1.2.2.2 补集

时间:2019-9-9 19:05:03   作者:数学名师王老师
1.在具体情境中,了解全集的含义.
2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.
3.重视补集思想在解题中的应用.
知识点
  • 1.全集与补集

    如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集,那么称这个给定的集合为全集,通常用U表示.

    如果给定集合A是全集U的一个子集,由U中不属于A的所有元素构成的集合,叫做A在U中的补集,记作$C_{U} A$,读作“A在U中的补集”.

    归纳总结

    1.补集的符号语言为:$C_{U} A=\{x | x \in U$,且$x \notin A \}$;

    1558506899664152.png

    2.补集的维恩(Venn)图表示如图所示;

    3.全集具有相对性,即研究某个问题时的全集可能在研究另一个问题时就不是全集.补集是相对于全集而言的,由于全集具有相对性,那么补集也具有相对性,在不同的全集下,一个集合的补集可能不相同.

    4.设U是全集,A是U的一个子集,那么对于U中的任何一个元素x,要么$x \in A$,要么$x \in \mathrm{C}_{U} A$.

    【做一做1-1】 若集合U={1,2,3,4,5},A={2,4,5},则$C_{U} A$等于(  )

    A.{2,4,5}  B.{1,3}

    C.{1,2,3}  D.{1,2,3,4,5}

    答案:B

    【做一做1-2】 已知全集U=R,若集合M={x|-1≤x≤3},则$C_{U} M$等于(  )

    A.{x|-1 < x < 3} 

    B.{x|-1≤x≤3}

    C.{x|x<-1或x>3} 

    D.{x|x≤-1或x≥3}

  • 2.补集的性质

    对于任意集合A,有

    $A \cup C_{U} A=\underline{U}, A \cap C_{U} A=\underline{\varnothing}, C_{U}\left(C_{U} A\right)=\underline{A}, \\ C_{U} U=\underline{\varnothing}, C_{U} \varnothing=\underline{U}$.

    【做一做2-1】 已知全集$U=\{x \in \mathbf{Z} |-2017 < x < 2017\}, A=\{0\}$,则$C_{U}\left(C_{U} A\right)=$_________. 

    解析:根据补集的性质$C_{U}\left(C_{U} A\right)=A$,可知$C_{U}\left(C_{U} A\right)=\{0\}$.

    答案:{0}

    【做一做2-2】 有下列叙述:

    ①$C_{U} A=\{x | x \notin A\}$;

    ②$C_{U} \varnothing=U$;

    ③$A \cup C_{U} A=\varnothing$;

    ④若$U=\{1,2,3\}, A=\{2,3,4\}$,则$C_{U} A=\{1\}$.

    其中正确的序号是________. 

    解析:①应为$C_{U} A=\{x | x \in U$,且$x \notin A \}$;

    ②正确;

    ③应为$A \cup C_{U} A=U$;

    ④因为$A \nsubseteq U$,所以$C_{U} A$无意义.

重难点
  • 一、子集A在全集U中的补集的求法

    剖析:从全集U中去掉所有属于A的元素,剩下的元素组成的集合即为A在U中的补集.例如,已知U={a,b,c,d,e,f},A={b,f},求$\mathrm{C}_{U} A$.该题中显然A?U,从U中除去子集A的元素b,f,剩下的元素a,c,d,e组成的集合为$\mathrm{C}_{U} A$,即$\mathrm{C}_{U} A$={a,c,d,e}.另外,若所给集合是无限集,在实数范围内求其补集,我们可以充分利用数轴的直观性来求解.例如,已知U=R,A={x|x>3},求$\mathrm{C}_{U} A$.用数轴表示可知$\mathrm{C}_{U} A$={x|x≤3},如图中阴影部分.

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    在求补集时,还要特别注意看A是否满足A?U,再者需看清楚全集的范围.例如,若U={x|x>0},A={x|x>3},则$\mathrm{C}_{U} A$={x|0 < x≤3}.

  • 二、用维恩(Venn)图来解释$C_{U}(A \cap B)=C_{U} A \cup C_{U} B$与?U(A∪B)=?UA∩?UB

    剖析:(1)用维恩(Venn)图表示$\mathrm{C}_{U}(A \cup B)=C_{U} A \cap C_{U} B$:

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    (2)用维恩(Venn)图表示$C_{U}(A \cup B)=C_{U} A \cap C_{U} B$:

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    归纳总结

    借助维恩(Venn)图分析集合的运算问题,能使问题简捷地得以解决,能将本来抽象的集合问题直观形象地表现出来,这正体现了数形结合思想的优越性.

