2.1.1 函数

时间:2019-9-9 19:05:03   作者:数学名师王老师
1.会用集合与对应语言来刻画函数,了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域.
2.掌握用换元法和代入法求函数解析式这一常用方法,并能正确地使用区间表示数集.
3.了解映射的概念,能判定一些简单的对应是不是映射,并用映射概念加深对函数概念的理解.
知识点
  • 1.函数的概念

    传统

    定义

    在一个变化过程中,有两个变量xy,如果给定了一个x值,相应地就确定唯一的一个y,那么就称yx的函数,其中x自变量,y因变量

    近代

    定义

    设集合A是一个非空的数集,对A中的任意数x,按照确定的法则f,都有唯一确定的数y与它对应,则这种对应关系叫做集合A上的一个函数,记作$y=f(x), x \in A$,函数y=f(x)也经常写作函数f或函数f(x)

    (1)在近代定义中,x叫做自变量,自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域.

    如果自变量取值a,则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值,记作y=f(a)或$\left.y\right|_{x=a}$.

    所有函数值构成的集合$\{y | y=f(x), x \in A\}$叫做这个函数的值域.

    (2)确定一个函数只需两个要素:定义域和对应法则.

    要检验给定两个变量之间是否具有函数关系,只要检验:

    ①定义域和对应法则是否给出;

    ②根据给出的对应法则,自变量x在其定义域中的每一个值,是否都能确定唯一的函数值y.

    归纳总结

    1.由于函数是两个非空集合之间的一种对应关系,因此函数的定义域和值域都不能是空集.

    2.几种常见函数的定义域和值域:

    (1)一次函数$f(x)=k x+b(k \neq 0)$的定义域为R,值域是R;

    (2)反比例函数$f(x)=\frac{k}{x}(k \neq 0)$的定义域为$\{x | x \neq 0\}$,值域是$\{y | y \neq 0\}$;

    (3)二次函数$f(x)=a x^{2}+b x+c(a \neq 0)$的定义域是R;当a>0时,值域是$\left\{y | y \geq \frac{4 a c-b^{2}}{4 a}\right\}$,当a < 0时,值域是$\left\{y | y \leq \frac{4 a c-b^{2}}{4 a}\right\}$.

    【做一做1-1】 下列四组函数中,f(x),g(x)表示同一函数的是(  )

    A.$f(x)=x, g(x)=\sqrt[4]{x^{4}}$

    B.$f(x)=1, g(x)=\frac{x}{x}$

    C.$f(x)=(\sqrt{\mathrm{x}})^{2}, g(x)=\sqrt[3]{x^{3}}$

    D.$f(x)=|x|, g(x)=\sqrt{x^{2}}$

    解析:若两个函数表示同一函数,则需其定义域、对应法则都相同,缺一不可.

    选项A中对应法则不同,选项B中定义域不同,选项C中定义域不同,仅有选项D表示同一函数.

    答案:D

    【做一做1-2】 函数$f(x)=\sqrt{x-1}+\frac{1}{2-x}$的定义域为_______

    解析:要使函数有意义,应有$\left\{\begin{array}{l}{x-1 \geq 0} \\ {2-x \neq 0}\end{array}\right.$

    即x≥1,且x≠2,

    故函数定义域为{x|x≥1,且x≠2}.

    答案:{x|x≥1,且x≠2}

    【做一做1-3】 函数$f(x)=2|x|+1$的值域为     . 

    解析:因为当x∈R时,|x|≥0,所以2|x|+1≥1.故此函数的值域为{y|y≥1}.

    答案:{y|y≥1}

    【做一做1-4】 已知函数$f(x)=\frac{2}{x^{2}+1}$.

    (1)求$f(1), f(-2 m)$;

    (2)若$f(a)=\frac{2}{17}$,求a的值.

    解:(1)$f(1)=\frac{2}{1^{2}+1}=1 ; \\ f(-2 m)=\frac{2}{(-2 m)^{2}+1}=\frac{2}{4 m^{2}+1}$;

    (2)由$f(a)=\frac{2}{17}$,得 $\frac{2}{a^{2}+1}=\frac{2}{17}$,

    即$a^{2}=16$,解得$a=\pm 4$.

  • 2.区间

    (1)在数轴上,区间可以用一条以a,b为端点的线来表示(如下表).用实心点表示端点属于这个区间,用空心点表示端点不属于这个区间.

    定义

    名称

    符号

    数轴表示

    $\{x | a \leqslant x \leqslant b\}$

    闭区间

    [a,b]

    image.png

    $\{x | a < x < b\}$

    开区间

    (a,b)

    image.png

    $\{x | a \leqslant x < b\}$

    半开半闭区间

    [a,b)

    image.png

    $\{x | a < x \leqslant b\}$

    半开半闭区间

    (a,b]

    image.png

    < br/>

    (2)无穷区间的概念:-∞或+∞作为区间的一端或两端的区间称为无穷区间.

