1.1.7 柱、锥、台和球的体积

时间:2019-9-9 19:05:03   作者:数学名师王老师
1.了解柱、锥、台和球的体积计算公式(不要求记忆公式).
2.理解柱、锥和台的体积公式的推导,并知道“祖?原理”在解决体积问题中的重要作用.
3.会求几何体的体积.
知识点
  • 1.祖?原理及应用

    (1)祖?原理.

    幂势既同,则积不容异.

    这就是说,夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.

    (2)祖?原理的应用.

    等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等.

    名师点拨

    “祖?原理”充分体现了空间与平面问题的相互转化的思想方法,这一原理是推导柱、锥、台和球的体积公式的基础和纽带.

    【做一做1】 已知一斜棱柱的底面积为S,上、下两底面间的距离为h,则利用祖?原理可知此斜棱柱的体积为_________. 

    答案:$S h$

  • 2.柱、锥、台的体积

    柱体、锥体、台体的体积公式如下表,其中$S^{\prime}, S$分别表示上、下底面的面积,$h$表示高,$r^{\prime}$和$r$分别表示上、下底面圆的半径.

    名称

    体积(V)

    柱体

    棱柱

    $S h$

    圆柱

    $\pi r^{2} h$

    锥体

    棱锥

    $\frac{1}{3} S h$

    圆锥

    $\frac{1}{3} \pi r^{2} h$

    台体

    棱台

    $\frac{1}{3} h\left(S+\sqrt{S \cdot S^{\prime}}+S^{\prime}\right)$

    圆台

    $\frac{1}{3} \pi h\left(r^{2}+r r^{\prime}+r^{2}\right)$

    名师点拨

    柱体、锥体、台体的体积有如下关系:

     blob.png

    【做一做2-1】 在棱长为$1$的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的几何体的体积是(  ) 

    $\mathrm{A} \cdot \frac{2}{3} \mathrm{B} \cdot \frac{7}{6} \mathrm{C} \cdot \frac{4}{5} \mathrm{D} \cdot \frac{5}{6}$


    解析:截去的每个小三棱锥的体积为$\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{3} \times\left(\frac{1}{2}\right)^{4}$,则剩余部分的体积$V=1-\frac{1}{3} \times\left(\frac{1}{2}\right)^{4} \times 8=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$.

    答案:D

    【做一做2-2】 用半径为$R$的半圆卷成一个圆锥,这个圆锥的体积是(  ) 

    $\mathrm{A} \cdot \frac{\sqrt{3}}{24} \pi R^{3} \quad \mathrm{B} \cdot \frac{\sqrt{3}}{8} \pi R^{3} \quad \\  \mathrm{C} \cdot \frac{\sqrt{5}}{24} \pi R^{3} \quad \mathrm{D} \cdot \frac{\sqrt{5}}{8} \pi R^{3}$

    解析:如图,设圆锥的底面半径为$r$,

    则$2 \pi r=l=\pi \cdot R$.所以$r=\frac{1}{2} R$.

    所以圆锥的高$h=\sqrt{R^{2}-\frac{1}{4} R^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2} R$.

    blob.png$=\frac{1}{3} \pi r^{2} \cdot h=\frac{\pi}{3} \cdot \frac{R^{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} R=\frac{\sqrt{3}}{24} \pi R^{3}$.

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    答案:A

    【做一做2-3】 有一个几何体的三视图及其尺寸如图所示,则该几何体的体积为_________. 

    blob.png

    解析:由三视图知这是一个圆柱,其底面半径是3,母线长为6,因此体积$V=\pi \times 3^{2} \times 6=54 \pi$.

    答案:54$\pi$

  • 3.球的体积

    blob.png=$=\frac{4}{3} \pi R^{3}$,其中R为球的半径.

