1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球

时间:2019-9-9 19:05:03   作者:数学名师王老师
1.理解圆柱、圆锥、圆台和球的有关概念,并能从运动的观点来认识这四种几何体的形成过程.
2.掌握圆柱、圆锥、圆台和球的轴截面的特征.
3.掌握圆柱、圆锥、圆台和球及简单组合体的结构特征.
4.能进行简单的有关圆柱、圆锥、圆台以及球的计算问题.
知识点
  • 1.圆柱、圆锥、圆台

    (1)概念:分别以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴,将矩形、直角三角形、直角梯形分别旋转一周而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台.其中用平行于圆锥底面的平面截这个圆锥,截面与底面之间的部分也叫做圆台.旋转轴叫做所围成的几何体的轴;在轴上的这条边(或它的长度)叫做几何体的高;垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做几何体的底面;不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做几何体的侧面,无论旋转到什么位置,这条边都叫做侧面的母线;我们常将圆柱的侧面称为圆柱面,圆锥的侧面称为圆锥面.

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    (2)规定:圆柱和棱柱统称为柱体,圆锥和棱锥统称为锥体,圆台和棱台统称为台体.

    【做一做1-1】 下列图形为圆柱体的是(  )

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    解析:圆柱的上、下两个底面是相互平行并且完全相等的.

    答案:C

    【做一做1-2】 下列命题中正确的是(  )

    A.以直角三角形的一直角边为轴旋转一周所得的几何体是圆锥

    B.以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的几何体是圆台

    C.圆柱、圆锥、圆台都有两个底面

    D.圆锥的侧面展开图为扇形,这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径

    解析:以直角梯形垂直于底的腰为轴旋转一周所得的旋转体才是圆台,所以选项B不正确;圆锥仅有一个底面,所以选项C不正确;圆锥的侧面展开图为扇形,这个扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长,所以选项D不正确;很明显选项A正确.

    答案:A

  • 2.球

    (1)概念:一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做球面,球面围成的几何体叫做球.形成球的半圆的圆心叫

    球心;连接球面上一点和球心的线段叫球的半径;连接球面上两点且通过球心的线段叫球的直径.

    (2)表示:用表示球心的字母表示.

    (3)球面也可以看作空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合.球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆,被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆.在球面上,两点之间的最短距离,就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度.事实上,人们把这个弧长叫做两点的球面距离.


    (4)圆柱、圆锥、圆台、球等几何体,都是由一个平面图形绕着一条直线旋转产生的曲面所围成的几何体,这类几何体叫做旋转体,这条直线叫做旋转体的轴.

    知识拓展
    1.从集合的角度理解球.

    在空间中,到定点的距离等于或小于定长的点的集合,叫做球体(简称球).定点叫做球的球心;定长叫做球的半径;到定点距离等于定长的点的集合叫做球面.

    2.球面上两点间的球面距离,必须是在球过此两点的大圆中求此两点所对应的劣弧的长度,不能在此两点的球的小圆中求.

    【做一做2】 有下列说法:

    ①球的半径是连接球心和球面上任意一点的线段;

    ②球的直径是连接球面上两点的线段;

    ③不过球心的截面截得的圆叫做球的小圆.

    其中正确说法的序号是     . 

    解析:利用球的结构特征判断:①正确;②不正确,因为直径必过球心;③正确.

    答案:①③

  • 3.组合体

    (1)概念:由柱、锥、台、球等基本几何体组合而成的几何体叫做组合体.

    (2)基本形式:有两种,一种是由简单几何体拼接而成的简单组合体;另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的简单组合体.

    名师点拨

    三种简单的组合体:多面体与多面体的组合;多面体与旋转体的组合;旋转体与旋转体的组合.

    常见的简单组合体及其结构特征:(1)正方体的八个顶点在同一个球面上,此时正方体称为球的内接正方体,球是正方体的外接球,并且正方体的对角线是球的直径;(2)一个球与正方体的所有棱相切,则正方体每个面上的对角线长等于球的直径;(3)一个球与正方体的所有面相切,则正方体的棱长等于球的直径.

    【做一做3-1】 一个直角三角形绕斜边旋转360°形成的空间几何体为(  )

    A.一个圆锥 

    B.一个圆锥和一个圆柱

    C.两个圆锥 

    D.一个圆锥和一个圆台

    答案:C

    【做一做3-2】 一个正方体内接于一个球,过球心作一截面,则截面不可能是(  )

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    解析:过球心的任何截面都不可能是圆的内接正方形.

