1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征

时间:2019-9-9 19:05:03   作者:数学名师王老师
1.理解棱柱、棱锥、棱台的定义,会画棱柱、棱锥、棱台.
2.认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
3.掌握棱柱、棱锥、棱台平行于底面的截面性质,并会在棱柱、棱锥、棱台中进行简单运算.
知识点
  • 1.多面体与截面

    (1)多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体.

    围成多面体的各个多边形叫做多面体的面;相邻两个面的公共边叫做多面体的棱;棱和棱的公共点叫做多面体的顶点;连接不在同一个面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线.

    (2)把一个多面体的任意一个面延展为平面,如果其余的各面都在这个平面的同一侧,则这样的多面体就叫做凸多面体.

    按照围成多面体的面的个数分为:四面体、五面体、六面体……

    (3)一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形(包含它的内部),叫做这个几何体的截面

    名师点拨

    1.如果没有特别说明,我们今后所研究的多面体都是凸多面体.

    2.多面体最少有4个顶点,4个面和6条棱.

    3.截面的形状与几何体的形状有关,也与截该几何体的这个平面的位置有关.立体几何中的许多问题,往往是通过截面将空间问题转化为平面问题进行解决.

    【做一做1】 长方体有_________条对角线,四面体有_________条棱. 

    答案:4 6

  • 2.棱柱

    (1)棱柱的概念.

    有两个面互相平行,而且夹在这两个平行平面间的每相邻的两个面的交线都互相平行,这些面围成的几何体叫做棱柱.棱柱中,两个互相平行的面叫做棱柱的底面;其余各面叫做棱柱的侧面;两侧面的公共边叫做棱柱的侧棱;棱柱两底面之间的距离叫做棱柱的高.

    (2)棱柱的表示法.

    用表示两底面的对应顶点的字母或者用一条对角线端点的两个字母来表示.如:下面的棱柱可以表示为棱柱$A B C D E F-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} E_{1} F_{1}$,也可表示为棱柱$A D_{1}$等.

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    (3)棱柱的分类.

    按底面多边形的边数分为:三棱柱、四棱柱、五棱柱……

    棱柱又分为斜棱柱和直棱柱.

    侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱,侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱,底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱,底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体,侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体,底面是矩形的直平行六面体是长方体,棱长都相等的长方体是正方体.

    归纳总结1.在四棱柱中,应掌握好以下关系:

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    用图示表示如下:

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  • 2.正棱柱的性质:

    (1)正棱柱的两个底面是全等的正多边形;

    (2)正棱柱的侧面是全等的矩形;

    (3)正棱柱的所有侧棱都相等;

    (4)与底面平行的截面是一个与底面全等的正多边形.

    【做一做2-1】 四棱柱有(  )

    A.4条侧棱,4个顶点  B.8条侧棱,4个顶点

    C.4条侧棱,8个顶点  D.6条侧棱,8个顶点

    答案:C

    【做一做2-2】 下列三种说法中,正确的个数为(  )

    ①侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱;

    ②底面是正多边形的棱柱是正棱柱;

    ③棱柱的侧面都是平行四边形.

    A.0  B.1  C.2  D.3

    解析:由直棱柱的定义,知①正确;由正棱柱的定义,知底面是正多边形的直棱柱是正棱柱,故②错误;由棱柱的定义知其侧面都是平行四边形,故③正确.

    答案:C

  • 3.棱锥

    (1)棱锥的概念.

    有一个面为多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,这些面围成的几何体叫做棱锥.棱锥中有公共顶点的各三角形,叫做棱锥的侧面;各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点;相邻两侧面的公共边叫做棱锥的侧棱;多边形叫做棱锥的底面;顶点到底面的距离,叫做棱锥的高.

    (2)棱锥的表示法.

    用表示顶点和底面各顶点的字母或者用表示顶点和底面的一条对角线端点的字母来表示.如上面的棱锥可表示为:棱锥S -ABCD或棱锥S -AC.

    (3)棱锥的分类.

    按底面多边形的边数分为:三棱锥、四棱锥、五棱锥……

    (4)正棱锥的概念.

    如果棱锥的底面是正多边形,且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上,则这个棱锥叫做正棱锥.正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形,这些等腰三角形底边上的高都相等,叫做棱锥的斜高.

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    知识拓展

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    1.只有正棱锥才有斜高,其他棱锥的顶点到各底边的垂线段不都等长.

    2.正棱锥中有几个重要的直角三角形,利用它们可以把许多立体几何问题转化为平面几何问题解决.如图,在正棱锥中,点$O$为底面中心,$M$是$CD$的中点,则$\triangle S O M, \triangle S O C$均是直角三角形,常把一些量归结到这些直角三角形中去计算.很明显,$\triangle S M C, \triangle O M C$也是直角三角形.

