1.1.2 集合的表示方法

时间:2019-9-9 19:05:03   作者:数学名师王老师
1.能运用自然语言、集合语言(列举法、描述法)描述不同的具体问题.
2.理解集合的特征性质,会用集合的特征性质描述一些集合,如数集、解集和一些基本图形的集合等.
知识点
  • 1.列举法

    如果一个集合是有限集,元素又不太多,常常把集合的所有元素都列举出来,写在花括号“{ }”内表示这个集合.这种表示集合的方法叫做列举法. 

    归纳总结

    1.用列举法表示集合时,一般不必考虑元素间的前后顺序,如{a,b}与{b,a}表示同一个集合.

    2.元素与元素之间必须用“,”隔开.

    3.集合中的元素不能重复.

    4.列举法表示集合的几种情形:

    (1)元素个数少且有限时,全部列举,如{1,2,3,4,5};

    (2)元素个数多且有限时,可以列举部分,中间用省略号表示,如“从1到1 000的所有自然数”可以表示为{1,2,3,…,1 000};

    (3)元素个数无限但有规律时,也可以类似地用省略号列举,如自然数集N可以表示为{0,1,2,3,…}.

    【做一做1-1】 用列举法表示不超过10的非负偶数集为     . 

    答案:$\{0,2,4,6,8,10\}$

    【做一做1-2】 方程$x^{2}-2016 x-2017=0$的解组成的集合为     . 

    解析:因为$x^{2}-2016 x-2017=(x+1)(x-2017)=0$,

    所以x=-1或x=2 017.

    所以方程$x^{2}-2016 x-2017=0$的解组成的集合为$\{-1,2017\}$.

    答案:$\{-1,2017\}$

  • 2.描述法

    一般地,如果在集合I中,属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x),而不属于集合A的元素都不具有性质p(x),则性质p(x)叫做集合A的一个特征性质.于是,集合A可以用它的特征性质p(x)描述为$\{x \in I | p(x)\}$,它表示集合A是由集合I中具有性质p(x)的所有元素构成的.这种表示集合的方法,叫做特征性质描述法,简称描述法.

    知识拓展

    1.使用描述法表示集合时要注意以下六点:

    (1)写清元素符号;(2)说明该集合中元素的性质;(3)不能出现未被说明的字母;(4)多层描述时,应当准确使用“且”“或”;(5)所有描述的内容都要写在集合符号内;(6)用于描述的语句力求简明、准确.

    2.将描述法转化为列举法时,首先确定集合是由哪些元素构成的,然后将所有元素写在花括号内;将列举法转化为描述法时,首先要明确集合中元素的公共属性,即弄清集合的代表元素是什么,元素满足什么条件,再写出集合.

    【做一做2-1】 集合$\{(x, y) | y=2 x-1\}$表示(  )

    A.方程y=2x-1

    B.点(x,y)

    C.平面直角坐标系中的所有点组成的集合

    D.函数y=2x-1的图象上的所有点组成的集合

    答案:D

    【做一做2-2】 已知集合$A=\{0,1,2,3,4\}$,用描述法表示该集合为_______.(答案不唯一,写一个即可) 

    答案:$\{x \in \mathbf{N} | x \leqslant 4\}$

重难点
  • 一、正确理解集合的描述法

    1.用描述法表示集合时,要明确集合的代表元素

    剖析:描述法是将所给集合中全部元素的共同特征性质用文字或符号语言描述出来的方法,它反映了集合元素的特征.在分析有关集合的问题时,一定要分清集合中的代表元素,从而确定集合的本质.

    例如,给出集合$A=\{x | 2 x-4=0\}, B=\{x | 2 x-4>0\}$,$C=\{x | y=2 x-4\}, D=\{y | y=2 x-4\}, \\ E=\{(x, y) | y=2 x-4\}$
    ,它们之间有何关系?每个集合中的元素是什么?其本质又是什么?