例题解析
  • 题型一、集合的补集运算

    【例1】 (1)已知全集U={三角形},集合A={直角三角形},求$C_{U} A$;

    (2)已知全集$U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$,集合$A=\{2,4,5\}, B=\{1,4,5\}$,求$\mathrm{C}_{U} A, \mathrm{C}_{U} A \cup \mathrm{C}_{U} B$;

    (3)已知全集U={x|x≤4},集合A={x|-2≤x≤3},B={x|-3≤x≤2},求$A \cap C_{U} B, C_{U} A \cup B, C_{U} A \cup C_{U} B$.

    反思

    利用数轴求无限集合在给定集合中的补集时,务必注意端点的“实”与“虚”,原集合中包含该端点时,在数轴上应画成实心点,此时其补集中就不能含有该端点了.

    【变式训练1】

     (1)已知全集U={整数},集合M={偶数},求$C_{U} M$;

    (2)已知全集U={0,1,2,3,4,5,6},集合A满足$C_{U} A=\{0,1,3,5\}$,求A;

    (3)已知全集U=R,集合$A=\{x | x \geqslant 4\}, B=\{x |-2 < x < 3\}$,求$A \cap C_{U} B, C_{U} A \cup B$.

  • 题型二、补集运算中的含参数问题

    【例2】 设全集$U=\left\{2,3, a^{2}+2 a-3\right\}$,集合$A=\{|a+1|, 2\}, C_{U} A=\{5\}$,求a的值.

    【变式训练2】 已知集合$A=\{x | x>a\}, B=\{x | 1 < x < 5\}$,且$A \cup C_{\mathbf{R}} B=\mathbf{R}$,则实数a的取值范围是_______. 

  • 题型三、补集思想的应用

    【例3】 已知$A=\left\{x | x^{2}-2 x-8=0\right\},\\ B=\left\{x | x^{2}+a x+a^{2}-12=0\right\}$
    .若$B \cup A \neq A$,求实数a的取值范围.

    反思

    对于一些比较复杂、比较抽象、条件和结论之间的关系不明确、难以从正面入手的问题,在解题时,应及时调整思路,从问题的反面入手,探求已知和未知的关系,这样能化难为易,化隐为显,从而解决问题.

    【变式训练3】 已知集合$P=\left\{x | 2 x^{3}-x^{2}+2 a x-3 a \geqslant 0\right\}$,若$-1 \notin P$,则实数a的取值范围是______. 

  • 题型四、易错辨析

    易错点:补集求解方法不当致误

    【例4】 已知全集U=R,集合$A=\left\{x | \frac{1}{x-1}<0\right\}$,$B=\{x|x>a\}$,求实数a的取值范围.

    反思

    求某一集合的补集,首先应明确这一集合,最好不要急于对集合中的方程、不等式等进行对立面的转化,这样易出现转化不等价的情况,再就是要充分利用维恩(Venn)图或数轴表示集合来解决问题.

    【变式训练4】 已知全集为R,集合$A=\{x | \sqrt{x-2} < 1, x \in \mathbf{R}\}, \\ B=\{x | x < m, x \in \mathbf{R}\}$
    ,若$B \subseteq \mathrm{C}_{\mathrm{R}} A$,则$m$的取值范围是______. 

  • 真题

    1若集合$U=\{1,2,3,4,5\}, A=\{1,2\}, B=\{2,3,4\}$,则$C_{U}(A \cup B)$等于(  )

    A.{2}  B.{5}

    C.{1,2,3,4}  D.{1,3,4,5}

    2已知集合$A=\{x \in \mathbf{R} |-2 < x < 6\}, \\ B=\{x \in \mathbf{R} | x < 2\}$
    ,则$A \cup C_{\mathbf{R}} B$等于(  )

    A.{x|x < 6}  B.{x|-2 < x < 2}

    C.{x|x>-2}  D.{x|2≤x < 6}

    3若集合A,B都是全集U的子集,给出下列命题:

    ①若A∩B=U,则A=B=U;

    ②若A∪B=?,则A=B=?;

    ③若A∪B=U,则$C_{U} A \cap C_{U} B=\varnothing$;

    ④若A∩B=?,则A=B=?;

    ⑤若A∩B=?,则$C_{U} A \cup C_{U} B=U$;

    ⑥若A∪B=U,则A=B=U.

    其中不正确命题的个数是(  )

    A.0  B.2  C.4  D.6

    4若集合$M=\{(x, y) | 2 x+3 y>5 a\}$,且$(-1,2) \notin M$,则实数$a$的取值范围是_______. 

    5设全集为U,用集合A,B的交集、并集、补集符号表示图中的阴影部分.

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    6已知全集$U=\left\{2,0,3-a^{2}\right\}$,U的子集$P=\left\{2, a^{2}-a-2\right\}, C_{U} P=\{-1\}$,求实数a的值.

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