    答案:D

重难点
  • 1.圆柱、圆锥、圆台的性质

    剖析:(1)对于圆柱的性质,要注意以下两点:一是轴线垂直于圆柱的底面;二是三类截面的性质??平行于底面的截面是与底面全等的圆,轴截面是一个由上、下底面圆的直径和母线组成的矩形,平行于轴线的截面是一个由上、下底面圆的弦和母线组成的矩形.

    (2)对于圆锥的性质,要注意以下两点:一是两类截面??平行于底面的截面是与底面相似的圆,过圆锥的顶点且与底面相交的截面是一个由两条母线和底面圆的弦组成的等腰三角形;二是圆锥的母线$l$、高$h$和底面圆的半径$R$组成一个直角三角形.有关圆锥的计算,一般归结为解这个直角三角形,往往会用到关系式$l^{2}=h^{2}+R^{2}$.

    (3)对于圆台的性质,要注意以下两点:一是圆台的母线共点,所以由任意两条母线确定的截面为等腰梯形,但是与上、下底面都相交的截面不一定是梯形;二是圆台的母线$l$、高$h$和上底面圆的半径$r$、下底面圆的半径$R$组成一个直角梯形,且有$l^{2}=h^{2}+(R-r)^{2}$,有关圆台的计算问题,常归结为解这个直角梯形.

  • 2.球的截面的性质

    剖析:(1)用任意一个平面去截球,得到的截面为圆面.设球心为$O$,截面圆的圆心为$O^{\prime}$,球的半径为$R$,截面圆的半径为$r$,球心到截面圆的距离为$d$,则①$O O^{\prime} \perp$平面$\odot O^{\prime}$;②$d=\sqrt{R^{2}-r^{2}}$                .

    (2)解决有关球的截面问题的关键是寻找球的半径、截面圆的半径及球心到截面圆的距离$O O^{\prime}$构成的直角三角形这一常用图形.

    (3)对于球的两个平行截面圆的问题要注意这两个截面是在球心的同侧还是异侧,否则对问题的探求不全面.

    (4)有关球的计算,往往先作出大圆,从而化球为圆,再用平面几何的有关定理求解.

  • 3.地球的经纬线和经纬度

    剖析:(1)经线和经度.

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    经线是地球表面上从北极到南极的半个大圆,在同一条经线上的点的经度都相等,如图,圆$O$是赤道面,圆$O^{\prime}$是纬线圈,点$P$的经度与点$A$的经度相等,如果经过点$B$的经线是本初子午线(即$0^{\circ}$经线),那么点$P$的经度等于$\angle A O B$的度数,也等于$\angle P O^{\prime} C$的度数.


    (2)纬线和纬度.

    在地球上,赤道是一个大圆,它是$0^{\circ}$纬线,其他的纬线都是小圆,它们是由与赤道面平行的平面截地球所得到的.

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    如图,圆$O$是赤道面,圆$O^{\prime}$是纬线圈,若点$P_{,} A$在同一条经线上,则点$P$的纬度等于$\angle P O A$的度数,也等于$\angle O P O^{\prime}$的度数.

  • 4.教材中的“探索与研究”

    对圆柱、圆锥、圆台:

    (1)平行于底面的截面是什么样的图形?

    (2)过轴的截面(简称轴截面)分别是什么样的图形?

    (3)研究圆柱、圆台和圆锥之间的关系.

    剖析:(1)平行于底面的截面,图形都是圆.

    (2)过轴的截面,对于圆柱是矩形,对于圆锥是等腰三角形,对于圆台是等腰梯形.

    (3)圆柱的上底面变小,就变为圆台,当上底面变为一个点时,它就变成了圆锥.

    圆台是由圆锥截得的,“还台为锥”不失为解决圆台问题的好办法.

  • 5.教材中的“思考与讨论”

    在平面几何中,你学习了直线与圆的位置关系,那么平面与球的位置关系如何?

    剖析:类比平面上直线与圆的位置关系,平面与球有以下几种位置关系:相离、相切、相交,其中相离是平面与球无公共点,相切是平面与球有且只有一个公共点,相交则是平面与球有无数多个公共点.

例题解析
  • 旋转体的概念与结构特征

    【例1】 (1)若把图①中的4个图形分别绕虚线旋转一周,能形成图②中的几何体,按顺序与1,2,3,4对应的几何体分别是图②中的_________.

