1.1.1 构成空间几何体的基本元素

时间:2019-9-9 19:05:03   作者:数学名师王老师
1.理解平面的抽象特征,并会表示平面.
2.知道构成几何体的基本元素,并能从运动的角度理解点、线、面、体之间的关系.
3.了解简单几何体中点、线、面的位置关系.
知识点
  • 1.几何体

    如果只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小,而不考虑其他因素,则这个空间部分叫做一个几何体.

  • 2.构成空间几何体的基本元素

    (1)长方体由六个矩形(包括它的内部)围成,围成长方体的各个矩形,叫做长方体的面;相邻两个面的公共边,叫做长方体的棱;棱和棱的公共点,叫做长方体的顶点.

    (2)长方体有6个面,12条棱,8个顶点.

    (3)点、线、面是构成几何体的基本元素.

    【做一做1】 正方体有_________个面, _________条棱,_________个顶点,且它的棱长均_________. 

    答案:6 12 8 相等

  • 3.空间点、线、面的特征

    (1)线有直线(段)和曲线(段)之分,面有平面(部分)和曲面(部分)之分.平面是处处平直的面,而曲面不是处处平直的.

    (2)在立体几何中,平面是无限延展的,通常画一个平行四边形来表示一个平面,并把它想象成无限延展的.

    blob.png


    平面一般用希腊字母$\alpha, \beta, \gamma, \cdots$来命名,还可以用表示它的平行四边形的对角顶点的字母来命名,如图中的平面$\alpha$、平面$\beta$、平面$A B C D$或平面$AC$等.

    名师点拨

    立体几何中的平面与平面几何中的平面图形是有区别的.平面图形如三角形、正方形、梯形等是有大小之分的;而立体几何中所说的平面是无大小、厚薄之分的,它类似于以前学过的直线,它可以无限延展,是不可度量的.

    (3)在几何中,可以把线看成点运动的轨迹,如果点运动的方向始终不变,那么它的轨迹就是一条直线或线段;如果点运动的方向时刻在变化,则运动的轨迹就是一条曲线或曲线的一段.

    (4)一条线运动的轨迹可以是一个面,面运动的轨迹(经过的空间部分)可以形成一个几何体.

    (5)直线平行移动,可以形成平面或曲面.固定射线的端点,让其绕着一个圆弧转动,可以形成锥面.

    知识拓展 点运动成线,若把点看成元素,则直线和曲线可以看作是点的集合,平面与曲面也可以看作是点的集合,这样从集合的角度来看,线、面就统一成点构成的“集合”了;线运动成面,因此线面的关系就可以看作“集合”与“集合”的关系了.

    【做一做2-1】 下列说法中错误的是(  )

    A.平面用一个希腊字母就可以表示

    B.平面可用表示平面的平行四边形对角顶点的两个英文字母表示

    C.$\triangle A B C$所在的平面不可以写成平面$ABC$

    D.一条直线和一个平面可能没有公共点

    解析:三角形$ABC$所在的平面可表示为平面$ABC$.

    答案:C

    【做一做2-2】 下列关于平面的说法正确的是(  )

    A.平行四边形是一个平面

    B.平面是有大小的

    C.平面是无限延展的

    D.长方体的一个面是平面

    答案:C

    【做一做2-3】 飞机飞行表演在空中留下漂亮的“彩带”,用数学知识解释为     . 

    答案:点动成线

  • 4.长方体中的线面位置关系与距离

    (1)在长方体$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$(如图)中,主要有线线、线面、面面三种位置关系,如下表所示: 

    blob.png


    位置关系

    举例

    符号表示

    线

    线

    平行

    ABCD平行、$A_{1} A$与$C_{1} C$平行


    $A B / / C D, A_{1} A$

    $/ / C_{1} C$


    相交

    $A_{1} D_{1}$与$D_{1} C_{1}$相交、$C_{1} C$与$CB$相交

     

    不平行不相交

    $A_{1} A$与$BC$既不平行也不相交、$AD$与$B_{1} B$既不平行也不相交

     

    线

    线在面内

    $AD$在平面$ABCD$内

     

    平行

    $A_{1} A$与平面$B C C_{1} B_{1}$平行

    $A_{1} A / /$平面$B C C_{1} B_{1}$

    垂直

    $B_{1} B$与平面$A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$垂直

    $B_{1} B \perp$平面$A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$

    平行

    平面$ABCD$与平面$A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$平行

     

    垂直

    平面$A D D_{1} A_{1}$与平面$ABCD$垂直

     

    (2)点到平面的距离:在长方体$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$中,线段$A A_{1}$为点$A$到平面$A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$内的点所连线段中最短的一条,线段$A A_{1}$的长称作点$A$到平面$A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$的距离.

