1.2.1 集合之间的关系

时间:2019-9-9 19:05:03   作者:数学名师王老师
1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别一些给定集合的子集.2.能使用维恩(Venn)图表达集合之间的关系,尤其要注意空集这一特殊集合的意义.3.理解集合关系与其特征性质之间的关系,并能写出有限集的子集、真子集与非空真子集.
知识点
  • 1.集合之间的关系

     

    定义

    性质

    特殊规定(结论)

    一般地,如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素,那么集合A叫做集合B子集,记作$A \subseteq B$$B \supseteq A$,读作"A包含于B"或"B包含A";

    对于集合A,B,C,如果$A \subseteq B, B \subseteq C$,则$A \subseteq C$

    根据子集的定义,任意一个集合A都是它本身的子集,即$A \subseteq A$.空集是任意一个集合的子集.也就是说,对任意集合A,都有$\varnothing \subseteq A$(其中A也可能是?)

    如果集合A是集合B的子集,并且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合B真子集,记作A?BB?A,读作“A真包含于B“或“B真包含A“;

    对于集合A,B,C,如果A?B,B?C,则A?C

    空集是任意一个非空集合的真子集,也就是说,对任意一个非空集合A,都有??A

    一般地,如果集合A每一个元素都是集合B的元素,反过来,集合B每一个元素也都是集合A的元素,那么我们就说集合A等于集合B,记作A=B

    如果A?B,又B?A,则A=B;反之,如果A=B,则A?B,且B?A

    对于元素较少的有限集,可以将集合中的元素全部列举出来,说明两个集合中的元素完全相同,从而得到两个集合相等.对于无限集,只需说明两个集合之间具有相互包含关系,就可以得到两个集合相等

    名师点拨

    1.在子集的定义中,不能认为当集合A中的元素比B中的元素个数少时,A就是B的子集.只有当A中的任何一个元素都是B中的元素时,才能说A是B的子集,不能仅仅依据元素个数的多少判定两集合的关系.

    2.当A是B的子集,即A?B时,不能认为A是由B中的部分元素构成的集合.因为当A=?时,有A?B,但集合A中不含任何元素;又当A=B时,也有A?B,但此时集合A中含有B中的全部元素.

    3.当集合A中存在不是集合B中的元素时,我们就说A不是B的子集,记作A?B(或B?A),读作:“A不包含于B”(或“B不包含A”).

    4.A?B包括A?B和A=B两种情况.其中A?B,可形象地理解为B中元素至少比A中元素多一个;而A=B,可从A的元素与B的元素完全相同去理解.

    【做一做1-1】 有下列关系:

    ①1$\in\{0,1,2\}$;②$\{1\} \in\{0,1,2\}$;③$\{0,1,2\} \subseteq\{0,1,2\}$;④$\{0,1,2\}=\{2,0,1\}$.其中错误的个数是(  )

    A.1 B.2 C.3 D.4

    解析:①正确;②错误,应为{1}?{0,1,2};

    ③正确,也可以写成{0,1,2}={0,1,2};

    ④正确.故选A.

    答案:A

    【做一做1-2】 已知集合$A=\{1,2,3\}, B=\left\{3, x^{2}, 2\right\}$,若A=B,则x的值是(  )

    A.1 B.-1 C.±1 D.0

    答案:C

    【做一做1-3】 指出下列各对集合之间的关系:

    (1)$A=\{-1,2\}, B=\{1,-2\}$;

    (2)$A=\{1,2,3\}, B=\{0,1,2,3\}$;

    (3)$A=\left\{x | x^{2}=1\right\}, B=\{x| | x |=1\}$;

    (4)A={四边形},B={矩形}.

    解:(1)A?B,B?A;

    (2)A?B;

    (3)因为A={1,-1},B={1,-1},所以A=B;

    (4)四边形不一定是矩形,但矩形一定是四边形.因此B?A.

  • 2.维恩(Venn)图

    我们常用平面内一条封闭曲线的内部来表示一个集合,用这种图形可以形象地表示出集合之间的关系,这种图形通常叫做维恩(Venn)图.

    如果集合A是集合B的真子集,那么就把表示A的区域画在表示B的区域的内部(如图所示). 

    1558496384481295.png

    名师点拨

    1.Venn图一定是封闭曲线,常画成椭圆、圆或矩形;

    2.Venn图中要把集合的元素写在封闭曲线的内部.

    【做一做2】 如图所示,对于集合A,B,C,D的关系,描述正确的是(  )

    1558496462857460.png

    A.B?C B.D?A

    C.A?B D.A?C

    答案:D

  • 3.集合关系与其特征性质之间的关系

    设$A=\{x | p(x)\}, B=\{x | q(x)\}$,则有 

    集合间的关系

    特征性质间的关系

    A?B

    $p(x) \Rightarrow q(x)$

    A?B

    $q(x) \Rightarrow p(x)$

    A=B

    $p(x) \Leftrightarrow q(x)$

    【做一做3-1】 已知集合$M=\{x | 0 < x < 2\}, N=\{x |-1 < x < 6\}$,则M与N的关系是     . 

