1.1.5 三视图

时间:2019-9-9 19:05:03   作者:数学名师王老师
1.了解正投影的概念和性质.
2.理解三视图的概念,能识别简单物体的三视图,会画简单几何体(组合体)的三视图.
3.理解三视图的基本特征,掌握视图间的关系.
知识点
  • 1.正投影

    (1)定义.

    在物体的平行投影中,如果投射线与投射面垂直,则称这样的平行投影为正投影.

    (2)性质.

    正投影除具有平行投影的性质外,还具有下列性质:

    ①垂直于投射面的直线或线段的正投影是点;

    ②垂直于投射面的平面图形的正投影是直线或直线的一部分.

  • 2.三视图及相关概念

    选择三个两两互相垂直的平面作为投射面.

    一个投射面水平放置,叫做水平投射面.投射到这个平面内的图形叫做俯视图.

    一个投射面放置在正前方,这个投射面叫做直立投射面,投射到这个平面内的图形叫做主视图.

    和直立、水平两个投射面都垂直的投射面叫做侧立投射面.通常把这个平面放在直立投射面的右面,投射到这个平面内的图形叫做左视图.

    将空间图形向这三个平面作正投影,然后把这三个投影按一定的布局放在一个平面内,这样构成的图形叫做空间图形的三视图.

    名师点拨

    1.在三视图中,被挡住的轮廓线画成虚线.

    2.三视图记忆口诀:

    “长对正,高平齐,宽相等”;或“主左一样高,主俯一样长,俯左一样宽”.

    【做一做1】 有一辆汽车如图①,小红从空中往下看这辆汽车,小红看到的形状大约是图②中的(  ) 

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    解析:从上面看小汽车只能看到驾驶室的顶部和车身的上面,实际上是考查俯视图的画法.

    答案:B

    【做一做2】 一个几何体的主视图、左视图和俯视图全是一样的,则这个几何体可能是     .(要求写出两种) 

    答案:球、正方体

    【做一做3】 画出右面几何体的三视图.

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    分析:根据三视图的定义,分别从不同方位观察图形的特征,画出对应的图形.

    解三视图如图:  

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重难点
  • 1.三视图一样的两个空间几何体可能不一样

    剖析:观察下列两个空间几何体,作出它们的三视图. 

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    由以上空间几何体我们可以看出,两个空间几何体的主视图、俯视图、左视图均为四个正方形构成的“田”字形,所以它们的三视图如图.

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    其实,我们还可以研究得到以下空间几何体的三视图也与前面两种情况得到的三视图相同.

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    名师点拨

    通过剖析可知,一个空间几何体摆放的位置不一样,可能会得到不同的三视图,有相同的三视图的空间几何体也不一定相同.

  • 2.教材中的“思考与讨论”

    在平面上表示立体图形有哪些方法?

    剖析:在平面上表示立体图形有斜二测直观图、三视图等,其画法规则各自不同.

  • 3.教材中的“探索与研究”

    问题:旋转体放置在怎样的位置时,它的三视图比较简单?这时它的三视图有什么特征?

    过程:实践并观察圆柱、圆锥和圆台的生成,研究这三种简单旋转体的三视图,并回答以下问题:

    (1)旋转体的三视图有哪些特征?

    (2)检验一下球的三视图是否符合你发现的特征.

    剖析:(1)当旋转体底面水平放置即轴线为铅垂线时,其三视图比较简单,此时主视图、左视图相同(圆柱、圆锥、圆台分别为矩形、等腰三角形、等腰梯形),俯视图为圆(或带圆心或两个同心圆),有时为了方便一般只画出它们的主视图和俯视图.(2)球的三视图也符合上述特征.

例题解析
  • 正投影问题

    【例1】 如图所示,$E, F$分别是正方体的面$A D D_{1} A_{1}$、面$B C C_{1} B_{1}$的中心,则四边形$B F D_{1} E$在该正方体的面上的正投影可能是图中的_________.(要求:把可能的图形的序号都填上) 

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    反思 

    正投影问题是一种新颖题型,在解决这类问题时一定要牢牢把握一个原则:过主要点向投射面作垂线,得到投影点,连点成线,由线得图.

    【变式训练1】 一个正方形在一个平面上的正投影不可能是(  )

    A.正方形  B.矩形  C.一条线段  D.梯形

  • 画几何体的三视图

    【例2】 如图,画出正四棱锥的三视图.

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    分析:首先确定主视图的观察方向,然后根据作图步骤画图即可.

    反思 

    1.画三视图首先要认真观察几何体的特点,根据几何体的特点,从不同方位找出其主要特点,再根据画三视图的步骤画图即可.

    物体三视图的作图步骤是:

    (1)根据物体的复杂程度及大小,确定图形比例;

    (2)确定主视图的观察方向(使其主要表面平行或垂直于投射面,能表达更多的结构形状);

    (3)布置各视图的位置(画出基准线、对称中心线、轴线);

    (4)按照“三等规律”画其三视图(可见轮廓线画实线,不可见轮廓线画虚线);

    (5)核对有无错漏,擦去多余线条.

    2.画组合体的三视图时,关键是分清组合体的类型,弄清构造组合体的简单几何体分别是什么,注意它们交线的位置.

    【变式训练2】 画出下列各组合体的三视图: 

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    分析:①是组合型,上面是一个圆柱,下面是一个正六棱柱;②是切挖型,一个正六棱柱中间挖去一个圆柱.

  • 由三视图还原空间图形

    【例3】 如下图所示的是一些立体图形的三视图,请说出立体图形的名称.

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    反思 

    由三视图还原出实物图时,先从三视图中初步判断简单组合体的组成,然后利用轮廓线(特别要注意虚线)逐步作出实物图.解答类似问题容易出现以下错误:

    (1)在画物体的形状时,没有注意原三视图中尺寸的比例关系,画图比较随意.

    (2)对常见物体的三视图不熟悉.例如,当三视图中有圆时,便以为原物体中一定有球;当三视图中有矩形时,就认为原物体中一定有长方体(正方体).

    (3)缺乏空间想象能力.不能由平面图形去推测想象空间图形,不能由三视图想象实物图.

    【变式训练3】 如图,甲、乙、丙是三个立体图形的三视图,甲、乙、丙对应的标号正确的是(  )

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    ①长方体 ②圆锥 ③三棱锥 ④圆柱

    A.④③②  B.②①③  C.①②③  D.③②④

  • 易错辨析

    易错点:因三视图画法规则理解不深致错

    【例4】 试画出如图中(1)(2)所示物体的主视图与俯视图. 

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  • 真题

    1.下列说法中正确的是(  )

    A.任何物体的三视图都与物体的摆放位置有关

    B.任何物体的三视图都与物体的摆放位置无关

    C.有的物体的三视图与物体的摆放位置无关

    D.正方体的三视图一定是三个全等的正方形

    2.图(1)是一个组合体,在①②③④四个图形中,是这个组合体的俯视图的是(  )

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    A.①  B.③  C.④  D.②

    3.由5个小立方块搭成的几何体,其三视图分别如图,则该几何体的形状是(  )

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    4.若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图,则其侧面积等于(  )

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    $\mathrm{A} \cdot \sqrt{3} \quad \mathrm{B} \cdot 2$ $\mathrm{C} .2 \sqrt{3} \quad \mathrm{D} .6$

    5.桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体,其主视图和左视图如图,这个几何体最多可以由_________个这样的正方体组成. 

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    6画出下图中几何体的三视图.

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    分析:注意第二个几何体的左视图中间一条线应是虚线,表示这是一条实际存在的线但是从左边看是看不到的.

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