足这样的条件的抽样是随机抽样.

    【做一做1】 某校期末考试后,为了分析该校高一年级1 000名学生的学习成绩,从中随机抽取了100名学生的成绩单,就这个问题来说,下面说法中正确的是(  )

    A.1 000名学生是总体

    B.每名学生是个体

    C.每名学生的成绩是所抽取的一个样本

    D.样本的容量是100

    解析:1 000名学生的学习成绩是总体,每名学生的学习成绩是个体,100名学生的学习成绩是所抽取的一个样本,故选项A,B,C均错误.

    答案:D

  • 2.简单随机抽样

    (1)一般地,从元素个数为N的总体中不放回地抽取容量为$n(n \leq N)$的样本,如果每一次抽取时总体中的各个个体有相同的可能性被抽到,这种抽样方法叫做简单随机抽样.这样抽取的样本,叫做简单随机样本.

    常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数表法.

    (2)抽签法的优点是简单易行,缺点是当总体容量非常大时,费时、费力又不方便.况且,如果号签搅拌得不均匀,可能导致抽样不公平.

    (3)随机数表是由0,1,2,…,9这10个数字组成的数表,并且表中的每一位置出现各个数字的可能性相同(随机数表不是唯一的,只要符合各个位置出现各个数字的可能性相同的要求,就可以构成随机数表).通过随机数生成器,例如使用计算器或计算机的应用程序生成随机数的功能,可以生成一张随机数表(本章附录),通常根据实际需要和方便使用的原则,将几个数组合成一组,如5个数一组,然后通过随机数表抽取样本.

    【做一做2-1】 判断下列说法是否正确:

    (1)在简单随机抽样中采取的是有放回抽取个体的方法. (  )

    (2)在抽签法抽样过程中,因为是随机抽取,所以每次抽取时每个个体被抽到的可能性不同. (  )

    (3)如何抽取样本,直接关系到对总体估计的准确程度,因此在抽样时要保证每一个个体都等可能地被抽到. (  )

    (4)随机数表中每个位置出现各个数字的可能性相同,因此随机数表是唯一的. (  )

    (5)当总体容量较大时,不可用简单随机抽样方法抽取样本. (  )

    (6)要考察总体情况,一定要把总体中每个个体都考察一遍. (  )

    答案:(1)$×$ (2)$×$ (3)$√$ (4)$×$ (5)$×$ (6)$×$

    【做一做2-2】 抽签法中确保样本代表性的关键是 (  )

    A.制签  B.搅拌均匀

    C.逐一抽取  D.抽取不放回

    答案:B

重难点
  • 1.简单随机抽样的特点

    剖析:(1)它要求被抽取样本的总体的个数有限,这样便于通过随机抽取的样本对总体进行分析.

    (2)它是从总体中逐个地进行抽取,这样便于在抽样实践中进行操作.

    (3)它是一种不放回抽样.由于抽样实践中多采用不放回抽样,使其具有较广泛的实用性,而且由于所抽取的样本中没有被重复抽取的个体,便于进行有关的分析和计算.

    (4)它每一次抽取时总体中的各个个体有相同的可能性被抽到,从而保证了这种抽样方法的公平性.

  • 2.使用随机数表法的注意事项

    剖析:(1)第一个数的选择必须是任意的,这样才能保证抽样的随机性,同时我们读数的顺序并不固定,你可以向上、向下、向左、向右等等.

    (2)在对100个个体进行编号时,一般是将起始编号编为00,它的好处在于可使100个个体都用两位数码表示,这样确定的起始号便于我们使用随机数表.

    (3)要注意将数字大于个体编号和重复的数字跳过去,直到取出和样本容量相等的个体数为止.

例题解析
  • 简单随机抽样的概念

    【例1】 下面的抽样方法是简单随机抽样吗?为什么?

    (1)某班45名学生,指定个子最高的5名学生参加学校组织的某项活动;

    (2)从20个零件中一次性抽出3个进行质量检验;

    (3)一名儿童从玩具箱中的20件玩具中随意拿出一件来玩,玩完后放回,再拿出一件,连续玩了5件.

