2.4.2 抛物线的简单几何性质

时间:2019-9-9 19:05:05   作者:数学名师王老师
1.直线与圆锥曲线的位置关系

2.运用抛物线的定义解决问题
知识点
  • 抛物线的简单几何性质

    标准

    方程


    $y^{2}=2 p x$

    $(p>0)$



    $y^{2}=-2 p x$

    $(p>0)$



    $x^{2}=2 p y$

    $(p>0)$



    $x^{2}=-2 p y$

    $(p>0)$


    图形

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    对称轴

    x

    x

    y

    y

    焦点

    $F\left(\frac{\mathrm{p}}{2}, 0\right)$

    $F\left(-\frac{\mathrm{P}}{2}, 0\right)$

    $F\left(0, \frac{\mathrm{p}}{2}\right)$

    $F\left(0,-\frac{\mathrm{p}}{2}\right)$

    顶点

    原点$(0,0)$

    准线

    $x=-\frac{p}{2}$

    $x=\frac{\mathrm{p}}{2}$

    $y=-\frac{\mathrm{p}}{2}$

    $y=\frac{\mathrm{p}}{2}$

    离心率

    $e=1$

    知识拓展
    (1)p的几何意义是焦点到准线的距离,抛物线不是双曲线的一支,抛物线不存在渐近线.

    (2)在抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$中,通过焦点且垂直于x轴的直线与抛物线的两个交点的坐标分别

    为$\left(\frac{p}{2}, p\right),\left(\frac{p}{2},-p\right)$,连接这两点的线段叫做抛物线的通径,它的长为2$p$.

    【做一做1】 设A为抛物线$y^{2}=4 x$上一点,点$B(1,0)$,且$|A B|=1$,则点A的横坐标的值为(  )

    $A .-2 \quad$ B. 0

    C.-2或0  D.-2或2

    解析:由抛物线$y^{2}=4 x$的焦点为$B(1,0)$,且$|A B|=1$,准线为$x=-1$,结合抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离知,$x_{A}=0$.

    答案:B

    【做一做2】 抛物线$y=a x^{2}(a \neq 0)$的准线方程是$y=-\frac{1}{2}$,则a=___________. 

    解析:抛物线标准方程为$x^{2}=\frac{y}{a}$,准线$y=-\frac{1}{4 a}=-\frac{1}{2}$.故$a=\frac{1}{2}$.

    答案:$\frac{1}{2}$

重难点
  • 1.直线与圆锥曲线的位置关系

    剖析:直线与圆锥曲线的位置关系,可通过讨论直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定.若消去方程组中的变量$y$(或$x$)得到关于$x$(或$y$)的一元二次方程,考虑该一元二次方程的判别式,则有:

    $\Delta>0 \Leftrightarrow$直线与圆锥曲线相交于两点;

    $\Delta=0 \Leftrightarrow$直线与圆锥曲线相切;

    $\Delta < 0 \Leftrightarrow$直线与圆锥曲线相离.

  • 2.运用抛物线的定义解决问题

    剖析:抛物线的离心率$e=1$,体现了抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离,因此,涉及抛物线的焦点、过焦点的弦的问题,可以优先考虑利用抛物线的定义将点到焦点的距离与点到准线的距离相互转化,即$|P F|=|x|+\frac{p}{2}$ 或$|P F|=|y|+\frac{p}{2}$,使问题简化.

    知识拓展
    (1)直线与抛物线相交所得弦长的计算公式:$\left|P_{1} P_{2}\right| \\ =\sqrt{\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}} \\ =|x _{1}-x _{2}| \cdot \sqrt{1+k^{2}}=|y _{1}-y _{2}| \cdot \sqrt{1+\frac{1}{k^{2}}}$
    ,其中$P_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right), P_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right)$.

    (2)过焦点的直线交抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$于$A, B$两点.

    设$A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$,则$|A B|=x_{1}+x_{2}+p$.

例题解析
  • 抛物线的定义与性质的应用

    【例1】 已知抛物线的顶点在原点,对称轴重合于椭圆$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{16}=1$短轴所在的直线,抛物线的焦点到顶点的距离为5,求抛物线的方程.]

    分析:先确定抛物线方程的形式,再由条件用待定系数法求解.

    反思
    顶点在原点,对称轴为x轴的抛物线方程可设为$y^{2}=m x(m \neq 0)$,当$m > 0$时,开口向右;当$m < 0$时,开口向左.顶点在原点,对称轴为y轴的抛物线方程可设为$x^{2}=m y(m \neq 0)$,当$m > 0$时,开口向上;当$m < 0$时,开口向下.以上两种设法均可避开讨论抛物线的开口方向,焦点到准线的距离为$\left|\frac{m}{2}\right|$.

    【变式训练1】 已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点$M(4,-8)$,求它的标准方程.