    定义

    符号

    数轴表示

    $\{x | x \geq a\}$

    $[a,+\infty)$

    image.png

    $\{x | x>a\}$

    $(a,+\infty)$

    image.png

    $\{x | x \leq a\}$

    $(-\infty, a]$

    image.png

    $\{x | x < a\}$

    $(-\infty, a)$

    image.png

    $\mathbf{R}$

    $(-\infty,+\infty)$

    取遍数轴上所有的值

    名师点拨

    1.区间是数轴上某一线段或射线或直线上的所有点所对应的实数的取值集合.这是一种符号语言,即用端点对应的实数、+∞、-∞、方括号、圆括号等数或符号来表示数集;

    2.区间符号内的两个字母(或数)之间要用“,”隔开;

    3.“∞”是一个符号,不是一个数,它表示数的变化趋势;

    4.区间中必须是前面的数小,后面的数大.例如,(3,2)就不是区间,(2,2)也不是区间,并不是所有数集都能用区间表示,如自然数集N,整数集Z等;

    5.在平面直角坐标系中,(2,3)可表示点,也可表示区间,应用时注意区分,不能混淆;

    6.如果一个实数集合不能用一个区间完全表示,那么可以用两个或两个以上的区间的并(∪)来表示.

    【做一做2】 用区间表示下列数集:

    (1){x|x≤-2};

    (2){x|3 < x < 8};

    (3){x|x=4或6≤x < 9};

    (4){x|-3≤x≤3,且x≠0}.

    解:(1)(-∞,-2];(2)(3,8);(3){4}∪[6,9);(4)[-3,0)∪(0,3].

  • 3.映射的概念

    设A,B是两个非空集合,如果按照某种对应法则f,对A中的任意一个元素x,在B中有一个且仅有一个元素y与x对应,则称f是集合A到集合B的映射.

    这时,称y是x在映射f的作用下的象,记作f(x).于是y=f(x),x称作y的原象.映射f也可记为$f : A \rightarrow B, x \rightarrow f(x)$.

    其中A叫做映射f的定义域(函数定义域的推广),由所有象f(x)构成的集合叫做映射f的值域,通常记作f(A).

    如果映射f是集合A到集合B的映射,并且对于集合B中的任意一个元素,在集合A中都有且只有一个原象,这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系,并把这个映射叫做从集合A到集合B的一一映射.

    知识拓展

    理解映射的概念必须注意如下几点:

    (1)方向性,“集合A到集合B的映射”与“集合B到集合A的映射”不是同一个映射;

    (2)非空性,集合A,B必须是非空集合;

    (3)唯一性,对于集合A中的任何一个元素,集合B中都有唯一确定的元素与之对应,这是映射的唯一性;

    (4)存在性,对集合A中任何一个元素,集合B中都有元素和它对应,这是映射的存在性,也可以说A中任一元素的象必在集合 B中;

    (5)映射可以看成函数概念的推广,而函数是一种特殊的映射,在对应方面只允许存在“一对一”与“多对一”这两种对应,而不允许存在“一对多”的对应.

    【做一做3-1】 有下列各图中表示的对应:

    其中能构成映射的个数为(  )

    A.4     B.3     C.2    D.1

    1558511581529117.png

    解析:所谓映射,是指“多对一”或“一对一”的对应,且A中每一个元素都必须参与对应.

    只有图(3)所表示的对应符合映射的定义,即A中的每一个元素在对应法则下,B中都有唯一的元素与之对应.

    图(1)不是映射,因A中的元素c没有参与对应,即违背A中的任一元素都必须参与对应的原则.

    图(2)、图(4)不是映射,这两个图中都存在“一对多”的对应,不满足集合A中的任一元素在集合B中有且仅有唯一元素与之对应的原则.

    综上可知,能构成映射的个数为1.

    答案:D

    【做一做3-2】 已知(x,y)在映射f下的象是(x+y,x-y),则(4,6)在f下的原象是(  )

    A.(5,-1)  B.(-1,5)

    C.(10,-2)  D.(-2,10)

    解析:由题意,根据对应关系,

    得$\left\{\begin{array}{l}{x+y=4} \\ {x-y=6}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=5} \\ {y=-1}\end{array}\right.$故原象为(5,-1).

