1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积

时间:2019-9-9 19:05:03   作者:数学名师王老师
1.了解棱柱、棱锥、棱台和球的表面积计算公式(不要求记忆公式).
2.理解直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式的推导过程.
3.会求简单几何体的侧面积和表面积.
知识点
  • 1.棱柱、棱锥、棱台的侧面积公式

    blob.png$=c h$,其中c为直棱柱的底面周长,$h$为直棱柱的高.

    blob.png=$\frac{1}{2} c h^{\prime}$,其中c为正棱锥的底面周长,$h^{\prime}$为斜高.

    blob.png$=\frac{1}{2}(c+c) h^{\prime}$,其中$c^{\prime}, c$分别为正棱台的上、下底面的周长,$h^{\prime}$为斜高.

    名师点拨

    斜棱柱的侧面积需先计算出各个侧面的面积之后再求和,也可以先作出斜棱柱的直截面(与棱柱的侧棱垂直的截面),设其周长为$C^{\prime}$,侧棱长为l,则blob.png=c'l.

    【做一做1-1】 长方体的对角线长为2$\sqrt{14}$,长、宽、高的比为$3 : 2 : 1$,则它的表面积为(  )

    A.44  B.88  C.64    D.48

    解析:设长,宽,高分别为$3 x, 2 x, x$,则对角线长为

    $\sqrt{9 x^{2}+4 x^{2}+x^{2}}=\sqrt{14} x=2 \sqrt{14}$得$x=2$

    所以表面积$S=2\left(6 x^{2}+3 x^{2}+2 x^{2}\right)=88$.

    答案:B 

    【做一做1-2】 已知棱长为1,各面都是正三角形的四面体,则它的表面积是

    _________. 

    解析:每一个面的面积均为$\frac{\sqrt{3}}{4} \times 1^{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}$,

    因此表面积$S=4 \times \frac{\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}$.

    答案:$\sqrt{3}$

    【做一做1-3】 一个正三棱台的上、下底面边长分别为3 cm和6 cm,高是$\frac{3}{2} \mathrm{cm}$,则这个三棱台的侧面积是_________.

    解析:由已知得正三棱台的斜高$h^{\prime}=\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^{2}+\left[\frac{\sqrt{3}}{6} \times(6-3)\right]^{2}}=\sqrt{3}(\mathrm{cm})$.

    因此侧面积blob.png$=\frac{1}{2}(3 \times 3+3 \times 6) \times \sqrt{3}=\frac{27 \sqrt{3}}{2}\left(\mathrm{cm}^{2}\right)$.

    答案:$\frac{27 \sqrt{3}}{2} \mathrm{cm}^{2}$

  • 2.圆柱、圆锥、圆台的表面积

    (1)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式:

    blob.png$=c l=2 \pi r l$,其中l为圆柱的母线长,$c$为底面圆的周长,$r$为底面圆的半径.

    blob.png$=\frac{1}{2} c l=\pi r l$,其中$c,r$分别为圆锥底面圆的周长与半径,$l$为母线长.

    blob.png=$=\frac{1}{2}(c+c) l=\pi(r+r) l$,其中$c, r, c^{\prime}, r^{\prime}$分别为圆台上、下底面圆的周长与半径,$l$为圆台的母线长.

    (2)圆柱、圆锥、圆台的表面积公式:

    圆柱表面积:blob.png$=2 \pi r^{2}+2 \pi r l=2 \pi r(r+l)$.

    圆锥表面积:blob.png$=\pi r^{2}+\pi r l=\pi r(r+l)$.

    圆台表面积:blob.png$=\pi\left(r^{2}+r^{2}+r^{\prime} l+r l\right)$.

    知识拓展 表面积是几何体表面的面积,它表示几何体表面的大小,有时表面积又称为全面积.通常把几何体的表面展成平面图形,利用平面图形来求几何体的表面积.侧面积是指侧面的面积,与表面积不同.一般地,表面积=侧面积+底面积.利用侧面展开图或截面把空间图形问题转化为平面图形问题,是解决立体几何问题的常用手段.

    【做一做2-1】 如图,圆锥的底面半径为1,高为$\sqrt{3}$ ,则圆锥的表面积为(  )

    $\mathrm{A} . \pi$ $\mathrm{B} .2 \pi$ $\mathrm{C} .3 \pi$  $\mathrm{D} .4 \pi$

    解析:设圆锥的母线长为l,则$l=\sqrt{3+1}=2$

    所以圆锥的表面积$S=\pi \times 1 \times(1+2)=3 \pi$.

    答案:C

    【做一做2-2】 如果圆台的母线与底面成$60^{\circ}$角,那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比值为(  )

    $\begin{array}{lll}{\text { A. } 2 \pi} & {\mathrm{B} \cdot \frac{3 \pi}{2}} & {\mathrm{C} \cdot \frac{2 \sqrt{3} \pi}{3}} & {\mathrm{D} \cdot \frac{\pi}{2}}\end{array}$


    解析:可以把母线的长设为1,根据已知求出圆台的高,进而根据公式分别求出圆台的侧面积和轴截面的面积.

    答案:C

  • 3.球的表面积

    blob.png$=4 \pi R^{2}$,其中R为球的半径.

    名师点拨

    1.球的表面积可用语言叙述为:球面面积等于它的大圆面积的四倍.

    2.球面不能展开成平面图形,因此不能根据柱、锥、台的推导方法求球的表面积.

    3.不要求掌握球的表面积公式推导的过程,只要求记住公式并会应用.

