2.1.2 函数的表示方法

时间:2019-9-9 19:05:03   作者:数学名师王老师
1.会选择恰当的方法表示函数,并注意体会三种表示方法的区别与联系.
2.掌握求函数解析式的一般方法.
3.了解简单的分段函数,并能简单应用.
知识点
  • 1.函数的表示方法

    表示方法

    定义

    举例

    列表法

    通过列出自变量对应函数值的表来表示函数关系的方法叫做列表法

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    图象法

    用"图形"表示函数的方法叫做图象法

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    解析法

    (公式法)

    如果在函数$y=f(x)(x \in A)$中,f(x)是用代数式(或解析式)来表达的,则这种表示函数的方法叫做解析法(也称为公式法)

    $y=5 x, \\ x \in\{1,2,3,4,5\}$

    归纳总结

    函数的三种表示方法的优缺点如下表:

    表示方法

    优点

    缺点

    列表法

    不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值

    只能表示自变量可以一一列出的函数关系

    图象法

    能形象直观地表示出函数的变化情况

    只能近似地求出自变量的值所对应的函数值,而且有时误差较大

    解析法

    一是简明、全面地概括了变量间的关系,从"数"的方面揭示了函数关系;二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值

    不够形象、直观、具体,而且并不是所有的函数都能用解析法表示出来

    【做一做1-1】 如图所示,可表示函数y=f(x)的图象的只可能是(  )

    1558515327514116.png

    解析:借助函数的定义可知,函数的图象应保证任意一个x都有唯一的y与之对应,故选D.

    答案:D

    【做一做1-2】 某教师将其一周中每天的课时数列表如下:

    x/星期

    1

    2

    3

    4

    5

    y/

    2

    4

    5

    3

    1

    在这个函数中,定义域为_______,值域为_______. 

    答案:{1,2,3,4,5} {1,2,3,4,5}

  • 2.用集合语言对函数的图象进行描述

    对于函数$y=f(x)(x \in A)$定义域内的每一个x值,都有唯一的y值与它对应.把这两个对应的数构成的有序实数对(x,y)作为点P的坐标,即P(x,y),则所有这些点的集合F叫做函数y=f(x)的图象,即$F=\{P(x, y) | y=f(x), x \in A\}$.

    这就是说,如果F是函数y=f(x)的图象,则图象上的任一点的坐标(x,y)都满足函数关系y=f(x);反之,满足函数关系y=f(x)的点(x,y)都在图象F上.

    【做一做2】 作出函数$y=\frac{1}{x}(x>0)$的图象.

    解:此图象是反比例函数$y=\frac{1}{x}$,可按列表、描点、连线的步骤完成.图象如图所示.

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  • 3.分段函数

    在函数的定义域内,对于自变量x的不同取值区间,有着不同的对应法则,这样的函数通常叫做分段函数.

    【做一做3-1】 函数$f(x)=\left\{\begin{array}{l}{x-1, x>0} \\ {0, x=0} \\ {x+1, x < 0}\end{array}\right.$则$f\left(f\left(\frac{1}{2}\right)\right)$的值是(  )

    A.$\frac{1}{2}$     B.$-\frac{1}{2}$     C.$\frac{3}{2}$     D.$-\frac{3}{2}$

    答案:A

    【做一做3-2】 已知f(x)=[2 014-x],[x]表示不超过x的最大整数,则f(2 016.5)的值为(  )

    A.-2.5  B.2.5  C.-2  D.-3

    解析:根据题意,可知f(2 016.5)=[2 014-2 016.5]=[-2.5]=-3.

    答案:D

重难点
  • 一、不是所有的图形都是函数的图象

    剖析:(1)函数的图象有的是连续的,有的是不连续的,还有的函数是画不出图象的.一般来说,如果自变量的取值是一些离散的实数值,那么它的图象就是一些孤立点.例如,y=3x(x∈{1,2,3,4,5}).

    (2)判断一个图形是否为某个函数的图象,只要用一条垂直于x轴的直线沿x轴方向左右平移,观察图形与该直线交点的个数,当有两个或两个以上的交点时,该图形一定不是函数图象.这是因为直线x=a(a∈R)与图形有两个或两个以上的交点时,表示自变量x取实数a时对应两个或两个以上的y值,这与函数定义中只有唯一的y值与x对应矛盾,故不是函数图象.


    如图所示,

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    在图①中,当自变量x在(-1,1)内取任意一个值时,y有两个值与之相对应,不符合函数的定义;而图②和图③中,当自变量x分别在R上和[-1,1]上取一个值时,都有唯一的y值与之对应,故图②和图③中的y与x具备函数关系.