    答案:A

重难点
  • 一、函数符号“$y=f(x), x \in A$”中的“f”及f(x)与f(a)的区别与联系

    剖析:(1)符号“y=f(x)”中的“f”表示对应法则,在不同的具体函数中,“f”的含义不一样,可以把函数的对应法则“f”形象地看作一个“暗箱”.例如,$y=f(x)=x^{2}$,可以将其看作输入x,输出$x^{2}$,于是“暗箱”相当于一个“平方机”的作用,则显然应该有$f(a)=a^{2}, f(m+1)=(m+1)^{2}, \\ f(x+1)=(x+1)^{2}$

    (2)符号y=f(x)是“y是x的函数”的符号表示,应理解为x是自变量,它是法则所施加的对象;f是对应法则,它可以是一个或几个解析式,可以是图象、表格,也可以是文字描述;y是自变量x的函数,当x允许取某一具体值时,相应的y值为与该自变量值对应的函数值.y=f(x)仅仅是函数符号,不是表示“y等于f与x的乘积”.在研究函数时,除用符号f(x)外,还常用g(x),F(x),G(x)等来表示函数.

    (3)f(x)与f(a)的区别与联系:f(a)表示当x=a时函数f(x)的值,是一个常量,而f(x)是自变量x的函数,一般情况下,它是一个变量,f(a)是f(x)的一个特殊值.例如,一次函数f(x)=3x+4,当x=8时,f(8)=3×8+4=28是一个常数.

  • 二、同一函数的判定

    剖析:一般地,判断几个函数是否相同,离不开函数的三要素,但值域由定义域和对应法则所确定,因此在实际的解题过程中,往往只要判断函数的定义域、对应法则两个方面即可.

    两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相同时,才是同一函数,注意以下四点:

    (1)定义域不同,两个函数也就不同.例如,$y=x^{2}(x \in \mathbf{R})$与$y=x^{2}(x>0)$不是同一函数;

    (2)对应法则不同,两个函数也是不同的.例如,$y=x$与$y=x^{2}$不是同一函数;


    (3)即使是定义域和值域都分别相同的两个函数,它们也不一定是同一函数,因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则.例如,函数$f(x)=x^{2}$与$f(x)=2 x^{2}$虽定义域和值域均相同,但它们不是同一函数;

    (4)因为函数是两个数集之间的对应关系,所以用什么字母表示自变量、因变量和对应法则是无关紧要的.例如,$f(x)=2016 x+2017, f(t)=2016 t+2017, \\  g(x)=2016 x+2017$
    都表示同一函数.

例题解析
  • 题型一、求函数的定义域

    【例1】 求下列函数的定义域:

    (1)$y=\sqrt{3} x 2+2 x-1$;

    (2)$y=(x-2)^{0}$;

    (3)$y=\frac{1}{x^{2}-4}$;

    (4)$y=\frac{(x+1)^{2}}{x+1}-\sqrt{1-x}$.

    反思

    1.已知函数的解析式,求函数的定义域,就是求使得函数解析式有意义的自变量的取值范围,即:

    (1)如果f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R;

    (2)如果f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合;

    (3)如果f(x)是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合;

    (4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的,那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合(即求各部分定义域的交集);

    (5)对于由实际问题确定的函数,其定义域还要受实际问题的制约.

    2.本例中的(4)容易出现错解:化简函数的解析式为$y=x+1-\sqrt{1-x}$,得函数的定义域为$\{x | x \leq 1\}$.错解的原因是违背了讨论函数问题要遵循定义域优先的原则.化简函数的解析式容易引起函数的定义域发生变化,因此求函数的定义域之前,不要化简函数的解析式.

    【变式训练1】 求下列函数的定义域:

    (1)$f(x)=\sqrt{x+2}-\sqrt{x-3}$;

    (2)$f(x)=\frac{x}{x^{2}+5}$;

    (3)$f(x)=\frac{\sqrt{x-4}}{x+2}$.

  • 题型二、简单函数值域的求法

    【例2】 求下列各个函数的值域:

    (1)$f(x)=9-2 x, x \in\{1,3,5,7\}$;

    (2)$f(x)=\sqrt{x}+3$;

    (3)$f(x)=x^{2}-4 x+5$;

    (4)$f(x)=\frac{2 x+1}{x-3}$;

    (5)$f(x)=2 x-\sqrt{x-1}$.

    反思

    在求函数的值域时,常用的方法有:

    (1)观察法.通过对函数解析式的简单变形,利用熟知的基本函数的值域,或利用函数图象的“最高点”和“最低点”,观察求得函数的值域,这就是观察法.

    (2)配方法.对二次函数型的解析式可先进行配方,在充分注意到自变量取值范围的情况下,利用求二次函数的值域的方法求函数的值域,这就是配方法.

    (3)换元法.通过对函数的解析式进行适当换元,可将复杂的函数化归为简单的函数,从而求出函数的值域.

    求函数的值域没有通用的方法和固定的模式,要靠自己在解题过程中逐渐探索和积累.除了上述常用的方法外,还有最值法、数形结合法等,应注意选择最优的解法.总之,求函数的值域关键是要重视对应法则的作用,还要特别注意定义域对值域的制约.