    【做一做3-1】 若球的大圆周长为C,则这个球的表面积是(  )

    $A \cdot \frac{C^{2}}{4 \pi} \quad B \cdot \frac{C^{2}}{2 \pi} \quad$ C. $\frac{C^{2}}{\pi} \quad D .2 \pi C^{2}$

    答案:C

    【做一做3-2】 若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为

    _________


    解析:正方体的体对角线即为球的直径,即直径$d=\sqrt{3^{2}+3^{2}+3^{2}}=\sqrt{27}=3 \sqrt{3}$,则球的半径$R=\frac{3 \sqrt{3}}{2}$.

    所以$S=4 \pi R^{2}=27 \pi$.

    答案:27$\pi$

重难点
  • 剖析:通过圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式:blob.png三者之间的相互联系可以分析出(如图):

    blob.png

    当$r_{1}$变化时,相应的图形也随之变化,当$r_{1}=0, r_{2}=r$时,相应的圆台就转化为圆锥,而当$r_{1}=r_{2}=r$时,相应的圆台就转化为圆柱,相应的侧面积公式也随之变化.

    所以可归纳为:

    ①圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的变化关系为:

    blob.png

    ②棱柱、棱锥、棱台的侧面积公式之间的变化关系为:

    blob.png

    名师点拨一般棱柱、棱锥、棱台的侧面积的求法:因其结构特征不一致,因此应该先分别计算各侧面的面积,然后再将各侧面面积求和,即为相应的侧面积.


例题解析
  • 棱柱、棱锥、棱台的面积问题

    【例1】

    blob.png

    如图,正四棱锥底面正方形边长为4 $\mathrm{cm}$,高与斜高的夹角为$30^{\circ}$,求该正四棱锥的侧面积和表面积.

    分析:根据多面体的侧面积公式,必须求出相应多面体的底面边长和各侧面的斜高,进而根据相应的公式求解,把问题转化到三角形内加以分析求解.

    反思 

    解决此类题目先利用正棱锥的高、斜高、底面边心距组成的直角三角形求解相应的元素,再代入面积公式求解.空间几何体的表面积运算,一般先转化为平面几何图形的运算,再充分利用平面几何图形的特性通过解三角形完成基本量的运算.

    【变式训练1】 已知一正三棱台的两底面边长分别为30 $\mathrm{cm}$和20 cm,且其侧面积等于两底面积的和,求棱台的高.

    分析:利用已知条件求出斜高,再利用正棱台中的直角梯形求高.

  • 圆柱、圆锥、圆台的面积问题

    【例2】 一个直角梯形的上、下底和高的比为$1 : 2 : \sqrt{3}$ ,求它绕垂直于上、下底的腰旋转后形成的圆台的上底面面积、下底面面积和侧面积的比.

    分析:利用轴截面求母线长.

    反思 

    圆台的轴截面包含圆台的各度量元素,是解有关圆台计算问题常用的平面图形.

    【变式训练2】 若一个圆柱的轴截面是一个面积为16的正方形,则该圆柱的表面积是(  )

    $\begin{array}{llll}{\text { A. } 16 \pi} & {\text { B.24 } \pi} & {\text { C.20 } \pi} & {\text { D.28 } \pi}\end{array}$

  • 简单组合体的表面积问题

    【例3】 一个几何体的直观图如图,则该几何体的表面积等于

    _________. 

    blob.png

    分析:该几何体是由上面的圆柱和下面的长方体拼接而成,拼接面不能算作几何体的表面.

    反思 

    解答有重叠面的组合体的表面积类问题时,容易出现的错误是将两个几何体的表面积相加后只减去一个拼接面的面积,这是由于对几何体的组合特点理解不深致误.

    【变式训练3】 如图,一个正方体的棱长为2,以相对两个面的中心连线为轴,钻一个直径为1的圆柱形孔,所得几何体的表面积为_________. 

    blob.png

  • 球的切接问题

    【例4】 长方体共顶点的三个侧面面积分别为$\sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{15}$,试求它的外接球的表面积.

    分析:根据长方体的体对角线长等于其外接球的直径这一关系列式求解即可.

    反思 

    在处理球和长方体的组合问题时,通常是先作出过球心且过长方体对角面的截面图,然后通过已知条件来求. 

    【变式训练4】 求棱长为$a$的正四面体的外接球的表面积. 

  • 真题

    1.已知正四棱锥的底面边长为6,侧棱长为5,则此棱锥的侧面积为(  )

    A.6  B.12       C.24  D.48 

    2.已知正六棱柱的高为$h$,底面边长为$a$,则它的表面积为(  ) 

    $\begin{array}{ll}{\mathrm{A} .3 \sqrt{3} a^{2}+6 a h} & {\mathrm{B} \cdot \sqrt{3} a^{2}+6 h} \\ {\mathrm{C.} 4 \sqrt{3} a^{2}+6 a h} & {\mathrm{D} \cdot \frac{3}{2} \sqrt{3} a^{2}+6 a h}\end{array}$

    3.如图是一个空间几何体的三视图,其中主视图为等腰直角三角形,左视图与俯视图为正方形,则该几何体的表面积为(  ) 

    blob.png

    $\begin{array}{ll}{\mathrm{A} .16+16 \sqrt{2}} & {\mathrm{B} .48+16 \sqrt{2}} \\ {\mathrm{C.} 32+16 \sqrt{2}} & {\mathrm{D.48}+8 \sqrt{2}}\end{array}$

    4.已知一个圆锥的侧面展开图为半圆,且面积为S,则圆锥的底面面积是_________. 

    5.正四棱台的高是12 $\mathrm{cm}$,两底面边长相差10 $\mathrm{cm}$,表面积是512 $\mathrm{cm}^{2}$,则两底面的边长分别是_________. 

    6.已知一个几何体的三视图如图,求其表面积. 

    blob.png

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