    对于集合A,其代表元素是x,该集合是由满足方程$2 x-4=0$的x构成的集合,即方程$2 x-4=0$的解的集合,而方程$2 x-4=0$只有一个解x=2,因此$A=\{x | 2 x-4=0\}=\{2\}$.


    对于集合B,其代表元素是x,该集合是由满足不等式2x-4>0的x构成的集合,即不等式2x-4>0的解集,而2x-4>0的解为x>2,因此B={x|2x-4>0}={x|x>2}.

    对于集合C,其代表元素是x,该集合是由满足y=2x-4的x构成的集合,即函数y=2x-4中变量x的取值构成的集合,而函数y=2x-4中,x可取任意实数,因此C={x|y=2x-4}=R.

    对于集合D,其代表元素是y,该集合是由满足y=2x-4的y构成的集合,即函数y=2x-4中变量y的取值构成的集合,显然y也可以取全体实数,因此D={y|y=2x-4}=R.

    对于集合E,其代表元素是(x,y),是数对的形式,即点的坐标的形式,因此该集合表示的是函数y=2x-4的图象上所有点的集合.

    从以上分析可以看出,对于用描述法表示的集合,要抓住其元素进行分析,明确集合的本质,确定集合中的元素.


    2.分析用描述法表示的集合时,要以“特征性质”为核心

    剖析:首先用描述法表示集合时,竖线左边的字母仅仅是集合中元素的代表,可以用不同的字母来表示.例如,集合{x|x>1}与集合{y|y>1},虽然两个集合中表示元素的字母不同,但它们均表示大于1的实数构成的集合,是同一个集合;其次,表示同一个集合时,可以用不同的特征性质来描述.例如,所有奇数构成的集合,可以写作$\{x | x=2 k+1, k \in \mathbf{Z}\}$,也可以写作$\{x | x=2 k-1, k \in \mathbf{Z}\}$等.

    3.描述法的简化

    剖析:在不引起混淆的情况下,为了简便,用描述法表示某些集合时,可以省去竖线及竖线左边表示元素的符号.例如,所有奇数组成的集合,可以表示为{奇数},{ }本身就有“全部”“所有”的意思,不要写成{所有奇数}或{x|x是所有奇数}等错误形式.

  • 二、教材中的“思考与讨论”

    1.哪些性质可作为集合{-1,1}的特征性质?

    剖析:集合{-1,1}是只含有元素-1和1的集合,因此,能表示出元素-1,1的方程、式子等都可以作为它的特征性质.例如,$x^{2}=1$或|x|=1或(x+1)?(x-1)=0等,本题也说明了表达同一个集合的特征性质并不是唯一的.

    2.平行四边形的哪些性质,可用来描述所有平行四边形构成的集合?

    剖析:在初中,我们学习了平行四边形的判定定理,即平行四边形所具有的特征性质:有两组对边分别平行的四边形是平行四边形;有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形等.因此,平行四边形ABCD的特征性质可以写成:AB∥CD,且AD∥BC,或AB CD等.

例题解析
  • 题型一、用列举法表示集合

    【例1】 用列举法表示下列集合:

    (1){自然数中五个最小的完全平方数};

    (2)$\left\{x |(x-1)^{2}(x-2)=0\right\}$;

    (3)不小于30的奇数组成的集合;

    (4)2016年第15届欧洲杯足球赛的主办国家组成的集合;

    (5)$\left\{(x, y) | \left\{\begin{array}{l}{2 x+y=8} \\ {x-y=1}\end{array}\right\}\right.$

    【变式训练1】 用列举法表示下列集合:

    (1)由方程$x^{2}=36$的解构成的集合;

    (2)由1~30中所有的质数构成的集合;

    (3)100以内的正偶数构成的集合;

    (4)一年中有30天的月份构成的集合.

