2.1.3 函数的单调性

时间:2019-9-9 19:05:03   作者:数学名师王老师
1.理解函数的单调性的定义,学会运用单调性的定义来判断或证明函数的单调性.
2.会结合函数单调性的定义和图象,求函数的单调区间.
3.会应用函数单调性求函数的值域(或最值)等问题,并注意体会函数单调性是函数的“局部”性质.
知识点
  • 1.函数单调性的概念

    一般地,设函数$y=f(x)$的定义域为$A$,区间$M \subseteq A$.

    如果取区间M中的任意两个值$x_{1}, x_{2}$,改变量$\Delta x=x_{2}-x_{1}>0$,则当$\Delta y=f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)>0$时,就称函数$y=f(x)$在区间M上是增函数,如图①所示.

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    当$\Delta y=f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right) < 0$时,就称函数$y=f(x)$在区间$M$上是减函数,如图②所示.

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    如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数,就说这个函数在这个区间M上具有单调性(区间M称为单调区间).

    名师点拨

    1.单调性是函数的一个局部性质,即函数的单调性是该函数在其定义域内的某个子区间上的性质,这个区间可以是整个定义域,也可以是定义域的某个非空真子集.

    2.函数单调区间的写法

    (1)如果一个函数有多个单调增(或减)区间,这些增(或减)区间应该用逗号隔开(即“局部”),而不能用并集的符号连接(并完之后就成了“整体”);

    (2)因为函数的单调性反映函数图象的变化趋势,所以在某一点处无法讨论函数的单调性.因此,书写函数的单调区间时,区间端点的开或闭没有严格规定.习惯上,若函数在区间端点处有定义,则写成闭区间,当然写成开区间也可以;若函数在区间端点处没有定义,则必须写成开区间.

    3.函数单调性定义的逆用

    (1)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增,则对于[a,b]上的任意两个值$x_{1}, x_{2}$,当$f\left(x_{1}\right)>f\left(x_{2}\right)$时必有$x_{1}>x_{2}$,当$f\left(x_{1}\right) < f\left(x_{2}\right)$时必有$x_{1} < x_{2}$;

    (2)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递减,则对于[a,b]上的任意两个值$x_{1}, x_{2}$,当$f\left(x_{1}\right)>f\left(x_{2}\right)$时必有$x_{1} < x_{2}$,当$f\left(x_{1}\right) < f\left(x_{2}\right)$时必有$x_{1}>x_{2}$.

    【做一做1-1】 关于函数$y=\frac{2}{x}$的单调性的表述正确的是(  )

    A.在(-∞,0)内是增函数,在(0,+∞)内是减函数

    B.在(-∞,0)∪(0,+∞)内是减函数

    C.在[0,+∞)内是减函数

    D.在(-∞,0)和(0,+∞)内都是减函数

    解析:对于反比例函数$y=\frac{k}{x}(k \neq 0)$,当$k>0$时,在区间(-∞,0)内是减函数,在区间(0,+∞)内也是减函数,这种函数的单调区间只能分开写;当k < 0时,在区间(-∞,0)内是增函数,在区间(0,+∞)内也是增函数.

    答案:D

    【做一做1-2】 函数f(x)在R上是减函数,则有(  )

    A.f(3) < f(5)>f(5)  D.f(3)≥f(5)

    解析:因为函数f(x)在R上是减函数,3 < 5,

    所以f(3)>f(5).

    答案:C

    【做一做1-3】 若函数f(x)的定义域是(-4,4],其图象如图所示,则其单调递增区间是______,单调递减区间是_______. 

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    答案:[-3,1] (-4,-3)和(1,4]

  • 2.判断函数单调性的步骤

    利用定义证明函数f(x)在给定的区间M上的单调性的一般步骤:

    (1)任取$x_{1}, x_{2} \in M$,且$\Delta x=x_{2}-x_{1}>0$;

    (2)作差:$\Delta y=f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)$;

    (3)变形(通常所用的方法有:因式分解、配方、分子有理化、分母有理化、通分等);

    (4)定号(即判断$\Delta y$的正、负);

    (5)下结论(即指出函数$f(x)$在给定的区间M上的单调性).

    【做一做2】 证明函数$f(x)=\frac{2016}{x+1}$ 在(-1,+∞)上是减函数.