    (3)平面与平面的距离:当两个平面平行时,夹在两个平面间的垂线段的长叫做两个平面间的距离.

    【做一做3-1】 下列说法:

    ①将一个矩形沿竖直方向平移一段距离可形成一个长方体;

    ②长方体中相对的面都互相平行;

    ③长方体两底面之间的棱相互平行且等长;

    ④点运动的轨迹是线,线运动的轨迹是面.

    其中正确的命题个数为(  )

    A.1  B.2  C.3  D.4

    解析:①不正确,当矩形水平放置时,沿竖直方向平移,才可得到一个长方体,当不是水平放置时,沿竖直方向平移不能得到长方体;②③④正确,故选C.

    答案:C

    【做一做3-2】 对长方体$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$中的点、线、面的位置关系,给出下列说法,试对这些说法作出你的分析与评价.

    (1)直线$A A_{1}$与直线$C C_{1}$平行;

    (2)直线$A A_{1}$与平面$C_{1} D_{1} D C$相交;

    (3)直线$A A_{1}$与平面$A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$垂直;

    (4)点$A_{1}$与点$B_{1}$到平面$A B C D$的距离相等.


    解(1)正确,由于直线$A A_{1}$与直线$C C_{1}$同在平面$A A_{1} C_{1} C$内,且没有交点,因此直线$A A_{1}$与直线$C C_{1}$平行;

    (2)不正确,直线$A A_{1}$与平面$C_{1} D_{1} D C$没有交点,因此直线$A A_{1}$与平面$C_{1} D_{1} D C$平行;

    (3)正确,直线$A A_{1}$与平面$A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$内的两条相交直线$A_{1} B_{1}, A_{1} D_{1}$都垂直,可以想象,当$A_{1} D_{1}$在平面$A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$内绕点$A_{1}$旋转到任何位置时,都会和$A A_{1}$垂直,因此直线$A A_{1}$与平面$A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$垂直;

    (4)正确,点$A_{1}$到平面$ABCD$的距离为线段$A A_{1}$的长,点$B_{1}$到平面$ABCD$的距离为线段$B B_{1}$的长,因此距离相等.

重难点
  • 1.对平面的概念的理解

    剖析:(1)平面是绝对平的.

    (2)平面没有厚度,也可理解成其厚度为零.

    (3)平面是无限延展的.

    (4)平面和点、直线一样,是我们以后研究空间图形的基本对象之一,也是空间图形的一个重要组成部分.

    (5)平面图形是有限的.如:三角形、平行四边形等,用平行四边形表示平面,只是一种形式上的表示方法,绝对不能认为平行四边形就是平面.

    (6)平面是无限的.平面将无限的空间分成两部分,如果想从平面的一侧到另一侧,必须穿过这个平面.

    (7)平面可以看作是空间中点的集合,它当然是一个无限集.

    (8)用希腊字母$\alpha, \beta, \gamma$等表示平面时,在不引起混淆的情况下,“平面”二字可以省略不写;但用英文字母表示平面时,如平面$AC$,“平面”二字不可省略,甚至在一些复杂的图形中为了区别起见,还要表示为平面$A B C D$.表示三角形所在的平面,一般将三个顶点的字母都写出来,如平面$ABC$、平面$ABD$等.

    (9)在平面几何中,凡是后引的辅助线都画成虚线.在立体几何中则不然,凡是被平面遮住的线(简称暗线)都画成虚线或不画;凡是不被遮住的线(简称明线,无论是题中原有的还是后引的辅助线)都画成实线.

    名师点拨

    在立体几何中,我们通常画平行四边形来表示平面,如图①,但是应注意:

    所画的平行四边形只是平面的一部分,但是表示整个平面.需要时,可以向四周延伸.如同画直线一样,画一条线段来表示即可,需要时,可将线段向两方延伸.

    有时根据需要,我们也可画其他平面图形表示平面.例如用三角形表示,如图②;用多边形表示,如图③;用椭圆表示,如图④.

    blob.png

  • 2.“点动成线、线动成面、面动成体”的含义

    剖析:点、线、面是构成几何体的基本元素,点是最小的元素,它没有大小,是构成线的基本元素;而面可以看成由许多线组成,因为线是无限延伸的,没有长短,没有粗细之分,所以它构成的面就是无限延展的,且任一个面都是由无数条线构成的.几何体是我们生活中接触到的物体的抽象概括,它不但有大小,也有固定的形状,每个面也具有一定的形状和大小,因此几何体的每个面都是平面的一部分.在实际中,我们从运动变化的观点来看这些关系就形成了“点动成线、线动成面、面动成体”的意识.