    【做一做3-1】 在四棱锥的四个侧面中,直角三角形最多可有(  )

    A.1个  B.2个  C.3个  D.4个

    答案:D

    【做一做3-2】 正四棱锥$S-ABCD$的所有棱长都等于$a$,过不相邻的两条侧棱作截面$SAC$,如图,则截面的面积为(  )

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    $\mathrm{A} \cdot \frac{3}{2} a^{2} \quad \mathrm{B} \cdot a^{2} \quad \mathrm{C} \cdot \frac{1}{2} a^{2} \quad \mathrm{D} \cdot \frac{1}{3} a^{2}$


    解析:由正棱锥的性质,知底面ABCD是正方形,

    所以$A C=\sqrt{2} a$.

    在等腰$\Delta S A C$中,$S A=S C=a, A C=\sqrt{2} a$,

    所以$\angle A S C=90^{\circ}$,

    即$S_{\Delta S A C}=\frac{1}{2} a^{2}$.

    故选$\mathrm{C}$.

    答案:$\mathrm{C}$

  • 4.棱台

    (1)棱台的概念.

    棱锥被平行于底面的平面所截,截面和底面间的部分叫做棱台.原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面;其他各面叫做棱台的侧面;相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱;两底面间的距离叫做棱台的高.

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    (2)棱台的表示法.

    可用表示上、下底面各顶点的字母或者用一条对角线端点的两个字母表示棱台.如上面的棱台可表示为:棱台$A B C D-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$或棱台$A C^{\prime}$.


    (3)棱台的分类.

    按底面多边形的边数分为:三棱台、四棱台、五棱台……

    (4)正棱台的概念.

    由正棱锥截得的棱台叫做正棱台.正棱台各侧面都是全等的等腰梯形,这些等腰梯形的高叫做正棱台的斜高.

    知识拓展
    在正棱台中,有三个重要的直角梯形??两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形;两底面中心连线、侧棱和两底面对角线的一半组成一个直角梯形;斜高、侧棱和上、下两底面边长的一半组成一个直角梯形.正棱台的计算问题,常转化为这几个直角梯形的计算问题.

    【做一做4】 棱台不具有的性质是(  )

    A.两底面相似

    B.侧面都是梯形

    C.侧棱都平行

    D.侧棱延长后都交于一点

    答案:C

重难点
  • 1.棱柱、棱锥、棱台的定义和结构特征比较

    剖析:

     

    棱柱

    棱锥

    棱台

    侧棱

    平行且相等

    相交于顶点

    延长线交于一点

    平行于底面的截面

    与两底面是全等的多边形

    与底面是相似的多边形

    与两底面是相似的多边形

    过不相邻两侧棱的截面

    平行四边形

    三角形

    梯形

    侧棱

    平行且相等

    相交于顶点

    延长线交于一点

    平行于底面的截面

    与两底面是全等的多边形

    与底面是相似的多边形

    与两底面是相似的多边形

    过不相邻两侧棱的截面

    平行四边形

    三角形

    梯形

    名师点拨

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    在棱柱中,有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形,但不能认为:“有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的多面体就是棱柱”,这一说法是错误的.如图①是由两个三棱柱叠放在一起形成的几何体,这个几何体不是棱柱.这是因为虽然上、下两个面平行,但是四边形$A B B_{1} A_{1}$与四边形$A_{1} B_{1} B_{2} A_{2}$不在一个平面内,所以多边形$A B B_{1} B_{2} A_{2} A_{1}$不是一个平面图形,它更不是一个平行四边形,因此这个几何体不是一个棱柱.

    所以棱柱的定义中强调“其余各面是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”

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    2.在棱锥中,有一个面是多边形,其余各面都是三角形.但不能说:“有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体就是棱锥”,例如,在如图②的多面体中,有一个面是四边形$A B C D$,其余各面都是三角形:$\triangle P A B, \triangle P A D, \triangle P O D,  \\  \triangle O D C, \triangle P O B, \Delta O C B$
    ,因为这些三角形没有公共的顶点,所以它不是棱锥.

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    3.棱台中有两个面互相平行,其余各面是梯形,但不能认为:“有两个面互相平行,其余各面都是梯形的几何体就是棱台.”这是因为其侧棱延长后不一定相交于一点,例如,如图③的几何体就不是棱台.

    4.特别注意,棱柱中两个底面不一定就是上、下两个面,也可能是左、右两个面或前、后两个面.

  • 2.教材中的“思考与讨论”

    如何判断一个多面体是棱台?

    剖析:要判断一个多面体是不是棱台,首先看两个底面是否平行,其次把侧棱延长后看是否相交于一点,这两条都满足的几何体才是棱台.

例题解析
  • 棱柱的概念及其结构特征

    【例1】 如图,长方体$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$.

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    (1)这个长方体是棱柱吗?如果是,是几棱柱?为什么?

    (2)用平面$B C N M$把这个长方体分成两部分,各部分形成的几何体还是棱柱吗?如果是,是几棱柱,并用符号表示;如果不是,说明理由.(提示:根据后面将要学习的线面平行的性质定理,可以证明$B C / / M N$,且$B C=M N$)

    分析:根据棱柱的定义及结构特征进行分析判断.