    解析:由于$0 < x < 2 \Rightarrow-1 < x < 6$,但$-1 < x < 6$ 1558497948692017.png$0 < x < 2$,故M?N.

    答案:M?N

    【做一做3-2】 若集合$A=\{x | x=2 n, n \in \mathbf{Z}\}, \\  B=\{x | x=4 n, n \in \mathbf{N}\}$
    ,则A与B的关系是_________.

    解析:集合A是由2的倍数构成的集合,集合B是由4的倍数构成的集合,4的倍数一定是2的倍数,但2的倍数不一定是4的倍数,故B?A.

    答案:B?A

重难点
  • 一、“∈”与“?”的区别与联系

    剖析:符号“∈”表示元素与集合之间的从属关系,也就是个体与总体的关系,是指单个对象与对象的全体的从属关系;而符号“?”表示集合与集合之间的包含关系.

    从属关系(∈)一般只能用在元素与集合之间;包含关系(?,?)只能用在集合与集合之间.在使用以上符号的时候先要弄清楚是元素与集合的关系还是集合与集合之间的关系.

    例如,表示元素与集合之间的关系有:1∈N,-1?N,1∈{1},0∈{0}等,但不能写成0={0}或0?{0};表示集合与集合之间的关系有:N?R,{1,2,3}?{1,2,3},{1,2,3}?{1,2,3,4}等;但需要注意的是??{?}与?∈{?}的写法都是正确的,前者是从两个集合间的关系来考虑的,后者则把?看成集合{?}中的元素来考虑.

  • 二、探索集合的子集个数问题

    剖析:由子集的定义可知:若集合A是集合B的子集,则有A?B,它包含以下两个方面:(1)A?B;(2)A=B.

    由以上知识,可以得到:

    若B={a},则其子集可以是?,{a},即集合中若有1个元素,则其子集个数为2;

    若B={a,b},则其子集可以是?,{a},{b},{a,b},即集合中若有2个元素,则其子集个数为4;

    若B={a,b,c},则其子集可以是?,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c},即集合中若有3个元素,则其子集的个数为8;

    若B={a,b,c,d},则其子集可以是?,{a},{b},{c},{d},{a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d},{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d},{a,b,c,d},即集合中若有4个元素,则其子集的个数为16.

    综上所述,集合中的元素个数每增加1,其子集的个数变为原来的2倍,其对应关系为:

    元素个数    子集数目

    1      $2=2^{1}$

    2      $2 \times 2^{1}=2^{2}$

    3      $2 \times 2^{2}=2^{3}$

    4      $2 \times 2^{3}=2^{4}$

    由此可以猜测:若集合中有n个元素,则其子集的个数应为$2^{n}$,其非空子集的个数为$\left(2^{n}-1\right)$,其真子集的个数应为$\left(2^{n}-1\right)$,其非空真子集的个数为$\left(2^{n}-2\right)$.

  • 三、教材中的“思考与讨论”

    已知集合A的特征性质为p(x),集合B的特征性质为q(x).“如果p(x),那么q(x)”是正确的命题,试问集合A和B的关系如何?并举例说明.

    剖析:设A={x|p(x)},B={x|q(x)},若“如果p(x),那么q(x)”是正确的命题,则p(x)?q(x),即x∈A?x∈B,根据子集的定义有A?B.举例说明如下:A={x|x是6的约数},B={x|x是12的约数},即集合A的特征性质p(x)是:x是6的约数;集合B的特征性质q(x)是:x是12的约数.而6的约数是1,2,3,6;12的约数是1,2,3,4,6,12.由此可知,若“如果p(x),那么q(x)”是真命题,则“如果x是6的约数,那么x是12的约数”,即x∈A?x∈B,故A?B.

例题解析
  • 题型一、判断集合间的关系

    【例1】 判断以下给出的各对集合之间的关系:

    (1)$A=\{1,3,5,6,7\}, B=\{5,7\}$;

    (2)$A=\{2,3\}, B=\left\{x | x^{2}-5 x+6=0\right\}$;

    (3)$A=\left\{x | x^{2}-x=0\right\}, \\ B=\left\{x | x^{2}-x+1=0\right\}$

    (4)$A=\{x | 0 < x < 1\}, B=\{x | 0 < x < 3\}$;

    (5)$A=\{x | x=2 k, k \in \mathbf{Z}\}, \\ B=\{x | x=2 k+2, k \in \mathbf{Z}\}$.

    反思

    1.集合间的关系有包含、真包含、相等等.

