3.2.4 用向量方法求空间中的距离

时间:2019-9-9 19:05:05   作者:数学名师王老师
1.了解空间中两点间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离.
2.能用向量方法解决空间中的两点间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离的问题.
知识点
  • 空间中距离的向量求法

    (1)两点$A\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)$间的距离$d_{A B}=|\overrightarrow{A B}| \\ =\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}+\left(z_{2}-z_{1}\right)^{2}}$

    (2)已知点$P$和平面$\alpha$内任一点$A$,向量$n$为平面$\alpha$的法向量,则点$P$到平面$\alpha$的距离可表示为$\frac{|\overrightarrow{P A} \cdot n|}{|n|}$.

    知识拓展
    当$\overrightarrow{P A}=\overrightarrow{P B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C A}$时,求$P, A$两点之间的距离,常常先计算$\overrightarrow{P A^{2}}=(\overrightarrow{P B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C A}) 2$,然后再求$|\overrightarrow{P A}|$.

    【做一做1】 空间内有三点$A(2,1,3), B(0,2,5), C(3,7,0)$,则点B到AC的中点P的距离为(  )

    A. $\frac{\sqrt{10}}{2} \mathrm{B} .5 \mathrm{C} . \frac{3 \sqrt{10}}{2} \mathrm{D} .3 \sqrt{5}$

    解析:$\because P\left(\frac{5}{2}, 4, \frac{3}{2}\right)$

    $\therefore|\overrightarrow{B P}|=\sqrt{\left(\frac{5}{2}-0\right)^{2}}+(4-2)^{2}+\left(\frac{3}{2}-5\right)^{2}$

    $=\sqrt{\frac{25}{4}+4+\frac{49}{4}}=\frac{3 \sqrt{10}}{2}$

    答案:C

    【做一做2】 如图,正方体$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$的棱长为1,O是平面$A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$的中心,则O到平面$A B C_{1} D_{1}$的距离是(  )

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    A. $\frac{1}{2} \quad$ B. $\frac{\sqrt{2}}{4} \quad$ C. $\frac{\sqrt{2}}{2} \quad$ D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$


    解析:建立坐标系如图,则$A(1,0,0), B(1,1,0), D_{1}(0,0,1), O\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1\right)$,

    $\therefore \overrightarrow{A B}=(0,1,0), \overrightarrow{A D_{1}}=(-1,0,1)$.

    设$\mathbf{n}=(1, y, z)$是平面$A B C_{1} D_{1}$的一个法向量,则

    $\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{A B} \cdot n=y=0} \\ {\overrightarrow{A D_{1}} \cdot n=-1+z=0}\end{array}\right.$解得$y=0, z=1$,

    $\therefore \mathbf{n}=(1,0,1)$.又$\overrightarrow{O A}=\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-1\right)$,

    $\therefore$点O到平面$A B C_{1} D_{1}$的距离为$\frac{|\overrightarrow{O A} \cdot n|}{|n|}=\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$.

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重难点
  • 求点到平面的距离

    剖析:如图,$B O \perp$平面$a$,垂足为$O$,则点$B$到平面$\alpha$的距离就是线段$BO$的长度.


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    若$AB$是平面$a$的任一条斜线段,则在$\mathrm{Rt} \triangle B O A$中,$|\overrightarrow{B O}|=|\overrightarrow{B A}| \cdot \cos \angle A B O=\frac{|\overrightarrow{B A |}| \overrightarrow{B O} | \cos \angle A B O}{|\overrightarrow{B O}|}$

    如果令平面$a$的法向量为$n$,考虑到法向量的方向,可以得到点$B$到平面$a$的距离为$|\overrightarrow{B O}|=\frac{|\overrightarrow{A B} \cdot n|}{|n|}$

    因此要求一个点到平面的距离,可以分以下几步完成:(1)求出该平面的一个法向量;(2)找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量;(3)求出法向量与斜线段对应的向量的数量积的绝对值再除以法向量的模,即可求出点到平面的距离.因为$\frac{n}{|n|}=\mathbf{n}_{0}$可以视为平面的单位法向量,所以点到平面的距离实质就是平面的单位法向量与从该点出发的斜线段对应的向量的数量积的绝对值,即$d=\left|\overrightarrow{A B} \cdot \mathbf{n}_{0}\right|$.

    线面距离、面面距离均可转化为点面距离,用求点面距的方法进行求解.

例题解析
  • 求两点间的距离

    【例1】 如图,正方形$A B C D, A B E F$的边长都是$1$,而且平面$A B C D, A B E F$互相垂直,点$M$在$AC$上移动,点$N$在$BF$上移动,若$C M=B N=a(0 < a<\sqrt{2})$

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    (1)求$MN$的长;

    (2)当$a$为何值时,$M N$的长最小?

    分析:解答本题可先建立空间直角坐标系,利用向量的模求出两点间的距离,再用函数的性质来求最值.

    反思
    用向量法求两点间的距离主要是用坐标法(易建系的)和基向量法(各基向量的模和夹角已知或可求),利用向量模的定义求解.

    【变式训练1】 已知正方体$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$的棱长为$a$,点$M$在$A C_{1}$上,点N是$B B_{1}$的中点,且$\overrightarrow{A M}=\frac{1}{3} \overrightarrow{A C_{1}}$,则$|\overrightarrow{M N}|$|等于(  )

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    A. $\frac{\sqrt{21}}{6} a \mathrm{B} \cdot \frac{\sqrt{6}}{6} a C \cdot \frac{\sqrt{15}}{6} a \mathrm{D} \cdot \frac{\sqrt{15}}{3} a$

  • 点到平面的距离

    【例2】 在三棱锥$B-A C D$中,平面$A B D \perp$平面ACD,若棱长$A C=C D=A D=A B=1$,且$\angle B A D=30^{\circ}$,求点$D$到平面$A B C$的距离.

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    反思
    用向量法求点到平面的距离,垂线段常常不用作出来.只需首先设出垂线段对应的方向向量或平面的法向量,利用向量垂直的条件转化为解方程组求出其法向量,然后求解点到平面的距离.

    【变式训练2】 在长方体$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$中,$A B=2, A A_{1}=A D=1$,则点$B_{1}$到平面$A_{1} B C_{1}$的距离为_________. 

  • 易错辨析

    易错点 用向量法求点到平面的距离时,因选错向量致错

    【例3】 如图,$\triangle B C D$与$\triangle M C D$都是边长为2的正三角形,平面$M C D \perp$平面$B C D, A B \perp$平面$B C D, A B=2 \sqrt{3}$,则点$A$到平面$M B C$

    的距离为___________________. 

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