1.2.2.1 交集与并集

时间:2019-9-9 19:05:03   作者:数学名师王老师
1.理解两个集合的交集与并集的概念,明确数学中的“且”“或”的含义,会求两个简单集合的交集与并集.
2.能使用Venn图表示集合之间的运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用.
3.理解集合的交集、并集运算的性质,并能简单应用.
知识点
  • 1.交集与并集的概念

    知识点

    自然语言描述

    符号语言表示

    Venn图表示

    交集

    一般地,对于两个给定的集合A,B,由属于A又属于B的所有元素构成的集合

    $A \cap B= \\ \{x | x \in A$
    ,$x \in B \}$

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    并集

    一般地,对于两个给定的集合A,B,由两个集合的所有元素构成的集合

    $A \cup B= \\ \{x | x \in A$
    $x \in B \}$

    1558500144939633.png


    名师点拨

    1.在求集合的并集时,同时属于A和B的公共元素,在并集中只出现一次.

    2.对于“A∩B={x|x∈A,且x∈B}”,不能仅认为A∩B中的任一元素都是A与B的公共元素,同时还有A与B的公共元素都属于A∩B的含义,这就是定义中“所有”二字的含义,而不是“部分”公共元素.

    3.不能认为集合A∪B中元素的个数等于集合A与B的元素个数之和.并集作为一个集合,其元素也应满足互异性,A与B中相同的元素只能算作一个.因此A∪B中元素的个数可能等于集合A与B的元素个数之和,也可能少于集合A与B的元素个数之和.

    【做一做1-1】 若集合P={-1,0,1},Q={-2,4},则P∩Q等于(  )

    A.?  B.{-2,-1,0,1,4}

    C.{4}  D.{0,1}

    解析:因为集合P和Q没有公共元素,所以集合P与Q的交集为?.

    答案:A

    【做一做1-2】 若集合A={0,1,2,3},B={1,2,4},则集合A∪B等于(  )

    A.{0,1,2,3,4}  B.{1,2,3,4}

    C.{1,2}  D.{0}

    答案:A

    【做一做1-3】 若M={x|x>2},N={x|x < 5},则M∩N=________,M∪N=________. 

    1558500465305663.png

    答案:{x|2 < x < 5} R

  • 2.交集与并集的运算性质

    交集的运算性质

    并集的运算性质

    $A \cap B=B \cap A$

    $A \cup B=B \cup A$

    $A \cap A=A$

    $A \cup A=A$

    $A \cap \varnothing=\varnothing \cap A=\varnothing$

    $A \cup \varnothing=\varnothing \cup A=A$

    $A \subseteq B \Leftrightarrow A \cap B=A$

    $A \subseteq B \Leftrightarrow A \cup B=B$

    【做一做2-1】 若集合A,B均为非空集合,且满足A∪B=A∩B,则必有(  )

    A.A?B B.B?A

    C.A=B D.以上都错

    解析:由交集、并集的定义可知当A∪B=A∩B时,必有A=B.

    答案:C

    【做一做2-2】 设集合A={7,a},B={-1},若A∩B=B,则a=   . 

    解析:由A∩B=B,知B?A.因为-1∈B,所以-1∈A.

    又因为A={7,a},所以a=-1.

    答案:-1

重难点
  • 一、集合运算中与生活用语中的“且”与“或”的区别和联系

    剖析:(1)集合运算中的“且”与生活用语中的“且”的含义相同,均表示“同时”的含义,即“x∈A,且x∈B”表示元素x属于集合A同时属于集合B.(2)集合运算中的“或”与生活用语中的“或”的含义不同,生活用语中的“或”是指“或此”与“或彼”,只取其中之一,并不兼存;而集合运算中的“或”是指“或此”与“或彼”与“或此彼”,可兼有.例如,“x∈A,或x∈B”包含三种情况:①x∈A,但x?B;②x∈B,但x?A;③x∈A,且x∈B.而生活中:“小张或小李去办公室把作业本搬来”是指:“小张去”或“小李去”,仅其中一个人去.

  • 二、教材中的“思考与讨论”

    1.两个非空集合的交集可能是空集吗?举例说明.

    剖析:可能.当A与B都非空但无公共元素时,A∩B=?.一般地,若A∩B=?,则A,B这两个集合可能至少有一个为空集,也可能这两个集合都是非空集合.如,A={1,3,5,7,9},B={2,4,6,8,10}.

    2.如何用集合语言表示平面内的两条直线平行或重合?

    剖析:根据交集的定义与平面内两条直线的位置关系的定义,可以用集合语言表示平面内两条直线的平行或重合.若$l_{1} \cap l_{2}=\varnothing$,则$l_{1}$与$l_{2}$平行;若$l_{1} \cap l_{2}=l_{1}\left(l_{2}\right)$,则$l_{1}$与$l_{2}$重合.

