1.1.2 基本不等式

时间:2019-9-9 19:05:03   作者:数学名师王老师
1.了解两个正数的几何平均与算术平均.
2.会用基本不等式解决一些函数的最值及实际应用问题.
知识点
  • 1.定理1

    如果$a, b \in \mathbf{R}$,那么$a^{2}+b^{2} \geqslant 2 a b$,当且仅当$a=b$ 时,等号成立.

  • 2.定理2(基本不等式)

    (1)定理2:如果$a, b>0$,那么$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{a b}$,当且仅当$a=b$ 时,等号成立.

    (2)$\frac{a+b}{2}$称为$a, b$的算术平均,$\sqrt{a b}$称为$a, b$的几何平均.

    (3)基本不等式可以表述为:

    两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均.

    (4)基本不等式的几何意义.

    直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高.

    名师点拨

    名师点拨 基本不等式成立的条件:“一正、二定、三相等”.

    【做一做1-1】 $\log _{a} b+\log _{b} a \geqslant 2$成立的必要条件是(  )

    $\mathrm{A} . a>1, b>1 \quad \mathrm{B} \cdot a>0,0 < b < 1$

    $\mathrm{C} \cdot(a-1)(b-1)>0$  D.以上都不正确

    解析:因为$\log _{a} b$与$\log _{b} a$互为倒数,符合基本不等式的结构.但两个数应是正数,所以$a, b$同时大于1或$a, b$都属于区间$(0,1)$.

    答案:C

    【做一做1-2】 下列各式中,最小值等于2的是(  )

    $\begin{array}{ll}{\mathrm{A} \cdot \frac{x}{y}+\frac{y}{x}} & {\text { B. } \frac{x^{2}+5}{\sqrt{x^{2}+4}}} \\ {\text { C.tan } \theta+\frac{1}{\tan \theta}} & {\text { D. } 2 x+2-x}\end{array}$

    解析:$\because 2^{x}>0,2^{-x}>0, \\ \therefore 2^{x}+2^{-x} \geq 2 \sqrt{2^{x} \cdot 2^{-x}}=2$
    ,当且仅当$2^{x}=2^{-x}$,即$x=0$时,等号成立.

    答案:D

  • 3.重要的不等式链

    设$0 < a \leqslant b$,则$a \leqslant \frac{2 a b}{a+b} \leq \sqrt{a b} \leq \frac{a+b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}} \leqslant b$.

    【做一做2】 下列结论中不正确的是(  )

    A.当$a>0$时,$a+\frac{1}{a} \geqslant 2$ B.B. $\frac{b}{a}+\frac{a}{b} \geqslant 2$

    C.$a^{2}+b^{2} \geqslant 2 a b$ D.$a^{2}+b^{2} \geqslant \frac{(a+b)^{2}}{2}$

    解析:选项$A,C$显然正确;选项$D$中,$2\left(a^{2}+b^{2}\right)-(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \geqslant 0$,故$a^{2}+b^{2} \geqslant \frac{(a+b)^{2}}{2}$ 成立;而选项B中,$\frac{b}{a}+\frac{a}{b} \geqslant 2$不成立,若$a b < 0$,则不满足基本不等式成立的条件.

    答案:B

  • 4.应用基本不等式求函数最值

    已知$x, y$都为正数,则

    (1)若$x+y=s$(和为定值),则当且仅当$x=y$时,积$xy$取得最大值 $\frac{s^{2}}{4}$;

    (2)若$xy=p$(积为定值),则当且仅当$x=y$时,和$x+y$取得最小值2$\sqrt{p}$.

    归纳总结 基本不等式应用中有“积定和最小,和定积最大”的规律. 

    【做一做3-1】 设$x>0$,则函数$y=3-3 x-\frac{1}{x}$的最大值是_________.

    解析:$y=3-\left(3 x+\frac{1}{x}\right) \leqslant 3-2 \sqrt{3}$,当且仅当$3 x=\frac{1}{x}$,即$x=\frac{\sqrt{3}}{3}$时,等号成立.故$y_{\max }=3-2 \sqrt{3}$.

    答案:$3-2 \sqrt{3}$

    【做一做3-2】 已知$\lg x+\lg y=2$,则$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的最小值为_________.

    解析:

    $\because \lg x+\lg y=2, \therefore \lg (x y)=2 \therefore x y=10^{2}$

    $\therefore \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{x y} \geq \frac{2 \sqrt{x y}}{x y}=\frac{2 \sqrt{100}}{100}=\frac{1}{5}$,

    当且仅当$x=y=10$时,等号成立.

    答案:$\frac{1}{5}$  < br/>

重难点
  • 认识基本不等式中的数$a, b$

    剖析:在利用基本不等式时,要准确定位其中的“数”.例如,在“已知$2 x+y=1, x, y>0$,求$x y$的最大值”中,“两个数”不是“$x$”与“$y$”,而是已知条件中的“$2x$”与“$y$”,这是因为定值是“$2 x+y=1$”,而“$x+y$”不是定值,因而要求$xy$的最大值应视作求$\frac{1}{2}(2 x) \cdot y$的最大值,即$x y=\frac{1}{2}(2 x) \cdot y \leqslant \frac{1}{2} \times\left(\frac{2 x+y}{2}\right)^{2}=\frac{1}{8}$,当且仅当$2 x=y$,即$x=\frac{1}{4}, y=\frac{1}{2}$时,等号成立.

    在基本不等式中,准确定位其中的“数”是使用基本不等式的大前提.

    再如,在“已知实数$a,b,x,y$满足$a^{2}+b^{2}=1, x^{2}+y^{2}=3$,求$a x+b y$的最大值”时,似乎告诉我们可以利用基本不等式求最值.