  • 二、对分段函数的理解

    剖析:(1)分段函数是一个函数,而不是几个函数,其表示法是解析法的一种形式.

    例如,函数$y=\left\{\begin{array}{l}{22-6 x, 0 < x < 11} \\ {-44, x \geq 11}\end{array}\right.$不能写成$y=22-6 x, 0 < x < 11$或$y=-44, x \geqslant 11$.

    (2)分段函数的“段”可以是等长的,也可以是不等长的.例如,

    $y=\left\{\begin{array}{l}{1,-2 \leq x \leq 0} \\ {x, 0 < x \leq 3}\end{array}\right.$其“段”是不等长的.

    (3)画分段函数的图象时,一定要考虑区间端点是否包含在内,若端点包含在内,则用实心点表示,若端点不包含在内,则用空心点表示.

    (4)写分段函数的定义域时,区间端点应不重不漏.

    (5)处理分段函数问题时,要首先确定自变量的取值属于哪一个范围,然后选取相应的对应关系.

    (6)分段函数的定义域是各段定义域的并集;分段函数的值域是分别求出各段上的值域后取并集;分段函数的最大(小)值则是分别在每段上求出最大(小)值,然后取各段最大(小)值中的最大(小)值.

    (7)有些函数形式上虽不是分段写的,但实质上是可以化归为分段函数来处理.例如,y=|x+1|可等价化为$y=\left\{\begin{array}{l}{x+1, x \geq-1} \\ {-x-1, x<-1}\end{array}\right.$

  • 三、分段函数图象的画法

    剖析:以画函数$y=\left\{\begin{array}{l}{(x+1)^{2}, x \leq 0} \\ {-x, x>0}\end{array}\right.$的图象为例:

    步骤:

    (1)画二次函数y=(x+1)2的图象,再取其在区间(-∞,0]上的图象,其他部分删去;

    (2)画一次函数y=-x的图象,再取其在区间(0,+∞)内的图象,其他部分删去;

    (3)这两部分合起来就是所要画的分段函数的图象,如图所示.

    由此可得,画分段函数

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    的图象的步骤是:

    (1)画函数$y=f_{1}(x)$的图象,再取其在区间$D_{1}$上的图象,其他部分删去;

    (2)画函数$y=f_{2}(x)$的图象,再取其在区间$D_{2}$上的图象,其他部分删去;

    (3)依次画下去;

    (4)将各个部分合起来就是所要画的分段函数的图象.

  • 四、教材中的“思考与讨论”

    如何检验一个图形是不是一个函数的图象?写出你的检验法则.如图所示的各图形都是函数的图象吗?哪些是,哪些不是,为什么?

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    剖析:由函数的定义可知,对于定义域中的每一个x,都有唯一的y值与之相对应.因此,要检验一个图形是否是一个函数的图象,可以作x轴的垂线,在定义域范围内,若垂线与图形有一个交点,则该图形就表示函数的图象,否则,该图形不是函数的图象.

    由以上知,所给图形中是函数的图象的有(1)(3)(4),而(2)不符合函数的定义,故(2)不是函数的图象.

例题解析
  • 题型一、画函数图象

    【例1】 作出下列各函数的图象:

    (1)$y=-x+1, x \in \mathbf{Z}$;

    (2)$y=2 x^{2}-4 x-3,0 \leqslant x < 3$;

    (3)$y=|1-x|$;

    (4)$y=\left\{\begin{array}{l}{x^{2}, 0 \leq x \leq 1} \\ {x+1,-1 \leq x < 0}\end{array}\right.$

    反思

    1.函数图象的画法主要有两种:描点法、变换作图法.

    (1)描点法的一般步骤是求函数的定义域、化简解析式、列表、描点、连线等;

    (2)变换作图法常用的有水平平移变换、竖直平移变换、翻折变换.例如,例1中的(3)小题可先画出y=1-x的图象,再把x轴下方的图象翻折到x轴上方即可.还有对称变换等.

    2.作函数图象时,要注意标出一些关键点的坐标,例如,图象与两坐标轴的交点、顶点、端点等,还要分清这些点是实心点还是空心点.

    【变式训练1】 作出下列各函数的图象:

    (1)$y=x(-2 \leqslant x \leqslant 2, x \in \mathbf{Z}$,且$x \neq 0 )$;

    (2)$y=\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}, 0 < x < 1} \\ {1, x \geq 1}\end{array}\right.$

    (3)$y=|x-5|+|x+3|$.

