3.2.3. 指数函数与对数函数的关系

时间:2019-9-9 19:05:05   作者:数学名师王老师
1.了解反函数的概念,知道指数函数和对数函数互为反函数,弄清它们图象间的对称关系.2.利用计算工具,比较指数函数、对数函数增长的差异.3.能综合利用指数函数、对数函数的性质与图象解决一些问题.
知识点
  • 反函数

    当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量,而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量,我们称这两个函数互为反函数.

    一般地,如果函数$y=f(x)$存在反函数,那么它的反函数记作$y=f^{1}(x)$,反函数也是函数,它具有函数的一切特性.反函数是相对于原函数而言的,函数与它的反函数互为反函数.

    指数函数$y=a^{x}(a>0$,且$a \neq 1)$和对数函数$y=\log _{a} x(a>0$,且$a \neq 1 )$互为反函数,它们的定义域与值域相互对换,单调性相同,图象关于直线$y=x$对称.

    名师点拨

    反函数的定义不只局限于函数$y=\log _{a} x(a>0, a \neq 1)$与函数$y=a^{x}(a>0, a \neq 1)$之间,对于其他的函数之间也可能存在互为反函数的关系,特别注意的是一个函数要存在反函数,它必须是一个一一对应的函数.

    【做一做1-1】 函数$f(x)=\left(\frac{2}{3}\right)^{x}$的反函数是________,函数$g(x)=\log _{8} x$的反函数是_________. 

    答案:$f^{1}(x)=\log _{\frac{2}{3}} x \quad g^{-1}(x)=8^{x}$

    【做一做1-2】 函数$f(x)=\log _{3} x$与$g(x)=3^{x}$的图象(  )

    A.关于$x$轴对称  B.关于$y$轴对称

    C.关于直线$y=x$对称  D.关于原点对称

    解析:根据互为反函数的图象特征可知,两函数的图象关于直线$y=x$对称.

    答案:$C$

重难点
  • 一、对反函数定义的理解

    剖析:我们大家已经学习了反函数的描述性定义,为了更好地理解反函数的定义,下面总结以下几点:

    (1)只有一一映射确定的函数才有反函数.例如,一次函数$y=k x+b(k \neq 0)$,反比例函数$y=\frac{k}{x}(k \neq 0)$,指数函数$y=a^{x}(a>0$,且$a \neq 1 )$,对数函数$y=\log _{a} x(a>0$,且$a \neq 1 )$,它们都是一一映射确定的函数,都有反函数;但二次函数$y=a x^{2}+b x+c(a \neq 0)$在整个定义域上没有反函数,因为关于对称轴$x=-\frac{b}{2 a}$对称的两个不同自变量对应同一函数值,它不是一一映射下的函数,所以没有反函数.

    (2)反函数也是函数,它具有函数的一切特性;反函数是相对于原函数而言的,函数与它的反函数互为反函数.

    (3)互为反函数的两个函数的定义域与值域互换,对应法则互逆.

    (4)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称,利用图象间的这一关系,可以简化作图过程,也可借助图象来分析函数的一些性质.

    (5)若函数$f(x)$的图象经过点$(a, b)$,则其反函数的图象必过点$(b, a)$.

  • 二、指数函数、对数函数的图象与性质的区别与联系

    剖析:用表格表示如下:

    名称

    指数函数

    对数函数

    一般形式

    $y=a^{x}(a > 0, a \neq 1)$

    $y=\log _{a} x \\ (a > 0, a \neq 1)$

    定义域

    $(-\infty,+\infty)$

    $(0,+\infty)$

    值域

    $(0,+\infty)$

    $(-\infty,+\infty)$

    图象

    $y=a^{x}$的图象与$y=\log _{a} x$的图象关于直线$y=x$对称

    image.png

    image.png

    单调性

    当$a > 1$时,在$(-\infty,+\infty)$
    上为增函数;当$0  < a < 1$时,
    在$(-\infty,+\infty)$上为减函数

    当$ a > 1$时,在$(0,+\infty)$
    上为增函数;当$0  < a < 1 $时,
    在$(0,+\infty)$上为减函数

    函数值

    的分布

    当$ a > 1$时,若$ x > 0$,
    则$ y > 1$;若$ x = 0,$
    则$ y= 1 $;若$ x < 0, $则$0  <  y < 1$

    当$0  <  a < 1$时,若$ x > 0,$
    则$0  <  y< 1;$若$ x= 0,$
    则$ y= 1;$若 $x < 0$,则$ y > 1$

    当$ a > 1$时,若$ x > 1$,则$  y > 0$;
    若$ x= 1$,则$ y= 0$;
    若$0  < x< 1$,则$ y < 0$

    当$0  < a < 1$时,
    若$ x > 1$,则$ y < 0$;
    若$ x= 1 $,则$ y= 0;$
    若$0 < x < 1,$则$ y > 0$

例题解析
  • 题型一 求函数的反函数 

    【例1】 求下列函数的反函数:

    $(1) y=\left(\frac{1}{3}\right)^{x} ; \quad(2) y=\log _{5} x ; \quad(3) y=\lg (2 x)$.