    $a x+b y \leqslant \frac{a^{2}+x^{2}}{2}+\frac{b^{2}+y^{2}}{2}=\frac{a^{2}+b^{2}+x^{2}+y^{2}}{2}=2$

    但是这种解法不正确,这四个数分两组使用基本不等式,不符合使用的条件,本题中取等号的条件是

    $\left\{\begin{array}{l}{a=x} \\ {b=y}\end{array}\right.$这与$a^{2}+b^{2}=1$和$x^{2}+y^{2}=3$矛盾.

    因此正确的解法应是三角换元法:

    令$a=\cos \alpha, b=\sin \alpha, x=\sqrt{3} \cos \beta, \\ y=\sqrt{3} \sin \beta$
    ,则$a x+b y=\cos \alpha \cdot \sqrt{3} \cos \beta+\sin \alpha \cdot \sqrt{3} \sin \beta \\ =\sqrt{3}(\cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta) \\ =\sqrt{3} \cos (\alpha-\beta) \leq \sqrt{3}$
    ,当且仅当$\cos (\alpha-\beta)=1$,即$\alpha=\beta$时,等号成立.故$a x+b y$的最大值是$\sqrt{3}$.

例题解析
  • 题型一 利用基本不等式证明不等式

    【例1】 已知$a, b, c>0$,且$a+b+c=1$.

    求证:$\left(\frac{1}{a}-1\right)\left(\frac{1}{b}-1\right)\left(\frac{1}{c}-1\right) \geqslant 8$.

    分析:不等式右边数字为8,使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2”连乘,$\frac{1}{a}-1=\frac{1-a}{a}=\frac{b+c}{a} \geq \frac{2 \sqrt{b c}}{a}$,可由此变形入手.

    反思 

    用基本不等式证明不等式时,应先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形,使之具备基本不等式的结构和条件,然后合理地选择基本不等式或其变形式进行证明.

    【变式训练1】 已知$a, b, c \in \mathbf{R}_{+}$,且$a+b+c=1$,求证:$\sqrt{3 a+2}+\sqrt{3 b+2}+\sqrt{3 c+2} < 6$.

  • 题型二 利用基本不等式求函数最值

    【例2】 已知$x<\frac{5}{4}$,求函数$y=4 x-2+\frac{1}{4 x-5}$的最大值.

    分析:由x < 5/4$x<\frac{5}{4}$,可知$4 x-5 < 0$,转化为变量大于零,先调整符号,再配凑积为定值.

    反思 

    在应用基本不等式求最值时,分以下三步进行:

    (1)看式子能否出现和(或积)的定值,若不具备,需对式子变形,凑出需要的定值;

    (2)看所用的两项是否同正,若不满足,则通过分类解决,在同负时,可提取(-1)变为同正;

    (3)利用已知条件对取等号的情况进行验证.若满足,则可取最值,若不满足,则可通过函数的单调性或导数解决.

    【变式训练2】 (1)若$x>0$,求$f(x)=\frac{12}{x}+3 x$的最小值;

    (2)若$x < 0$,求$f(x)=\frac{12}{x}+3 x$的最大值.

  • 题型三 基本不等式的实际应用

    【例3】 某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额,拟在2017年某运动会期间进行一系列促销活动,经过市场调查和测算,化妆品的年销量$x$(单位:万件)与年促销费$t$(单位:万元)之间满足$3-x$与$t+1$成反比例的关系,如果不搞促销活动,化妆品的年销量只能是1万件,已知2017年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元,每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用,若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150$\%$与平均每件促销费的一半之和,则当年生产的化妆品正好能销完.

    (1)将2017年的利润y(单位:万元)表示为促销费t(单位:万元)的函数.

    (2)该企业2017年的促销费投入多少万元时,企业的年利润最大?

    分析:(1)两个基本关系式是解题的关键,即利润=销售收入-生产成本-促销费;生产成本=固定费用+生产费用;

    (2)表示题中的所有已知量和未知量,利用它们之间的关系式列出函数的解析式. 

    反思 

    解答不等式的实际应用问题,一般可分为如下四步.

    (1)阅读理解材料:应用题所用语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用,而且多数应用题篇幅较长.阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型.这就要求解题者领悟问题的实际背景,确定问题中量与量之间的关系,初步形成借用数学模型解决问题的思路,明确解题方向.

    (2)建立数学模型:根据(1)中的分析,把实际问题用“符号语言”“图形语言”抽象成数学模型,并且建立所得数学模型和已知数学模型的对应关系,以便确立下一步的努力方向.

    (3)讨论不等关系:根据题目要求和(2)中建立起来的数学模型,讨论与结论有关的不等关系,得出有关理论参数的值.

    (4)作出问题结论:根据(3)中得到的理论参数的值,结合题目要求得出问题的结论.

    【变式训练3】 如图,将一矩形花坛$ABCD$扩建成一个更大的矩形花坛$AMPN$,要求点$B$在$AM$上,点$D$在$AN$上,且对角线$MN$过点$C$,已知$AB=3m,AD=2 m$.


    blob.png

    (1)要使矩形$AMPN$的面积大于32 $\mathrm{m}^{2}$,则$AN$的长应在什么范围内?

    (2)当$AN$的长度是多少时,矩形$AMPN$的面积最小?并求最小面积;

    (3)若$AN$的长度不小于6 $m$,则当$AN$的长度是多少时,矩形$AMPN$的面积最小?并求出最小面积.

  • 题型四 易错辨析

    易错点 多次应用基本不等式不能满足两个不等式同时取等号

    【例4】 已知$x, y \in \mathbf{R}_{+}$,且$2 x+5 y=20$,求$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的最小值.

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