    证明:设$x_{1}, x_{2}$是(-1,+∞)内的任意两个不相等的实数,且$x_{1} < x_{2}$,则$ \Delta x = x_{2} - x_{1} > 0 $

    $\Delta y=f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)=\frac{2016}{x_{2}+1}-\frac{2016}{x_{1}+1} \\ =\frac{2016\left(x_{1}-x_{2}\right)}{\left(x_{2}+1\right)\left(x_{1}+1\right)}$

    $\because-1 < x_{1} < x_{2}$

    $\therefore x_{1}+1>0, x_{2}+1>0, x_{1}-x_{2} < 0, \\ \quad \therefore \Delta y < 0$

    $\therefore f(x)=\frac{2016}{x+1}$在(-1,+∞)上是减函数.

重难点
  • 一、正确理解单调性的定义

    剖析:(1)第一关键??“定义域内”.

    研究函数的性质,我们应有这样一个习惯:定义域优先原则.函数的单调性是对定义域内某个子区间而言的,即单调区间是定义域的子集.函数$y=x^{2}$的定义域为R,但函数$y=x^{2}$在区间(-∞,0]上是减函数,在区间[0,+∞)内是增函数.


    (2)第二关键??“某个区间”.

    增函数和减函数都是对相应的区间而言的,离开相应的区间就谈不上函数的单调性.我们不能说一个函数在x=5时递增或递减,因为这时没有一种可比性,没突出变化,所以我们不能脱离区间泛泛谈论某一个函数是增函数或是减函数.

    这里说的区间可以是整个定义域,例如y=2x在整个定义域(-∞,+∞)内是增函数,y=-2x在整个定义域(-∞,+∞)内是减函数;也可以是定义域的真子集,例如$y=x^{2}+1$在定义域(-∞,+∞)内不具有单调性,但在(-∞,0]上是减函数,在[0,+∞)内是增函数;还有一些函数不具有单调性,

    例如函数

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    (3)别忽视“任意”和“都有”.

    在定义中,“任意”两个字很重要,它是指不能通过取特定的值来判断函数的单调性;而“都有”的意思是:只要$x_{1} < x_{2}, f\left(x_{1}\right)$就必须都小于$f\left(x_{2}\right)$,或$f\left(x_{1}\right)$就必须都大于$f\left(x_{2}\right)$.

    对“任意”二字不能忽视,我们可以构造一个反例,在区间[-2,2]上考察函数$y=x^{2}$,如果取两个特定的值$x_{1}=-2, x_{2}=1$,显然$x_{1} < x_{2}$,而$f\left(x_{1}\right)=4,>f\left(x_{2}\right)$,若由此判定$y=x^{2}$在[-2,2]上是减函数,那就错了.


    同样地,理解“都有”,我们也可以举例说明,$y=x^{2}$在[-2,2]上,当$x_{1}=-2, x_{2}=-1$时,有$f\left(x_{1}\right)>f\left(x_{2}\right)$;当$x_{1}=1, x_{2}=2$时,有$f\left(x_{1}\right) < f\left(x_{2}\right)$.从上例我们可以看到对于$x_{1} < x_{2}, f\left(x_{1}\right)$并没始终小于(或者大于)$f\left(x_{2}\right)$,因此就不能说$y=x^{2}$在[-2,2]上是增函数或减函数.

    对函数单调性的定义,为了方便也可改为如果对于属于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值$x_{1}, x_{2}$,当$x_{1} \neq x_{2}$时,

    总有$\frac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{1}-x_{2}}>(<) 0$,那么就说函数$f(x)$在区间D上是增(减)函数.

  • 二、关于函数单调性的判断

    剖析:(1)常见函数的单调性

    ①一次函数y=kx+b,当k>0时,在(-∞,+∞)内是增函数;当k < 0时,在(-∞,+∞)内是减函数;

    ②反比例函数$y=\frac{k}{x}$,当k>0时,在(-∞,0)和(0,+∞)内都是减函数;当k < 0时,在(-∞,0)和(0,+∞)内都是增函数.

    (2)判断函数单调性的常用方法

    ①定义法:根据增函数、减函数的定义,按照“取值??作差??变形??判断符号??下结论”的步骤进行;

    ②图象法:画出函数的图象,根据图象的上升、下降的情况判断函数的单调性.

    (3)关于函数单调性的常用结论

    ①函数$y=-f(x)$与函数$y=f(x)$的单调性相反;

    ②函数$y=f(x)+c$(c为常数)与$y=f(x)$的单调性相同;

    ③函数$y=c f(x)$,当$c>0$时,与$y=f(x)$的单调性相同;当$c < 0$时,与函数$y=f(x)$的单调性相反;

    ④若$f(x)$在区间D上恒为正数或恒为负数,且具有单调性,

    则在区间D上$y=\frac{1}{f(x)}$的单调性与$y=f(x)$相反;

    ⑤若$f(x) \geqslant 0$,则$y=\sqrt{f(x)}$的单调性与$y=f(x)$相同;

    ⑥在公共定义域内,增函数+增函数=增函数,减函数+减函数=减函数,增函数-减函数=增函数,减函数-增函数=减函数.