    反思 

    判断一个几何体是否是棱柱的关键是看该几何体是否满足棱柱的概念,特别是看其是否存在两个互相平行的面.

    【变式训练1】 下列几何体是棱柱的有(  )

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    A.5个  B.4个  C.3个  D.2个

  • 棱锥的概念及结构特征

    【例2】 判断下列说法是否正确?为什么?

    (1)棱锥的所有面可以全部是三角形;

    (2)三棱锥中任何一个顶点都可作为棱锥的顶点,任何一个面都可作为棱锥的底面;

    (3)一个棱锥至少有四个面;

    (4)如果四棱锥的底面是正方形,那么其四条侧棱都相等;

    (5)棱锥被一个平面所截,一定得到一个棱锥和一个棱台;

    (6)正棱锥的侧面全是正三角形.

    分析:按照棱锥、正棱锥的定义及结构特征分析判断.

    反思

    在判断这些命题的真假时,除结合相关的定义、性质外,还要善于借助常见的模型进行判断分析,并会列举恰当的反例.

    【变式训练2】 一个三棱锥,如果它的底面是直角三角形,那么它的三个侧面(  )

    A.必定都不是直角三角形

    B.至多有一个直角三角形

    C.至多有两个直角三角形

    D.可能都是直角三角形

  • 棱台的概念及其结构特征

    【例3】 在下列几何体中,是台体的是(  )


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    A.①②  B.①③  C.③  D.②③

    分析:根据棱台的定义进行判断.

    反思 

    在判断一个几何体是不是棱台时,一定要根据棱台的定义,看其是否满足两个条件:一是观察其各侧棱延长后能否交于一点;二是观察其两个底面是否平行.

    【变式训练3】 下列描述中,是棱台的性质的是_________.(填序号) 

    ①两底面平行;②侧面都是梯形;③侧棱都相等,且平行;④侧棱延长后都交于一点;⑤底面不可能为三角形.

  • 有关柱、锥、台的计算问题

    【例4】 正四棱台的上、下底面面积分别为4,16,一侧面面积为12,分别求该棱台的斜高、高、侧棱长. 

    反思 

    本题由正四棱台的性质可知:上、下底面都是正方形,侧面是全等的等腰梯形,即可得出上、下底边及斜高的长;再由两个直角梯形便可计算出侧棱、高.故解题时应注意优先分析几何图形的关系,减少盲目性.

    【变式训练4】 (1)在正三棱锥V-ABC中,若其底面边长为8,侧棱长为2$\sqrt{6}$ ,则它的高等于_________; 

    (2)若正四棱台两底面的面积分别为4和16,其高为$\sqrt{3}$,则该正四棱台的侧棱的长为_________.

  • 立体图形的展开问题

    【例5】 如图,在正三棱柱$A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$中,$A B=3, A A_{1}=4 . M^{2}$为$A A_{1}$的中点,$P$是$BC$上一点,且由$P$沿棱柱侧面经过棱$C C_{1}$到M的最短路线长为$\sqrt{29}$,设这条最短路线与$C \mathrm{C}_{1}$的交点为$N$.求点$P$的位置.

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    分析:把三棱柱的侧面展开后放在平面上,通过列方程来求出点$P$到点$C$的距离,即确定了点$P$的位置.

    反思 

    解决空间几何体表面上两点间的最短线路问题,一般都是将空间几何体表面展开,转化为求平面内两点间的线段长,这体现了数学中的转化思想.

    【变式训练5】 如图,正三棱锥$V-A B C$的侧棱长为1,$\angle A V B=40^{\circ}$,$E$和$F$分别是棱$VB$和$VC$上的点,求$\triangle A E F$的周长的最小值.

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  • 真题

    1.在下列几何体中,属于棱台的是(  )                      blob.png

    2.下列命题中正确的是(  )

    A.棱柱的面中,至少有两个面互相平行

    B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面

    C.在平行六面体中,任意两个相对的面均互相平行,但平行六面体的任意两个相对的面不一定可当作它的底面

    D.棱柱的侧面是平行四边形,但它的底面一定不是平行四边形

    3.如图,正三棱柱$A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$的各棱长都是$2, E, F$分别是$A B, A_{1} C_{1}$的中点,则$E F$的长是(  ) 

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    $\begin{array}{llll}{\text { A.2 }} & {\text { B. } \sqrt{3}} & {\text { C. } \sqrt{5}} & {\text { D. } \sqrt{7}}\end{array}$

    4如图,在三棱台$A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}-A B C$中,截去三棱锥$A^{\prime}-A B C$,则剩余部分的几何体是一个     . 

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    5正三棱锥底面面积为$\frac{9 \sqrt{3}}{4}$,侧棱长为4,求此三棱锥的斜高和高. 

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