  • 题型二、求函数的解析式

    【例2】 已知$f(x)$为一次函数,且$f(f(x))=9 x+4$,求$f(x)$.

    【变式训练2】 若函数$g(x)$是一次函数,且满足$g(2 x)+4 g(x-2)=18 x-29$,则$g(x)=$_______. 

    【例3】 已知函数f(x)满足$2 f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)=3 x, x \in \mathbf{R}$,且$x \neq 0$,试求$f(x)$的解析式.

    【变式训练3】 若函数$f(x)$满足$f(x)+2 f(-x)=x+1$,求$f(x)$的解析式.

  • 题型三、分段函数的应用

    【例4】已知函数$f(x)=\left\{\begin{array}{l}{x^{2}+2, x \leq 2} \\ {2 x, x>2}\end{array}\right.$

    (1)求$f(f(-2))$;

    (2)若$f(m)=18$,求m的值.

    反思

    1.求分段函数的函数值时,一定要注意自变量的值所在的区间或范围,根据这一范围选择相应的解析式代入求得,含有多层“f”符号时,应由内向外依次求解;

    2.已知分段函数的函数值求相应自变量的值时,要注意分类讨论求解,同时应对得到的自变量的值进行检验,看其是否满足相应的条件.

    【例5】 如图所示,在梯形ABCD中,AB=10,CD=6,AD=BC=4,动点P从点B开始沿着折线BC,CD,DA前进至点A,若点P运动的路程为x,$\triangle P A B$的面积为y.

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    (1)写出$y=f(x)$的解析式,并指出函数的定义域;

    (2)画出函数的图象,并求出函数的值域.

    反思

    1.求实际问题中函数的解析式,其关键是充分利用条件建立关于变量x,y的等式,即目标函数.确定函数的定义域时,除了考虑函数解析式自身的限制条件外,还要考虑到它的实际意义;

    2.在分段函数的转折点上易出现取舍不当的错误.比如本题若把区间分成$0 \leqslant x \leqslant 4,4 \leqslant x \leqslant 10,10 \leqslant x \leqslant 14$,则是不对的.避免出现此类错误的方法是对端点进行验证.

    【变式训练4】 已知函数$f(x)=\left\{\begin{array}{l}{2 x+1, x \leq-1} \\ {x^{2},-1 < x < 1} \\ {\frac{4}{x}, x \geq 1}\end{array}\right.$

    (1)求$f(f(8))$;

    (2)若$f(a)=\frac{3}{4}$,求a的值.

  • 题型四、易错辨析

    易错点:忽视验证变量的范围致误

    【例6】 已知$f(x)=\left\{\begin{array}{l}{|x-1|-2,|x| \leq 1} \\ {\frac{1}{1+x^{2}},|x|>1}\end{array}\right.$若$f(a)=\frac{1}{5}$,求$a$的值.

    反思

    对于分段函数,无论是求函数值,还是求自变量,都要看清每一段解析式所对应的自变量的取值范围,不能张冠李戴,也不能忘记检验.

    【变式训练5】 已知函数$f(x)=\left\{\begin{array}{l}{3 x-1, x \geq 0} \\ {2-x, x < 0}\end{array}\right.$若$f(m) < 5$,求实数$m$的取值范围.

  • 真题

    1已知函数f(x)由下表给出:

    x

    -1

    0

    1

    2

    f(x)

    4

    2

    0

    1

    则f(f(0))的值为(  )

    A.4  B.2  C.0  D.1

    2已知函数f(x)是反比例函数,其图象经过点(-2,1),则其解析式为(  )

    A.$f(x)=\frac{1}{x}$    B.$f(x)=-\frac{1}{x}$

    C.$f(x)=\frac{2}{x}$    D.$f(x)=-\frac{2}{x}$

    3函数y=x+("|" x"|" )/x 的图象是下图中的(  )

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    4下表列出了一项实验的统计数据,表示将皮球从高h处落下时,弹跳高度d与下落高度h的关系,则下面的式子能表示这种关系的是(  )

    A.$d=\sqrt{h}$                   B.$d=2 h$

    C.$d=h-25$                        D.$d=\frac{h}{2}$

    5已知函数f(x)在[-1,2]上的图象如图所示,则f(x)的解析式为________. 

    image.png

    6某客运公司确定客票价格的方法是:如果行程不超过100 km,票价是每千米0.5元;如果超过100 km,超过部分按每千米0.4元定价,那么客运票价y(单位:元)与行程数x(单位:km)之间的函数关系式是_______. 

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