  • 题型二、用描述法表示集合

    【例2】 用描述法表示下列集合:

    (1)所有不小于2且不大于30的实数的集合;

    (2)被5除余3的正整数的全体;

    (3)使 $\frac{x-1}{x^{2}-3 x+2}$ 有意义的实数x的集合;

    (4)平面直角坐标系内,两坐标轴上的点集;

    (5)全体锐角三角形构成的集合.

    【变式训练2】 用描述法表示下列集合:

    (1)不等式3x+5≤0的解集;

    (2)平面直角坐标系内,第四象限内点的集合;

    (3)能被4整除的自然数构成的集合;

    (4)全体正方形构成的集合.

  • 题型三、列举法和描述法的灵活运用

    【例3】 选择适当的方法表示下列集合:

    (1)$x^{2}-1$的一次因式构成的集合;

    (2)“Welcome to Beijing”中的所有字母构成的集合;

    (3)平面直角坐标系内第一、三象限角平分线上的点的集合;

    (4)以A为圆心,r为半径的圆上的所有点构成的集合.

    反思

    用列举法与描述法表示集合时,一要明确集合中的元素;二要明确元素所满足的特征性质;三要根据元素个数来选择恰当的方法表示集合.

    【变式训练3】 用另外一种方法表示下列集合:

    (1)$A=\left\{x \in \mathrm{Z} | \frac{6}{3-x} \in \mathrm{Z}\right\}$;

    (2)$B=\left\{y | y=-x^{2}+9, x \in \mathbf{Z}_{2}, y \in \mathbf{Z}, y>0\right\}$;

    (3)$C=\{3,6,9,12,15,18\}$.

  • 题型四、易错辨析

    易错点:对集合的特征性质理解不深致错

    【例4】 已知集合$M=\{x | x=2 a, a \in \mathbf{Z}\}, \\ N=\{x | x=2 a+1, a \in \mathbf{Z}\}, \\ P=\{x | x=4 a+1, a \in \mathbf{Z}\}$.若$m \in M, n \in N$,则有(  )

    A.$m+n \in M$

    B.$m+n \in N$

    C.$m+n \in P$

    D.$m+n$不属于M,N,P中的任意一个

    【变式训练4】 若集合$A=\{y | y=x+1, x \in \mathbf{R}\}, \\ B=\left\{y | y=x^{2}+1, x \in \mathbf{R}\right\}$,则由集合A与B的公共元素组成的集合为________.

  • 真题

    1下列集合的表示方法正确的是(  )

    A.{1,2,2}

    B.{全体实数}

    C.{有理数}

    D.不等式$x^{2}-5>0$的解集为$\left\{x^{2}-5>0\right\}$

    2方程组$\left\{\begin{array}{l}{x+y=1} \\ {x-y=9}\end{array}\right.$的解集是(  )

    A.(5,4)

    B.{5,-4}

    C.{(-5,4)}

    D.{(5,-4)}

    3下列关系式中,正确的是(  )

    A.$\{2,3\} \neq\{3,2\}$

    B.$\{(a, b)\}=\{(b, a)\}$

    C.$\left\{x | y=x^{2}+x+1\right\}=\{y | y=x-3\}$

    D.$\left\{y | v=x^{2}+1\right\}=\{x | y=x+1\}$

    4用列举法表示集合$A=\left\{y | y=x^{2}-1,-2 \leqslant x \leqslant 2\right.$,且$x \in \mathbf{Z}$}是________. 

    5已知集合$M=\{x | 3 x+a \geqslant 0, x \in \mathbf{R}\}$,若1∈M,则实数a的取值范围是_______. 

    6用描述法表示下列集合:

    (1)大于2的整数a构成的集合;

    (2)两条直线$l_{1} : y=k_{1} x+b_{1}, l_{2} : y=k_{2} x+b_{2}$的交点构成的集合;

    (3)$\left\{1^{2}, 2^{2}, 3^{2}, 4^{2}, \ldots\right\}$.

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