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    (2)给出以下说法:

    ①圆台中平行于底面的截面都是圆面;

    ②圆柱的任意两条母线所在的直线是平行的;

    ③用一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台;

    ④球是以半圆的直径所在的直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的旋转体;

    ⑤球的半径是球面上任意一点与球心的连线段;

    ⑥圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线段是圆锥的母线.

    其中,正确的说法是_________.(填序号) 

    反思 

    判断一个平面图形旋转一周所形成几何体的形状时,关键是明确轴的位置以及平面图形中各边与轴的位置关系.

    【变式训练1】 下列给出的图形中,绕虚线旋转一周,能形成圆台的是(  )

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  • 简单旋转体中的计算问题

    【例2】 圆台的母线长为2$a$,母线与轴的夹角为$30^{\circ}$,一个底面的半径是另一个底面半径的2倍.求两底面的半径及两底面面积之和.

    分析:由题目可获取以下主要信息:①已知圆台的母线长及母线与轴的夹角;②上、下底面圆的半径关系.本题利用圆台的轴截面不难求出.

    反思

    解决圆柱、圆锥、圆台中有关量的计算问题时,关键是作出轴截面,通过轴截面,在矩形、三角形、梯形中构造直角三角形,利用解直角三角形或勾股定理进行计算求解.

    【变式训练2】 已知某圆台一个底面的面积为36$\pi$,母线长为5,圆台的高为2$\sqrt{6}$,则此圆台另一个底面圆的半径为(  )

    A.5  B.7  C.5或7  D.9

    【例3】 用一个平面截一个半径为13 cm的球,得到一个面积为25$\pi \mathrm{cm}^{2}$的圆,试求球心到该截面圆圆心的距离. 

    分析:根据球的截面的性质,球心与截面圆圆心的连线垂直于截面,据此构造直角三角形,利用勾股定理求解.

    反思 解有关球的问题时,常用如下性质:

    (1)用任意平面截球所得的截面是一个圆面,过球心和截面圆的圆心的直线垂直于截圆.

    (2)若分别用R和r表示球的半径和截面圆的半径,用d表示球心到截面的距离,则$R^{2}=r^{2}+d^{2}$.球的有关计算问题,常归结为解直角三角形问题.

    【变式训练3】 在半径为13的球面上有$A,B,C$三点,$A B=6, B C=8, C A=10$,则球心到平面$A B C$的距离为_________. 

  • 有关组合体的问题

    【例4】 圆锥底面半径为$r$,高为$h$,正方体$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$内接于此圆锥,求这个正方体的棱长. 

    分析:与圆锥有关的问题主要通过轴截面来讨论,而正方体只有唯一基本量??棱长,圆锥的轴截面在任何位置都相同,故过正方体的顶点作轴截面便于建立棱长与$r,h$之间的联系.

    反思 

    本题画出轴截面图形是解决问题的关键,从圆锥与正方体的结合入手,过正方体一组对棱的平面截圆锥得到轴截面,从而将空间问题转化为平面问题.

    【变式训练4】 若圆锥的轴截面是一个面积为9$\sqrt{3}$的正三角形,则其内切球的半径为(  )

    $\begin{array}{lll}{\text { A. } 4 \pi} & {\text { B.6 }} & {\text { C. } \sqrt{3}} & {\text { D. } \sqrt{3} \pi}\end{array}$

  • 易错辨析

    易错点:忽视球截面的位置致错

    【例5】 已知半径为10的球内有两个截面,其面积分别为36$\pi$和64$\pi$,求这两个截面之间的距离. 

  • 真题

    1下列几何体中是旋转体的是(  )

    ①圆柱;②六棱锥;③正方体;④球体;⑤四面体.

    A.①和⑤  B.①和②  C.③和④  D.①和④

    2.对于圆柱、圆锥和圆台的底面,下列说法正确的是(  )

    A.一定都是圆  B.可以是一个点

    C.是椭圆  D.是圆或椭圆

    3.用一个平面去截以下几何体,所得截面一定是圆面的是(  )

    A.圆柱  B.圆锥  C.球  D.圆台

    4已知半径为5的球的两个平行截面的周长分别是6$\pi$和8$\pi$,则这两个平行截面间的距离是_________. 

    5.如图,圆锥底面圆的半径$O A$是6,轴截面的顶角$\angle A S B$是直角,过两条母线的截面SCB截去底面圆周的$\frac{1}{6}$,求截面面积.

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