    【变式训练2】 求下列函数的值域:

    (1)$f(x)=2-|x|$;

    (2)$f(x)=-x^{2}-2 x+2$;

    (3)$f(x)=\sqrt{1-x}+\sqrt{x-1}$;

    (4)$f(x)=\frac{3 x}{x+3}$.

  • 题型三、求函数的解析式

    【例3】 已知$f(x-1)=x^{2}-2 x+7$,

    (1)求f(2)的值;

    (2)求f(x)和f(x+1)的解析式.

    反思

    已知类型为$f[g(x)]=h(x)$的函数,求f(x)的解析式时,常常使用配凑法和换元法.在解答过程中,一定要把对应法则读懂,分清对应法则f到底作用的变量是谁,然后利用化归的思想,把待求问题转向已知问题,从而使问题得以解决.

    【变式训练3】 已知函数f(x)满足$f\left(\frac{2}{x}\right)=\frac{x^{2}}{x^{2}+4}$.

    (1)求$f(x)$的解析式;

    (2)求$f\left(\frac{1}{2}\right)$的值;

    (3)若$f(a)=\frac{1}{10}$,求a的值.

  • 题型四、有关映射的问题

    【例4】 判断下列对应法则是否是从A到B的映射和一一映射.

    (1)$A=\mathbf{R}, B=\{x | x>0\}, f : x \rightarrow y=|x|$.

    (2)$A=\{x | x \geq 0\}, B=\{y | y \geqslant 0\}, \\ f : x \rightarrow y=\sqrt{x}$

    (3)$A=\{x | x \geqslant 2, x \in \mathbf{Z}\}, \\ B=\{y | y \geqslant 0, y \in \mathbf{N}\}, \\ f : x \rightarrow y=x^{2}-2 x+2$

    反思

    1.按照映射的定义可知,映射应满足:(1)存在性:集合A中的每一个元素在集合B中都有对应元素;(2)唯一性:集合A中的每一个元素在集合B中只有唯一的对应元素.

    2.一一映射的两个特点:(1)对于集合A中不同的元素,在集合B中有不同的象;(2)集合B中的每一个元素都有原象,即对应形式为“一对一”,集合A,B中均没有剩余元素.

    【变式训练4】 给出下列对应:

    1558513484493381.png

    其中,是映射的为_______,是一一映射的为______.(填序号) 

    【例5】 已知集合$A=\mathbf{R}, B=\{(x, y) | x, y \in \mathbf{R}\}, f : A \rightarrow B$是从A到B的映射,$f : x \rightarrow\left(x+1, x^{2}+1\right)$,求A中元素$\sqrt{2}$和B中元素$\left(\frac{3}{2}, \frac{5}{4}\right)$的原象.

    反思

    解答此类问题,关键是:(1)分清原象和象;(2)搞清楚由原象到象的对应法则.一般已知原象求象时,常采用代入法.已知象求原象时,通常列方程组求解.求解过程中要注意象与原象的区别和联系.

    【变式训练5】 已知集合A=R,B=R,从A到B的映射$f : x \rightarrow y=\frac{1}{x^{2}+1}$,若A中元素a的象为 $\frac{1}{2 a}$,则a=______. 

  • 题型五、易错辨析

    易错点:不等价化简函数解析式导致定义域发生变化致误

    【例6】 求函数$f(x)=\frac{1}{1+\frac{1}{x}}$的定义域.

    反思

    因为不等价化简函数解析式容易导致函数定义域发生变化,所以在求函数的定义域时,不要盲目对其解析式进行化简.

    【变式训练6】 函数$f(x)=\sqrt{\frac{2}{x}} \cdot \sqrt{x^{3}}$的定义域为_______. 

  • 真题

    1函数$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}+1}$的定义域为(  )   

    A.R B.{x|x>0}

    C.{x|x≥0} D.{x|x>-1}

    2下列四组函数中,表示同一函数的是(  )

    A.$f(x)=\sqrt{x^{2}}, g(x)=x$

    B.$f(x)=x, g(x)=\sqrt[3]{\mathrm{x}^{3}}$

    C.$f(x)=(\sqrt{x})^{2}, g(x)=|x|$

    D.$f(x)=x, g(x)=\frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{x}}$

    3若$f(x)=\frac{2}{x}-|x+2|$,则$f(-1)=$________. 

    4已知集合$A=\{a, b\}, B=\{-1,1\}$,则A到B的一一映射有________个. 

    5函数$f(x)=\frac{x}{2 x+1}$ 的值域为________. 

    6已知函数$f(x+1)=x^{2}-1, x \in[-1,3]$,求$f(x)$的解析式.

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