    分析:本题通过熟悉简单随机抽样的定义和特点,抓住概念的关键词就能正确地解答.

    反思

    简单随机抽样应具有四个特点:(1)总体中的个体数有限;(2)从总体中逐一抽取;(3)是一种不放回抽样;(4)是一种等可能性抽样.

    【变式训练1】 下面抽取样本的方式是简单随机抽样吗?为什么?

    (1)从无限多个个体中抽取50个个体作为样本;

    (2)箱子里共有100个零件,从中选取10个零件进行检验,从中任取一个零件检验后,再把它放回箱子里;

    (3)从50个个体中,一次性抽取5个个体作为样本;

    (4)从某班54名同学中指定物理成绩最好的10名同学参加学校组织的物理竞赛.

    【例2】 用简单随机抽样方法从200个个体中抽取一个容量为n的样本,如果每个个体入样的可能性是 $\frac{1}{20}$,那么$n=$________. 

    反思

    在简单随机抽样中,每个个体被抽取的可能性相同,因此如果要在个体总数为$N$的总体中抽取样本容量为$n$的样本,那么每个个体被抽取的可能性为$\frac{n}{N}$,因此只要判断出某个抽样过程是简单随机抽样,就可以利用这个公式求出每个个体被抽取的可能性.

    【变式训练2】 从总体容量为300的总体中用简单随机抽样的方法抽取一个容量为60的样本,则每个个体入样的可能性是________. 

  • 简单随机抽样的方法

    【例3】 要从某汽车厂生产的30辆汽车中随机抽取3辆进行测试,请选择合适的抽样方法,写出抽样过程.

    分析:本问题中总体容量较小,样本容量也小,故可选用抽签法来抽取一个含3个个体的样本.

    反思

    一个抽样试验能否用抽签法,关键看两点:一是制签是否方便;二是号签是否容易被搅匀.一般地,当样本容量和总体容量较小时可用抽签法.

    【变式训练3】 某城市共有36个大型居民小区,要从中抽取7个调查了解居民小区的物业管理状况.请写出用抽签法抽取样本的过程.

    【例4】 要从10架钢琴中抽取4架进行质量检验,请你设计抽样方案.

    分析:本题总体容量较小,用随机数表法或抽签法都很方便.

    反思

    1.将钢琴编号从0开始,10架钢琴用0~9就可表示,这样总体中的所有个体均可用1位数字号码表示,便于使用随机数表.

    2.用抽签法抽样,关键是将号签搅匀.

    【变式训练4】 某大学为了支援我国西部教育事业,决定从2016年应届毕业生报名的18名志愿者中选取6人组成志愿小组.请用抽签法和随机数表法设计抽样方案,并说明采用哪种抽样方案比较好.

  • 真题

    1.若对某校1 200名学生的耐力做调查,抽取其中120名学生,测试他们1 500 m跑步的成绩,得出相应的数值,在这项调查中,样本是指(  )

    A.120名学生 

    B.1 200名学生

    C.120名学生的成绩 

    D.1 200名学生的成绩

    2.下列抽样方法是简单随机抽样的是(  )

    A.妈妈从小贩的菜筐里挑了5根黄瓜

    B.电视上一人从庙里一次性求了3支签

    C.从湖里捞出20尾鱼苗研究生长情况

    D.博尔特从8个跑道中随机抽取一个跑道试跑

    3某商场举行“购物免费游巴西”活动,要从参加活动的10名幸运顾客中采用随机数表法抽取5人去巴西游览,则最佳编号应为(  ).

    A.1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

    B.01,02,03,04,05,06,07,08,09,10

    C.-1,-2,-3,-4,-5,1,2,3,4,5

    D.0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

    4.总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成,利用下面的随机数表选取5个个体,从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为(  )


    7816

    6572

    0802

    6314

    0702

    4369

    9728

    0198

    3204

    9234

    4935

    8200

    3623

    4869

    6938

    7481


    A.08  B.07  C.02  D.01

    5某工厂共有$n$名工人,为了调查工人的健康情况,从中随机抽取20名工人作为调查对象,若每名工人被抽到的可能性为 $\frac{1}{5}$,则$n=$________.  

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