    【做一做3】 充满氢气的气球飞艇可以供游客旅行.现有一个飞艇,若它的半径扩大为原来的4倍,那么它的体积增大到原来的(  )

    A.4倍       B.8倍  C.64倍  D.16倍

    解析:设气球原来半径为R,则现在半径为4R,此时体积

    $V=\frac{4}{3} \pi(4 R)^{3}=64 \times \frac{4 \pi R^{3}}{3}$故选C.

    答案:C

重难点
  • 1.割补法在空间几何中的应用

    剖析:试用割补法探究以下问题:

    (1)用割补的方法说明斜三棱柱的体积等于与它等底等高的三棱锥体积的三倍;

    (2)在斜棱柱中,我们把与侧棱垂直的截面称作斜棱柱的直截面.试说明斜棱柱的侧面积等于直截面的周长与侧棱长的乘积;斜棱柱的体积等于直截面的面积与侧棱长的乘积.

    在(1)中,关键在于要说明如何去找截面,为什么如图①所示的几何体被截得的三个三棱锥的体积是相等的,这里用了这样一个结论:若一条线段与平面相交且交点是线段的中点,则这条线段的两个端点到这个平面的距离相等.如图②所示的点$A_{1}$与点C到截面$A B C_{1}$的距离相等.

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    在(2)中,如图③,从割补的过程中,我们不难发现在割补前后斜棱柱的每个侧面上相当于将一个平行四边形割补成一个矩形,因而侧面积没有变化,体积也没有发生变化.

    名师点拨

    在解题中使用体积公式时一定要注意棱锥和棱台的体积公式中都有个$\frac{1}{3}$.三棱锥是一种比较特殊的棱锥,在求体积时可以根据条件适当转换顶点以达到简化运算的目的,根据这一思想还可以求一些简单的距离问题.

  • 2.由锥体的体积可得到台体的体积

    剖析:利用锥体和台体的联系,用平行于底面的平面截锥体,截面和底面之间的部分是台体,结合锥体的体积公式即得台体的体积公式.如图,设台体(棱台或圆台)上、下底面面积分别是$S^{\prime}, S$,高是h,设截得台体时去掉的锥体的高是$x$,则截得这个台体的锥体的高是

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    归纳总结
    棱锥、圆锥的截面(平行于底面的截面)有如下性质:

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例题解析
  • 有关柱体体积的问题

    【例1】 已知一个圆柱去掉两个底面,沿任一条母线割开,然后放在平面上展开后得到的平面图形(我们叫圆柱的侧面展开图)是一个矩形,它的对角线长为$m$,对角线与底边成$\alpha$角($0^{\circ}<\alpha < 90^{\circ}$),求圆柱的体积.

    分析:(1)圆柱的侧面展开图是一个矩形;(2)已知矩形的对角线长为$m$,对角线与底边成$\alpha$角.解答本题可先明确展开前图形与展开后图形中量与量之间的关系,再画图求解.

    反思 

    对于几何体的侧面展开图问题,要注意展开前后的“变”与“不变”.对此题而言,为了求体积要抓住关键元素,即圆柱的底面半径、高.

    【变式训练1】 如图①是一个水平放置的正三棱柱$A B C-A_{1} B_{1} C_{1}, D )$是棱BC的中点.正三棱柱的主视图如图②.则该正三棱柱$A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$的体积为_________. 

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  • 有关锥体体积的问题

    【例2】 (1)若圆锥的轴截面是面积为9的等腰直角三角形,则其体积等于_________. 

    (2)若正方体$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$的棱长为6 cm,在棱$A B, A D, A A_{1}$上分别取点$P, Q, R$,使得$A P=2 \mathrm{cm}$,$A Q=3 \mathrm{cm}$,$A R=4 \mathrm{cm}$,则三棱锥$A-P Q R$的体积为_________. 

    反思 

    三棱锥的体积求解具有灵活性,因为三棱锥的任何一个面都可以作为底面,所以常常需要根据题目条件对其顶点和底面进行转换,使得转换后,该三棱锥的底面的面积易求、可求,高易求、可求,这一方法叫作等积法.