    2.判断两个集合之间的关系的方法主要有:

    (1)对于有限集合,特别是元素个数较少时,可将元素一一列举出来进行判断;

    (2)对于无限集合,特别是用描述法表示的集合,应从特征性质入手进行分析判断,看其元素之间具备什么关系,从而得到集合间的关系;

    (3)当集合是不等式的解集时,可借助数轴分析判断集合间的关系.

    3.在判断集合间的关系时,要注意空集表现形式的多样性及其特殊性,即空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.

    【变式训练1】 判断下列各对集合之间的关系:

    (1)$M=\{x | x \geqslant 0\}, N=\{x | x < 1\}$;

    (2)M={直角三角形},N={等腰直角三角形};

    (3)$M=\left\{x | x=k^{2}+1, k \in \mathbf{Z}\right\}, \\ N=\left\{x | x=m^{2}+1, m \in \mathbf{R}\right\}$

    (4)$M=\left\{x | x^{2}+1=0, x \in \mathbf{R}\right\}, \\ N=\{x | x+1>0, x \in \mathbf{R}\}$

  • 题型二、两个集合相等及其应用

    【例2】 已知$M=\{2, a, b\}, N=\left\{2 a, 2, b^{2}\right\}$,且$M=N$,求$a, b$的值.

    反思

    在考虑两个集合相等时,应注意到集合中元素的互异性.本题结果易出现含有$\left\{\begin{array}{l}{a=0} \\ {b=0}\end{array}\right.$这种错误的情况,导致该错误的原因是忽视了集合中元素的互异性.

    【变式训练2】 设集合$A=\left\{3, x^{2}-6\right\}, B=\{x, y\}$,且$A=B$,求$x,y$的值.

  • 题型三、确定给定集合的子集、真子集

    【例3】 已知集合A={m|m使方程$m x^{2}-2 x+1=0$有唯一实数解},试写出集合A的所有子集,并指出哪些是A的真子集.

    反思

    在写出一个有限集合的子集(真子集)时,首先要确定该集合的全部元素,然后按照子集中所含元素的个数分类,分别写出符合要求的子集(真子集).在写子集时,不能忘记空集和集合本身.

    【变式训练3】 满足条件{a,b}?M?{a,b,1,2,3}的集合M的个数是(  )

    A.3 B.4 C.7 D.8

  • 题型四、根据子集关系,确定参数的值

    【例4】 设集合$A=\{-1,1\}$,集合$B=\left\{x | x^{2}-2 a x+b=0\right\}$,若$B \neq \varnothing, B \subseteq A$,求a,b的值.

    反思

    利用分类讨论的思想,考虑集合B的所有可能的情况,这是处理集合与其子集之间关系的常用方法.另外,此题也可以利用根与系数的关系求解.此题容易出现的错误是没有注意题中的已知条件而考虑B=?的情形.

    【变式训练4】 已知集合A={x|2 < x≤5}.

    (1)若B={x|x < m},且A?B,求实数m的取值范围;

    (2)若B={x|x>m},且A?B,求实数m的取值范围.

  • 题型五、易错辨析

    易错点:忽视空集致错

    【例5】 集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B?A,求实数m满足的条件.

    反思

    空集是一种特殊的集合,也是集合运算中最活跃的一个集合,它是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.当B?A时,B可能为?,不要忽视这一种可能,在条件不明确时,要注意分类讨论.

    【变式训练5】 已知集合$P=\left\{x | x^{2}+x-6=0\right\}, Q=\{x | m x-1=0\}$,若Q?P,则实数m的值为________. 

  • 真题

    1若集合$A=\left\{x \in \mathbf{N}_{+} |-2016 < x < 2017\right\}, \\ B=\{x \in \mathbf{Z} | 0 \leqslant x \leqslant 2016\}$
    ,则集合A,B之间的关系为(  )

    A.A=B  B.A?B

    C.B?A  D.A?B

    2已知集合A={a},C={a,b,c},若A?B,且B?C,则集合B的个数是(  )

    A.1  B.2 

    C.3  D.4

    3若集合A={2,9},集合$B=\left\{m^{2}-m, 9\right\}$,且A=B,则实数m等于________. 

    4有下面5个命题:

    ①空集没有子集;

    ②任意集合至少有两个子集;

    ③空集是任何集合的真子集;

    ④若??A,则A≠?;

    ⑤集合A?B,就是集合A中的元素都是集合B中的元素,集合B中的元素也都是集合A中的元素.

    其中不正确命题的序号有________. 

    5已知集合A中元素的特征性质$p(x) : x^{2}-2 x-3=0$,集合B中元素的特征性质$q(x) : a x-1=0, a \in \mathbf{R}$.若$q(x) \Rightarrow p(x)$,试求a的值.

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