2.2.1.1 综合法

时间:2019-9-9 19:05:03   作者:数学名师王老师
1.了解直接证明的一种基本方法??综合法.
2.理解综合法的思考过程、特点,会用综合法证明数学问题.

知识点
  • 综合法

    定义

    推证过程

    特点

    利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法

    blob.png($P$表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,$Q$表示所要证明的结论)

    顺推证法

    或由因导

    果法

    【做一做】 命题“函数$f(x)=x-x \ln x$在区间(0,1)内是增函数”的证明过程“对函数$f(x)=x-x \ln x$求导,得$f^{\prime}(x)=-\ln x$,当$x \in(0,1)$时$f^{\prime}(x)=-\ln x>0$,故函数$f(x)$在区间(0,1)内是增函数”应用了______的证明方法. 

    解析:本命题的证明,利用已知条件和导数与函数单调性的关系证得了结论,应用了综合法的证明方法.

    答案:综合法

重难点
  • 怎样认识综合法的概念及其思维特点?

    剖析:1.一般地,利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.

    2.综合法的思维特点是:从“已知”看“可知”,逐步推向“未知”,其逐步推理实际上是寻找它的必要条件.

    3.综合法是从原因推导到结果的思维方法.

    4.应用综合法时,应从命题的前提出发,在选定了真实性是无可争辩的出发点以后(它基于题设或已知的真命题),再依次由它得出一系列的命题,其中每一个都是真实的(但它们不一定都是所需求的),且最后一个必须包含要证明的命题的结论.

例题解析
  • 利用综合法证明与数列有关的问题

    【例1】 设数列$\left\{a_{n}\right\}$的前n项和为$S_{n}$,且$(3-m) S_{n}+2 m a_{n}=m+3\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$,其中m为非零常数,且$m \neq-3$.

    (1)求证:$\left\{a_{n}\right\}$是等比数列;

    (2)若数列$\left\{a_{n}\right\}$的公比为$q=f(m)$,数列$\left\{b_{n}\right\}$满足$b_{1}=a_{1}, b_{n}=\frac{3}{2} \mathrm{f}(\mathrm{bn}-1)\left(n \in \mathbf{N}^{*}, n \geqslant 2\right)$),求证$\left\{\frac{1}{b_{n}}\right\}$为等差数列.

    分析:解答本题需要利用等比数列、等差数列的定义使用综合法加以证明,解题的关键是恰当地处理递推关系.

    反思用综合法证明数列问题时的证明依据主要来源于以下数列的相关知识:

    (1)数列的概念,特别是等差数列、等比数列的定义;

    (2)等差数列与等比数列的基本性质以及数列前$n$项和的性质;

    (3)数列的通项公式$a_{n}$与数列的前$n$项和$S_{n}$之间的关系$%a_{n}=\left\{\begin{array}{l}{S_{1}, n=1} \\ {S_{n}-S_{n-1}, n \geq 2}\end{array}\right.$

    (4)递推公式与通项公式的关系.

    【变式训练1】 数列$\left\{a_{n}\right\}$满足$a_{1}=1, a_{2}=2, a_{n+2}=2 a_{n+1}-a_{n}+2$.
    设$b_{n}=a_{n+1}-a_{n}$,证明$\left\{b_{n}\right\}$是等差数列.

  • 利用综合法证明不等式问题

    【例2】 已知a, b, c是正实数,且$a+b+c=1$.

    求证:$(1) a^{2}+b^{2}+c^{2} \geqslant \frac{1}{3}$;(2)$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \leq \sqrt{3}$.

    反思

    综合法证明不等式所依赖的主要依据是不等式的基本性质和已知的重要不等式,其中常用的有如下几个:

    (1)$a^{2} \geqslant 0(a \in \mathbf{R})$.

    (2)$(a-b)^{2} \geq 0(a, b \in \mathbf{R})$,其变形有$a^{2}+b^{2} \geqslant 2 a b,\left(\frac{a+b}{2}\right)^{2} \geqslant a b, a^{2}+b^{2} \geqslant \frac{(a+b)^{2}}{2}$.

    (3)若$a, b \in(0,+\infty)$,则 $\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{a b}$,特别是 $\frac{b}{a}+\frac{a}{b} \geq 2$.

    (4)$a^{2}+b^{2}+c^{2} \geqslant a b+b c+c a(a, b, c \in \mathbf{R})$.

    由不等式$a^{2}+b^{2} \geqslant 2 a b$,易得$a^{2}+b^{2}+c^{2} \geqslant a b+b c+c a$,而此结论是一个很重要的不等式,许多不等式的证明都可以用到该结论.

    (5)$a+b+c, a^{2}+b^{2}+c^{2}, a b+b c+c a$这三个式子之间的关系,由$(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(a b+b c+c a)$给出.

    【变式训练2】 已知函数$f(x)=\log _{2}(x+2), a, b, c$是两两不相等的正数,且$a, b, c$成等比数列,试证明$f(a)+f(c)>2 f(b)$.

  • 利用综合法证明立体几何问题

    【例3】 如图,在四棱锥$P-A B C D$中,$P A \perp$底面$A B C D, A B \perp A D A C \perp C D, \\  \angle A B C=60^{\circ} P A=A B=B C E$

    blob.png

    (1)$C D \perp A E$;

    (2)$P D \perp$平面$ABE$.

    分析:解答本题应先明确线线、线面垂直的判定定理及性质定理,再用定理进行证明.

    反思立体几何中线面之间垂直关系的证明是高考考查的重点,利用垂直的判定定理和性质定理可以进行线线、线面以及面面之间垂直关系的转化.另外,利用一些常见的结论还常常可以将线面间的垂直与平行进行转化.如两条平行线中的一条垂直于平面$α$,则另外一条也垂直于平面$α$;垂直于同一条直线的两个平面互相平行等.

    【变式训练3】 如图,已知$| P A \perp$矩形$ABCD$所在的平面,$M,N$分别是$A B, P C$的中点.

    blob.png

     (1)求证:$M N \perp C D$;

    (2)若$\angle P D A=45^{\circ}$,求证:$M N \perp$平面$PCD$.

  • 易错辨析

    易错点:推理不严密而致错

    【例4】 设$f(x)=a x^{2}+b x+c(a \neq 0)$,若函数$f(x+1)$与$f(x)$的图象关于$y$轴对称,求证:$f\left(x+\frac{1}{2}\right)$为偶函数.

    反思

    在证明数学命题时,必须通过严格的推理来证明对任意满足题意的条件,命题的结论都成立,特殊值的检验不能代替一般性的证明.

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