1.1.1 集合的概念

时间:2019-9-9 19:05:03   作者:数学名师王老师
1.了解集合的含义,会用符号“∈”或“?”表示元素与集合之间的关系.
2.理解集合中元素的特性,重点理解其确定性与互异性.
3.熟悉常用数集的符号,尤其要注意空集的含义及表示.
知识点
  • 1.集合的有关概念

    一般地,把一些能够确定的不同的对象看成一个整体,就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集),通常用英语大写字母A,B,C,…来表示.构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员),通常用英语小写字母a,b,c,…来表示.

    名师点拨

    集合是现代数学中不加定义的基本概念,学习这个概念应注意以下两点:

    (1)集合是一个“整体”;

    (2)构成集合的对象必须是“确定”且“不同”的.

    【做一做1】 下列各组对象不能构成集合的是(  )

    A.著名的中国数学家

    B.所有的负数

    C.清华大学招收的2016级本科生

    D.某次会议所有的代表

    解析:因为选项B,C,D中所给的对象都是确定的,所以可以构成集合;而选项A中所给对象不确定,原因是没有具体的标准来衡量一位数学家怎样才算著名,故不能构成集合.

    答案:A

  • 2.元素与集合的关系

    知识点

    关系

    概念

    记法

    读法

    元素与

    集合的

    关系

    属于

    如果a是集合A的元素,就说a属于A

    $a \in A$

    a属于A

    不属于

    如果a不是集合A的元素,就说a不属于A

    $a \notin A$

    a不属于A

    归纳总结元素与集合的联系与区别如下表:

       区别

    概念   

    概念上的区别

    符号上的区别

    联系

    元素

    研究对象

    小写字母$a, b, c, \cdots$

    $a \in A$或$a \notin A$

    集合

    一些对象组成的整体

    大写字母$A, B, C, \cdots$

    【做一做2】 用符号$\in$和$\notin$填空:

    (1)若所有正奇数构成的集合为M,则4______M,-1______M,7______M; 

    (2)若所有小于$\sqrt{17}$的实数构成的集合为P,则4______P,2+√5______P. 

    解析:(1)4和-1都不是正奇数,7是正奇数,因此$4 \notin M,-1 \notin M, 7 \in M$.

    (2)因为$4<\sqrt{17},>\sqrt{17}$,

    所以$4 \in P, 2+\sqrt{5} \notin P$.

    答案:(1)? ? ∈ (2)∈ ?

  • 3.集合中元素的性质特征

    (1)确定性;(2)互异性;(3)无序性.

    名师点拨在处理集合中有关元素的问题时,求得其中元素(或字母)的值以后,要充分考虑集合元素的互异性与分类讨论思想的应用,要进行代入检验,舍去不符合要求的值.

    【做一做3-1】 若$a, a, b, b, a^{2}, b^{2}$构成集合M,则M中的元素最多有(  )个.

    A.6  B.5 

    C.4  D.3

    解析:由集合元素的互异性可知,当$a, b, a^{2}, b^{2}$互不相等时,集合M中的元素最多,即集合M最多有4个元素.

    答案:C

    【做一做3-2】 方程$x^{2}-2 x+1=0$的解集中有________个元素. 

    答案:1

  • 4.集合的分类

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    【做一做4】 指出下列集合是有限集还是无限集:

    (1)满足2 015 < x < 2 017的整数构成的集合;

    (2)数轴上所有的实数对应的点构成的集合.

  • 5.常用数集及表示符号

    名称

    自然数集

    正整数集

    整数集

    有理数集

    实数集

    符号

    N

    $\mathbf{N}_{+}$N*

    Z

    Q

    R

    【做一做5】 下列关系表示正确的是(  )

    A.0$\in \mathbf{N}_{+}$  B.π?R

    C.1?Q  D.0∈Z

重难点
  • 一、集合中元素的特性

    剖析:确定性:作为一个集合的元素,必须是确定的.这就是说,不能确定的对象就不能构成集合.也就是说,给定一个集合,任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了.