  • 与抛物线有关的定值问题

    【例2】 已知AB是抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$的过焦点F的一条弦.设$A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right), A B$的中点为$M\left(x_{0}, y_{0}\right)$.求证:

    $(1)|A B|=2\left(x_{0}+\frac{p}{2}\right)$

    (2)若AB的倾斜角为θ,则$|A B|=\frac{2 p}{\sin ^{2} \theta}$

    $(3) x_{1} x_{2}=\frac{p^{2}}{4}, y _{1} y _{2}=-p 2$

    $(4) \frac{1}{|A F|}+\frac{1}{|B F|}$,为定值 $\frac{2}{p}$.

    分析:(1)利用中点坐标公式$x_{1}+x_{2}=2 x_{0}$,而又有$|A B|=x_{1}+x_{2}+p$,联立即可得证;(2)当AB与x轴不垂直时,可设$y=k\left(x-\frac{p}{2}\right)$为AB的方程,则与抛物线方程联立,即可求得$x_{1}+x_{2}$,又$k=\tan \theta$,经代入化简即可证得;(3)由(2)得$x_{1} \cdot x_{2}$为定值,再结合$y^{2}=2 p x$,可求得$y_{1}^{2} \cdot y_{2}^{2}$ 为定值,则$y_{1} y_{2}=-p^{2}$得证;(4)由抛物线的定义得$|A F|=x_{1}+\frac{p}{2},|B F|=x 2+\frac{p}{2}$,则$\frac{1}{|A F|}+\frac{1}{|B F|}=\frac{1}{x_{1}+\frac{p}{2}}+\frac{1}{x_{2}+\frac{p}{2}}$,化简并将$x_{1}+x_{2}$和$x_{1} x_{2}$代入即可证明.注意(2)(3)(4)还要分析$A B \perp x$轴时的情况.

    反思
    解决与抛物线有关的定值问题,常考虑利用抛物线的定义及一元二次方程根与系数的关系来解决,过焦点的弦长问题常结合抛物线的定义来解决.

    【变式训练2】 抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$上有两动点A,B及一个定点M,F为焦点,且$|A F|,|M F|,|B F|$成等差数列(公差不为零).

    (1)求证:线段AB的垂直平分线过定点Q;

    (2)若$|M F|=4,|O Q|=6(O$为坐标原点$)$,,求抛物线的方程.

  • 与抛物线有关的最值问题

    【例3】 已知点$F(0,1)$,直线$l : y=-1, P$为平面上的动点,过点$P$作直线$l$的垂线,垂足为点$Q$,且$\overrightarrow{Q P} \cdot \overrightarrow{Q F}=\overrightarrow{F P} \cdot \overrightarrow{F Q}$.

    (1)求动点$P$的轨迹$C$的方程;

    (2)已知圆$M$过定点$D(0,2)$,圆心$M$在轨迹$C$上运动,且圆$M$与$x$轴交于$A,B$两点,设$|D A|=l_{1},|D B|=l_{2}$,求$\frac{l_{1}}{l_{2}}+\frac{l_{2}}{l_{1}}$的最大值.

    反思
    (1)具有定义背景的最值问题,可用定义转化为几何问题处理.

    (2)一般方法是由条件建立目标函数,然后利用求函数最值的方法求解最值.

    (3)常见问题类型及处理方法:①题型:一是求抛物线上一点到定直线的最小距离;二是求抛物线上一点到定点的距离的最值问题.②方法:一是利用数形结合;二是利用两点间距离公式并结合求函数最值的方法求解.

    (4)此类问题应注意抛物线的几何性质的应用,尤其是范围的应用.

    【变式训练3】 若点P在抛物线$y^{2}=x$上,点Q在圆$M :(x-3)^{2}+y^{2}=1$上,则$|P Q|$的最小值是(  )

    A. $\sqrt{3}-1 \mathrm{B} \cdot \frac{\sqrt{10}}{2}-1$

    C. 2$\quad$ D. $\frac{\sqrt{11}}{2}-1$

  • 易错辨析

    易错点 忽略斜率不存在或二次项系数为零致错

    【例4】 求过点$P(0,1)$且与抛物线$y^{2}=2 x$有且只有一个公共点的直线方程.

    反思
    一般地,点$P$在抛物线内,则过点$P$且和抛物线只有一个公共点的直线有一条;点$P$在抛物线上,则过点$P$且和抛物线只有一个公共点的直线有两条;点$P$在抛物线外,则过点$P$且和抛物线只有一个公共点的直线有三条.因此,在求过点$P$且与抛物线只有一个公共点的直线方程时要考虑周全,不要出现漏解的情况.另外,在求直线与抛物线的位置关系时,对消元后的方程不要忘记讨论二次项系数为零的情况.

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