    归纳总结
    1.点动成线:自然现象中流星划过夜空,给我们一种“点动成线”的视觉感受.几何中,可以把线看成是点运动的轨迹.如果点运动的方向始终不变,那么它的轨迹是一条直线或线段,如果点运动的方向时刻在变化,那么运动的轨迹是一条曲线或曲线的一部分.

    2.线动成面:直线平行移动,可以形成平面或曲面;直线绕定点转动,可以形成曲面.

    3.面动成体:面运动的轨迹(经过的空间部分)可形成一个几何体.如长方体,我们可看作是水平放置的一个矩形在铅垂线方向上运动一段距离形成的几何体.面运动时,也可能不形成几何体.

例题解析
  • 平面的概念

    【例1】 下列判断正确的是_________.(填序号) 

    ①平面是无限延展的;

    ②一个平面长为3 cm,宽为4 cm;

    ③两个平面重叠在一起,比一个平面厚;

    ④通过改变直线的位置,可以把直线放在某个平面内.

    反思 

    平面是立体几何中一个不加定义的概念,一定要与平面图形区别开来,注意平面是无大小、无厚度的.

    【变式训练1】 下列说法正确的是(  )

    A.生活中的几何体都是由平面组成的

    B.曲面都是有一定大小的

    C.直线是无限个点组成的,而线段是由有限个点组成的

    D.许多平行直线也可以组成曲面

  • 几何体的构成

    【例2】 指出构成下列各几何体的基本元素.

    blob.png

    分析:认真观察图形,联想实物,确定点、线、面的数量.

    反思 

    解决这类问题时,要正确理解概念,几何体中有些棱和面是被遮住看不见的,不能遗漏.

    【变式训练2】 分别指出下列各个几何体的顶点、棱、面的数量.

    blob.png

  • 几何体中基本元素的位置关系

    【例3】

    blob.png

    如图,在长方体$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$中,如果把它的12条棱延伸为直线,6个面延展为平面,那么在这12条直线与6个平面中,回答下列问题:

    (1)与直线$B_{1} C_{1}$平行的平面有哪几个?

    (2)与直线$B_{1} C_{1}$垂直的平面有哪几个?

    (3)与平面$B C_{1}$平行的平面有哪几个?

    (4)与平面$B C_{1}$垂直的平面有哪几个?

    分析:仔细观察图形,且根据线与面、面与面的位置关系进行判断.

    反思 

    解决这类问题的关键是先识别好图形,再结合有关概念和定义进行判断,这就需要大家平时注重对生活中

    常见物体的观察.

    【变式训练3】 在长方体$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$的六个面中,与平面ABCD垂直的平面有(  )

    A.1个  B.2个  C.3个  D.4个

  • 平面图形与空间几何体

    【例4】 能用12根火柴组成5个正方形吗?能组成6个正方形吗?

    分析:若将12根火柴组成5个正方形,放在同一平面内可以做到,但在同一平面内组成6个正方形是不可能的,故可以结合一些几何体找原型.

    反思 

    正方体和长方体是生活中最常见的两种几何体,通过对它们的认识可以加深对几何体概念的理解.多观察它们的特点,学会分析一般几何体的特点,这就要求我们在生活中多留心一些实物,加深对感官世界的认识.

    【变式训练4】 能够用6条长度相等的线段组成4个全等的等边三角形吗? 

  • 真题

    1.已知下列四个结论:

    ①铺得很平的一张白纸是一个平面;②平面是矩形或平行四边形的形状;③一个平面的面积可以等于1 m2.

    其中正确结论的个数是(  )

    A.0  B.1  C.2  D.3

    2.在正方体$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$中,与对角线$B D_{1}$既不相交又不平行的棱有(  )

    A.3条  B.4条

    C.6条  D.8条

    3.如图,平面$\alpha, \beta, y$可将空间分成(  )

    blob.png

    A.5部分    B.6部分  C.7部分    D.8部分

    4.在正方体$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$中,判断平面$A B_{1} D_{1}$和平面$B C_{1} D$的位置关系.

声明:本站部分内容搜集整理自互联网,如果涉及侵犯您的版权,请联系我们举报,并提供相关证据,工作人员会在5个工作日内回复您,一经查实,本站将立刻删除涉嫌侵权内容。