    (4)复合函数单调性的判断

    对于复合函数y=f(g(x)),如果t=g(x)在(a,b)内单调递增(减),并且y=f(t)在(g(a),g(b))或者(g(b),g(a))内是单调函数,那么y=f(g(x))在(a,b)内的单调性如下表所示,简记为“同增异减”.

    t=g(x)

    y=f(t)

    y=f(g(x))

  • 三、教材中的“探索与研究”

    研究一个函数在某区间上是增函数还是减函数时,你能否根据函数的平均变化率("即比值" $\frac{\Delta y}{\Delta x}$)的符号来判断函数$y=f(x)$在某区间上是增函数还是减函数?比值$\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 的大小与函数值增长的快慢有什么关系?

    剖析:

    (1)用比值 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 的符号可以判断函数$y=f(x)$在某区间上的单调性.

    函数$y=f(x)$在$x_{1}$与$x_{2}$之间的平均变化率记为 $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$.

    ①若 $\frac{\Delta y}{\Delta x}>0$,则有$\left\{\begin{array}{l}{\Delta y>0} \\ {\Delta x>0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{\Delta y < 0} \\ {\Delta x < 0}\end{array}\right.$

    当$\Delta x>0, \Delta y>0$时,符合增函数的定义;

    当$\Delta x < 0, \Delta y < 0$时,说明函数值随自变量的减小而减小,也就是函数值随自变量的增大而增大,同样符合增函数的定义.

    ②若 $\frac{\Delta y}{\Delta x} < 0$,则有$ \left\{\begin{array}{l}{\Delta y < 0} \\ {\Delta x>0}\end{array}\right. $或   $ \left\{\begin{array}{l}{\Delta y > 0} \\ {\Delta x < 0}\end{array}\right. $

    当$ \Delta x > 0, \Delta y < 0 $时,符合减函数的定义;

    当$\Delta x < 0, delta="" y="">0$时,说明函数值随自变量的减小而增大,也就是说函数值随自变量的增大而减小,同样符合减函数的定义.

    综合①②可知,由比值 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 的符号可以判断函数$y=f(x)$在某区间上是增函数还是减函数.若 $\frac{\Delta y}{\Delta x}>0$,则$y=f(x)$在某区间上是增函数;若 $\frac{\Delta y}{\Delta x} < 0$,则$y=f(x)$在某区间上是减函数.


    (2)比值$\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 的大小与函数值增长的快慢有关.

    对于比值 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$,假设$\Delta x$均匀变化.

    ①若 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 大,则$\Delta y$大,即$\Delta y=y_{2}-y_{1}=f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)$大,说明自变量从$x_{1}$变化到$x_{2}$时,对应的函数值$f\left(x_{1}\right)$与$f\left(x_{2}\right)$的差大,也就是函数$y=f(x)$增长得快,如图所示.

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    ②若 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$小,则$\Delta y$小,即$\Delta y=y_{2}-y_{1}=f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)$小,说明自变量从$x_{1}$变化到$x_{2}$时,对应的函数值$f\left(x_{1}\right)$与$f\left(x_{2}\right)$的差小,也就是函数$y=f(x)$增长得慢,如图所示.

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例题解析
  • 题型一、利用单调性的定义判断或证明函数的单调性

    【例1】

     (1)证明函数$f(x)=\frac{3 x}{x+2}$ 在(-2,+∞)上是增函数;

    (2)证明函数$f(x)=-\sqrt{x}$在定义域上是减函数.

    反思

    1.在本例(2)中,有的同学认为由$0 \leqslant x_{1} < x_{2}$即可得$0 \leqslant \sqrt{x_{1}}<\sqrt{x_{2}}$,因为我们没有这样的性质依据.另外,这种证明本身就利用了函数$y=\sqrt{x}$ 的单调性,而$y=\sqrt{x}$的单调性在证明之前不能使用;

    2.在本例(2)的证明中,使用了“分子有理化”这种证明技巧,一定要注意观察这类题目的结构特点;

    3.对$\Delta y$的变形技巧常用的有因式分解、通分、分子或分母有理化、配方法等.