    【变式训练2】 一个正三棱锥的底面边长为6,侧棱长为$\sqrt{15}$ ,求这个正三棱锥的体积. 

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  • 有关台体体积的问题

    【例3】 圆台上底的面积为16$\pi \mathrm{cm}^{2}$,下底半径为6 $\mathrm{cm}$,母线长为10$\mathrm{cm}$,那么,圆台的侧面积和体积各是多少?

    分析:在本题中要求圆台的体积必须先求出圆台的高,通过作轴截面可以得到等腰梯形,进一步可以得到矩形和直角三角形,利用它们可以方便地解决本问题.

    反思

    在多面体和旋转体中的有关计算通常转化到平面图形(三角形或特殊的四边形)中来计算.对于棱锥中的计算问题往往要构造直角三角形,即棱锥的高、斜高以及斜高在底面上的投影构成的直角三角形,或者由棱锥的高、侧棱以及侧棱在底面上的投影构成的直角三角形;对于棱台往往要构造直角梯形和直角三角形;在旋转体中通常要过旋转轴作截面得到直角三角形、矩形或等腰梯形.

    【变式训练3】 若某几何体的三视图(单位:cm)如图,则此几何体的体积是_________. 

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  • 有关球体体积的问题

    【例4】 设$A, B, C, D$是球面上的四个点,且在同一平面内,$A B=B C=C D=D A=3$,球心到该平面的距离为球半径的一半,则球的体积为(  )

    $\mathrm{A} .8 \sqrt{6} \pi$ $\mathrm{B} .64 \sqrt{6} \pi$ $\mathrm{C} .24 \sqrt{2} \pi$ $\mathrm{D} .72 \sqrt{2} \pi$

    反思 

    计算球的体积,关键是求出球的半径.另外,球的体积公式具有“双向”作用,若已知球的体积,则可求得球的半径的值.

    【变式训练4】 已知正方体的外接球的体积是 $\frac{32}{3} \pi$,则这个正方体的棱长等于_________. 

  • 易错辨析

    易错点:体积公式使用不当而致错

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    【例5】 如图,在三棱柱$A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$中,若$E, F$分别为$AB,AC$的中点,平面$E B_{1} C_{1} F$将三棱柱分成了几何体$A E F-A_{1} B_{1} C_{1}$和$C_{1} B_{1}-E F C B$两部分,几何体$A E F-A_{1} B_{1} C_{1}$的体积为$V_{1}$,几何体$C_{1} B_{1}-E F C B$的体积为$V_{2}$,则$V_{1} : V_{2}=$_________. 

  • 真题

    1.若一个球的表面积为4$\pi$,则这个球的体积是(  )

    $\mathrm{A} \cdot \frac{\pi}{3} \quad \mathrm{B} \cdot \frac{4 \pi}{3} \quad \mathrm{C} \cdot \frac{8 \pi}{3} \mathrm{D} \cdot \frac{32 \pi}{3}$

    2将两个棱长为10 $\mathrm{cm}$的正方体铜块熔化后铸成底面边长为5 $\mathrm{cm}$的正四棱柱,则该四棱柱的高为(  )

    A.8 $\mathrm{cm}$ B.80 $\mathrm{cm} \quad$ C. 40 $\mathrm{cm}$$\mathrm{D} \cdot \frac{16}{5} \mathrm{cm}$  

    3.已知某个几何体的三视图如图(主视图的弧线是半圆),根据图中标出的数据,则这个几何体的体积是(  )

    blob.png

    A. $288+36 \pi$

    B.60 $\pi$

    C. $288+72 \pi$

    D. $288+18 \pi$

    4.已知正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为$15 : 2 : 8$,体积14 $\mathrm{cm}^{3}$,则此棱台的高为_________. 

    5.根据图中标出的尺寸,求各几何体的体积. 

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