    分析:深刻理解对数函数与指数函数的关系,是求指数函数(或对数函数)的反函数的前提.

    反思
    求函数的反函数的主要步骤:(1)从$y=f(x)$中解出$x=\varphi(y)$;(2)将$x,y$互换;(3)标明反函数的定义域(即原函数的值域),简记为“一解、二换、三写”.本题主要依据指数函数与对数函数互为反函数来解.

    【变式训练1】 (1)函数$y=\ln x$的反函数是_________; 

    (2)若函数$y=\left(\frac{4}{3}\right)^{x}$ 的反函数是$g(x)$,则$g\left(\frac{3}{4}\right)=$_________; 

    (3)若函数$y=f(x)$的反函数是$y=a^{x}(a>0$,且$a \neq 1 )$,且函数图象经过点$(\sqrt{a}, a)$,则$f(x)=$_________. 

  • 题型二 反函数的综合利用

    【例2】 已知$x_{1}$是方程$x+\lg x=3$的一个根,$x_{2}$是方程$x+10^{x}=3$的一个根,那么$x_{1}+x_{2}$的值是(  )

    A.6  B.3  C.2  D.1

    反思

    本题是关于方程根的问题,如果采用纯代数的方法,从解方程或解方程组的方法入手,将很困难,于是我们可以想到构造函数,利用函数图象,借助数形结合的思想来解决,充分利用互为反函数的图象关于直线$y=x$对称这一特征.

    【变式训练2】 设函数$f(x)=\log _{a}(x+b)(a>0, a \neq 1)$的图象过点$(2,1)$,其反函数的图象过点$(2,8)$,则$a+b=(\quad)$

    A.6  B.5  C.4  D.3

    【例3】 设$a, b, c$均为正数,且$2^{a}=\log _{\frac{1}{2}} a,\left(\frac{1}{2}\right)^{b}=\log _{\frac{1}{2}} b,\left(\frac{1}{2}\right)^{c}=\log 2 c$,则(  )

    A.$a < b < c$  B.$c < b < a$

    C.$c < a < b$  D.$b < a < c$

    【变式训练3】 已知函数$f(x)=3^{x-1}$,则它的反函数$y=f^{1}(x)$的图象大致是(  )

    blob.png

  • 真题

    1.函数$y=\log _{\frac{1}{2}}(x>0)$的反函数是(  )

    $\begin{array}{ll}{\mathrm{A} \cdot y=x^{\frac{1}{2}} x>0} & {\mathrm{B} \cdot y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}, x \in \mathbf{R}} \\ {\mathrm{C} \cdot y=x^{2}, x \in \mathbf{R}} & {\mathrm{D} \cdot y=2^{x}, x \in \mathbf{R}}\end{array}$ 

    2.函数$y=x+2, x \in \mathbf{R}$的反函数为(  )

    $A x=2-y B \cdot x=y-2$

    $C . y=2-x, x \in \mathbf{R} \quad D . y=x-2, x \in \mathbf{R}$

    3.若函数$f(x)=\left(\frac{1}{5}\right)^{x}$ 的反函数是$y=g(x)$,则$g(5)$等于(  )

    $\begin{array}{llll}{\text { A. } \frac{1}{27}} & {\text { B. } 27} & {\text { C. } 1} & {\text { D.1 }}\end{array}$

    4.若函数$f(x)=a^{x}(a>0$,且$a \neq 1$)的反函数的图象过点$(2,-1)$,则$a=$_________. 

    5.若函数$y=\frac{a x}{1+x}$的图象关于直线$y=x$对称,则$a$的值为_________. 

    6.已知函数$f(x)=a^{x}-k(a>0$,且$a \neq 1 )$的图象过点$(1,3)$,其反函数的图象过点$(2,0)$,则$f(x)$的表达式为_________. 

声明:本站部分内容搜集整理自互联网,如果涉及侵犯您的版权,请联系我们举报,并提供相关证据,工作人员会在5个工作日内回复您,一经查实,本站将立刻删除涉嫌侵权内容。

相关推荐

1.2.2.1 平行直线、直线与平面平行

1.通过直观感知、操作确认,归纳出空间中线线平行、线面平行的相关公理、定理及性质. 2.理解空间平行线的传递性,会证明空间等角定理. 3.掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理,并能利用以上定理解决空间中的相关平行性问题.