    【变式训练1】 证明函数$f(x)=-x^{2}-4 x+2$在(-∞,-2]上是增函数.

  • 题型二、利用图象求函数的单调区间

    【例2】 (1)画出函数$f(x)=2-|x-1|$的图象,并根据图象求出函数的单调区间;

    (2)已知$x \in \mathbf{R}$,函数$f(x)=x|x-2|$,试画出$y=f(x)$的图象,并结合图象写出函数的单调区间.

    反思

    画出函数的图象得到单调区间是常用的一种方法,但一定要注意画图的准确性及端点处的处理.若函数的定义域内不含端点,则要写成开区间;若端点在其定义域内,则最好加上区间端点,写成闭区间.

    【变式训练2】 求下列函数的单调区间:

    (1)$f(x)=|3 x-1|$;

    (2)$f(x)=-x^{2}+2|x|+3$.

  • 题型三、函数单调性的应用

    【例3】 (1)已知函数$f(x)$在(-∞,0)内是减函数,试比较$f\left(-a^{2}+4 a-6\right)$与$f(-2)$的大小;

    (2)若函数$f(x)$在$R$上是增函数,且$f(3 x-1) < f(4-2 x)$,试求实数$x$的取值范围.

    反思

    1.根据函数的单调性可以比较函数值的大小,这时首先应明确函数的单调性及单调区间,然后分析欲比较大小的函数值相对应的自变量的所属区间及其大小关系,最后根据单调性确定函数值的大小;

    2.由函数值的大小关系可以确定变量的取值范围,这时解题的关键是根据函数的单调性,将函数值的大小关系转换为相应自变量的大小关系,从而建立不等式求出参数的取值范围,但务必注意函数定义域对参数取值的限制,不可忽视定义域.

    【变式训练3】

     (1)若$f(x)$是$R$上的增函数,且$f(x-1)>f(2)$,则$x$的取值范围是________; 

    (2)若$y=f(x)$在[0,+∞)上是减函数,则$f\left(\frac{3}{4}\right)$与$f\left(a^{2}-a+1\right)$的大小关系为________; 

  • 题型四、易错辨析

    易错点1:忽视函数的定义域致错

    【例4】 已知$g(x)$是定义在$[-2,2]$上的增函数,且$g(t)>g(1-3 t)$,求$t$的取值范围.

    反思

    关于抽象函数单调性问题,要注意自变量的取值范围以及自变量是否在函数的单调区间内.若在同一单调区间内,则直接转化;若不在同一单调区间内,则需要讨论或化归到函数的同一单调区间内再求解.

    【变式训练4】 若将[例4]中的条件改为“$g(x)$是定义在[0,2]上的减函数”,再求t的取值范围.

    易错点2:混淆“函数在I上单调”与“函数的单调区间是I”的区别致错

    【例5】若函数$y=|x-a|$在区间$(-\infty, 4]$上是减函数,则实数$a$的取值范围是______. 

    【变式训练5】 若函数$f(x)=4 x^{2}+b x-1$的单调递减区间是(-∞,-1],则b=________. 

  • 真题

    1若$f(x)=(2-a) x+1$在$R$上是增函数,则实数a的取值范围是(  )

    A.a < 2  B.a≤2

    C.a>2  D.a≥2

    2已知$f(x)$为R上的减函数,则满足$f(-4 x+5)>f(1)$的实数$x$的取值范围是(  )

    A.(-∞,1)  B.(1,+∞)

    C.(-∞,-1)  D.(-1,+∞)

    3设$(a, b),(c, d)$都是函数$f(x)$的递增区间,且$x_{1} \in(a, b), x_{2} \in(c, d), x_{1} < x_{2}$,则$f\left(x_{1}\right)$与$f\left(x_{2}\right)$的大小关系是(  )

    A.$f\left(x_{1}\right) < f\left(x_{2}\right)$

    B.$f\left(x_{1}\right)>f\left(x_{2}\right)$

    C.$f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)$

    D.不能确定

    4已知函数$f(x)=a x^{2}-x+a+1$在(-∞,2)上单调递减,则a的取值范围是(  )

    A. $\left(0, \frac{1}{4}\right]$                       B.$\left[0, \frac{1}{4}\right]$

    C.[2,+∞)             D.[0,4]

    5已知函数$y=f(x)$的图象如图所示,则函数的单调递减区间为________.

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    6已知函数$f(x)=\sqrt{x+1}$,

    (1)求函数$f(x)$的定义域;

    (2)求证:函数$f(x)$在定义域上是增函数;

    (3)求函数$f(x)$的最小值.

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