    互异性:对于一个给定的集合,集合中的元素一定是不同的(或说是互异的).这就是说,集合中的任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素.

    无序性:集合中的元素没有顺序,在表示集合时先写哪个元素都可以.

  • 二、特殊集合??空集

    剖析:我们把不含任何元素的集合叫做空集,记作?.空集是一个实实在在的集合,只不过此集合中没有任何元素,故称为空集.例如,由“方程$x^{2}+2=0$的实数根”构成的集合,因为没有适合该集合的元素,所以它是空集.

    名师点拨

    1.空集的本质是其不含有任何元素,它的表现形式是多种多样的.例如,由所有平方等于-1的实数构成的集合;由所有大于-3且小于0的自然数构成的集合;由所有的有两个内角是直角的三角形构成的集合等都是空集.

    2.不要将实数0或只含一个元素0的集合与空集?混为一谈.实数0只能作为元素出现,它不是集合,只含一个元素0的集合不等同于?,因为它含有元素.

  • 三、教材中的“思考与讨论”

    1.你能否确定,你所在班级中,高个子同学构成的集合?并说明理由.

    剖析:不能确定.原因是对高个子同学“高”的程度没有确定的标准,所以无法判定哪些同学符合要求,因此不能构成集合.

    2.你能否确定,你所在班级中,最高的3位同学构成的集合?

    剖析:能确定.因为班里最高的3位同学是确定的(只要按身高从高到低取前三名即可),将他们作为元素放在一起即构成所要求的集合.

例题解析
  • 题型一、集合中元素的确定性

    【例1】 下列各组对象能构成集合吗?

    (1)你所在班级的男生;

    (2)参加2016年第31届夏季奥林匹克运动会的高大运动员;

    (3)关于x的方程$x^{2}$+5=0的实数解;

    (4)所有小的正数;

    (5)到两定点距离的和等于两定点间的距离的点.

    【变式训练1】 给出以下各组对象:①较大的正整数;②北京市所有身高为1.75米的人;③美国NBA的著名球星;④方程$x^{2}$的所有实数解;⑤小于1的正整数.其中能构成集合的对象的组数为(  )

    A.2  B.3

    C.4  D.5

  • 题型二、集合中元素的互异性

    【例2】 由元素$3, x, x^{2}-2 x$构成集合M,则x应满足的条件是_______. 

    【变式训练2】 由方程$x^{2}-5 x+6=0$和方程$x^{2}-x-2=0$的所有实数根构成的集合中,元素的个数为(  )

    A.1  B.2 

    C.3  D.4

  • 题型三、元素与集合的关系

    【例3】 已知集合P中有三个元素$a-3,2 a-1, a^{2}+4$,且$-3 \in P$,求实数a的值.

    【变式训练3】 在例3所给的集合P中,是否含有元素-5?

  • 真题

    1下列各组对象,能构成集合的是(  )

    A.平面直角坐标系内x轴上方的y轴附近的点

    B.平面内两边之和小于第三边的三角形

    C.某书店中有意义的小说

    D.π(π=3.141…)的近似值的全体

    2给出下列关系:①$\frac{1}{2} \in \mathbf{R}$;②$\sqrt{2} \notin \mathbf{Q}$;③$|-3| \notin \mathbf{N}_{+}$;④$|-\sqrt{3}| \in \mathbf{N}$.

    其中正确的个数为(  )

    A.1   B.2   C.3   D.4

    3由$a^{2}, 2-a, 4$组成一个集合A,且集合A中含有3个元素,则实数a的取值可以是(  )

    A.1  B.-2 

    C.6  D.2

    4集合A是由点(2 017,2 016)和点(2 016,2 017)构成的,则A中有______个元素. 

    5设L(A,B)表示直线AB上所有点组成的集合,“P是直线AB上的一个点”这句话就可以简单地写成P________L(A,B). 

    6已知集合A由三个元素$a^{2}, a+1,0$构成,且1$\in A$,试求实数a的值.

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