例题解析
  • 题型一、两个集合的交集运算

    【例1】 求下列各对集合的交集:

    (1)$A=\{-1,0,1,2,3\}, B=\{-2,0,1,3,5\}$;

    (2)$C=\{x | x \leqslant 6\}, D=\{x | 4 < x \leqslant 9\}$;

    (3)E={x|x是锐角三角形},F={x|x是直角三角形};

    (4)$P=\{(x, y) | 2 x+y=5\}, \\ Q=\{(x, y) | x-y=1\}$

  • 题型二、两个集合的并集运算

    【例2】 求下列各对集合的并集:

    (1)$A=\left\{x | x^{2}-5 x+4=0\right\}, \\ B=\{x \in \mathbf{N} | 0 < x < 5\}$

    (2)$C=\{x |-4 < x < 8\}, D=\{x |-5 \leq x \leqslant 6\}$;

    (3)E={菱形},F={正方形}.

    反思

    求两个集合的并集时,若用描述法给出集合,则要明确集合中的元素,直接观察写出并集,也可以借助于数轴写出并集;若用列举法给出集合,则依据并集的含义,可直接观察或借助维恩(Venn)图写出并集.

    【变式训练2】 求下列各对集合的并集:

    (1)$A=\{-1,0,1,2\}, B=\{0,2,4,5,6\}$;

    (2)$C=\{x |-3 < x \leqslant 5\}, D=\{x | 2 < x \leqslant 6\}$;

    (3)E={x|x是矩形},F={x|x是正方形}.

  • 题型三、交集、并集运算的简单应用

    【例3】 设集合$A=\left\{-4,2 a-1, a^{2}\right\}, B=\{9, a-5,1-a\}$.已知$A \cap B=\{9\}$,求实数a的值以及$A \cup B$.

    反思

    已知两个集合的交集或并集,求集合中的参数值时,主要依据交集或并集的定义,由交集或并集中的元素入手,通过分类讨论进行求解.但必须要对得到的参数值进行检验,除了按照集合元素的互异性检验,还要按照已知条件中交集的结果进行检验.

    【变式训练3】 若集合$A=\left\{-4,2 a-1, a^{2}\right\}, B=\{9, a-5,1-a\}$,试问:是否存在实数$a$,使得$A \cap B=\{-4\}$?若存在,求出$a$的值;若不存在,说明理由.

  • 题型四、交集、并集运算性质的应用

    【例4】 设集合$A=\left\{x | x^{2}+4 x=0\right\}, \\ B=\left\{x | x^{2}+2(a+1) x+a^{2}-1=0\right\}$.

    (1)若$A \cap B=B$,求实数a的取值范围;

    (2)若$A \cup B=B$,求实数a的值.

    反思

    1.在利用集合的交集、并集性质解题时,常常会遇到$A \cup B=B, A \cap B=A$等这类条件,解答时常借助$A \cup B=B \Leftrightarrow A \subseteq B, A \cap B=A \Leftrightarrow A \subseteq B$进行转化求解;

    2.当集合A,B满足A?B时,如果集合B是一个确定的集合,而集合A不确定时,要考虑$A=\varnothing$和$A \neq \varnothing$两种情况,切不可漏解;

    3.求解与一元二次方程的解集有关的集合问题时,要注意充分利用根的判别式、根与系数的关系等进行分析求解.

    【变式训练4】 已知集合$A=\{1\}$,集合$B=\left\{x | a x^{2}-x+2=0\right\}$,若$A \cap B=\varnothing$,求实数a的取值范围.

  • 题型五、易错辨析

    易错点:忽视分类讨论致错

    【例5】 设集合$A=\left\{x \in \mathbf{R} | x^{2}+2 x+2-p=0\right\}, \\  B=\{x | x>0\}$,且$A \cap B=\varnothing$,求实数p满足的条件.

    反思

    当A∩B=?时,有以下4种情况:①A=?,B=?;②A≠?,B=?;③A=?,B≠?;④A≠?,B≠?,且A与B没有公共元素.如果已知条件出现A∩B=?,那么这4种情况都要考虑到,否则容易出错.

  • 真题

    1若集合A={x|-2 < x < 1},B={x|0 < x≤4},则A∩B等于(  )

    A.{x|-2 < x≤4}  B.{x|0 < x < 1}

    C.{x|1 < x≤4}  D.{x|-2 < x < 0}

    2已知集合$M=\left\{x \in \mathbf{N}_{+} | x < 8\right\}, N=\{-1,4,5,7\}$,则M∪N等于(  )

    A.{4,5,7}

    B.{1,2,3,4,5,6,7}

    C.{1,2,3,4,5,6,7,-1,4,5,7}

    D.{-1,1,2,3,4,5,6,7}

    3若集合A,B,C满足A∩B=A,B∪C=C,则A与C之间的关系必定是(  )

    A.A?C    B.C?A    C.A?C  D.C?A

    4已知集合$A=\left\{x | x^{2}+x-2=0\right\}, B=\{x | a x=1\}$,若A∩B=B,则a等于(  )

    A.$-\frac{1}{2}$ 或1

    B.2或-1

    C.-2或1或0

    D.$-\frac{1}{2}$ 或1或0

    5已知集合$A=\{x | x-a>0\}, B=\{x | 2-x < 0\}$,且$A \cup B=B$,则实数a满足的条件是_______. 

    6已知集合$M=\left\{-3, m^{2}, m+1\right\}, \\ N=\left\{m-3,2 m-1, m^{2}+1\right\}$
    ,若$M \cap N=\{-3\}$,求实数m的值.

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