3.2.3 用向量方法求空间中的角

时间:2019-9-9 19:05:05   作者:数学名师王老师
1.理解直线与平面所成角的概念.
2.能用向量方法解决线线、线面、面面夹角的问题.
3.了解向量方法在研究几何问题中的作用.
知识点
  • 空间中的角的向量求法

    设直线l,m的方向向量分别为$\mathbf{a}, \mathbf{b}$,平面$\alpha, \beta$的法向量分别为u,v$\mathbf{u}, \mathbf{v}$,则

    (1)两条直线$l, m$的夹角为$\theta\left(0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\right)$,

    则$\cos \theta=|\cos <\mathbf{a},b>|=\frac{|a \cdot b|}{|a||b|}$; 

    (2)直线l与平面α所成的角为$\theta\left(0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\right)$,

    则$\sin \theta=|\cos <\mathbf{a},u>|=\frac{|a \cdot u|}{|a||u|}$; 

    (3)二面角$\alpha-l-\beta$的大小为$\theta(0 \leqslant \theta \leqslant \pi)$,

    则$\cos \theta=\pm|\cos |<\mathbf{u},v>|=\pm \frac{|u \cdot v|}{|u||v|}$. 

    【做一做1】 设直线l的方向向量为$\mathbf{a}$,平面$\alpha$的法向量为$\mathbf{u}$,若直线$l$与平面$\alpha$所成的角为$\theta$,则有(  )

    A.cos $\theta=\frac{a \cdot u}{|a||u|} \quad \mathrm{B} \cdot \cos \theta=\frac{|a \cdot u|}{|a||u|}$

    $\mathrm{C} . \sin \theta=\frac{a \cdot u}{|a||u|}$ $\mathrm{D} . \sin \theta=\frac{|a \cdot u|}{|a||u|}$

    解析:由线面角$\theta$的正弦值知$\sin \theta=|\cos <\mathbf{a},>|=\frac{|a \cdot u|}{|a| u |}$.

    答案:D 

    【做一做2】 若异面直线$l_{1}$的方向向量与$l_{2}$的方向向量的夹角为$150^{\circ}$,则$l_{1}$与$l_{2}$所成的角等于(  )

    $A .30^{\circ} \quad$ B. $150^{\circ}$

    $\mathrm{C.} 30^{\circ}$或$150^{\circ}$  D.以上均错

    解析:由异面直线夹角定义知,异面直线夹角范围是$\left(0,90^{\circ}\right]$.

    答案:$\mathbf{A}$

重难点
  • 1.两条异面直线所成的角

    剖析:(1)定义:设$a, b$是两条异面直线,过空间任一点$O$作直线$a^{\prime} / / a, b^{\prime} / / b$,则$a^{\prime}$与$b^{\prime}$所夹的锐角或直角叫做$a$与$b$所成的角.

    (2)范围:两条异面直线所成的角$\theta$的取值范围是$0<\theta \leqslant \frac{\pi}{2}$"当"$\theta=\frac{\pi}{2}$"时,表示两条直线异面垂直" ).

    (3)向量求法:设两条异面直线$a$与$b$的夹角为$\theta$,直线$a,b$的方向向量分别为$\mathbf{a}, \mathbf{b}$,且其夹角为$\theta$,则有$\cos \theta=|\cos \varphi|=\frac{|a \cdot b|}{|a||b|}$.

  • 2.直线与平面所成的角

    剖析:(1)定义:直线和平面所成的角,是指直线与它在这个平面内的射影所成的角.

    (2)范围:直线和平面所成的角$\theta$的取值范围是$0 \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{2}($当$\theta=0$时,表示直线与平面平行或在平面内,当$\theta=\frac{\pi}{2}$ 时,表示直线与平面垂直$)$.

    (3)向量求法:设直线l的方向向量为$\mathbf{a}$,平面的法向量为$\mathbf{u}$,直线与平面所成的角为$\theta, \mathbf{a}$与$\mathbf{u}$的夹角为$\varphi$,则有$\sin \theta=|\cos \varphi|=\frac{|a \cdot u|}{|a||u|}$或$\cos \theta=\sin \varphi$.

  • 3.二面角

    剖析:(1)二面角的取值范围是$[0, \pi]$.

    (2)用向量求二面角的平面角有两种方法:

    ①几何法:若AB,CD分别在二面角$\alpha-l-\beta$的两个半平面内,且是与棱$l$垂直的异面直线,则二面角的大小就是向量$\overrightarrow{A B}$与($\overrightarrow{C D}$的夹角(或其补角)(如图①).(如图①).

    blob.png

    ②向量法:设$\mathbf{n}_{1}, \mathbf{n}_{2}$是二面角$\alpha-l-\beta$的两个半平面$\alpha, \beta$的法向量,则向量$\mathbf{n}_{1}$与$\mathbf{n}_{2}$的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小(如图②).

例题解析
  • 求异面直线所成的角

    【例1】 在长方体$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$中,已知$D A=D C=4, D D_{1}=3$,求异面直线$A_{1} B$与$B_{1} C$所成角的余弦值.

    反思
    建立空间直角坐标系,要充分利用题目中的垂直关系.利用向量法求两异面直线所成角计算思路简便,但是要注意角的范围.

    【变式训练1】 如图所示,在三棱柱$O A B-O_{1} A_{1} B_{1}$中,平面$O B B_{1} O_{1} \perp$平面$O A B, \angle O_{1} O B=60^{\circ} \quad, \angle A O B=90^{\circ}$,且$O B=O O_{1}=2, O A=\sqrt{3}$,求异面直线$A 1 B$与$A O 1$所成角的余弦值.

  • 求直线与平面所成的角

    【例2】 在棱长为1的正方体$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$中,在侧棱$C C_{1}$上求一点$P$,使得直线$A P$与平面$B D D_{1} B_{1}$所成的角的正切值为3$\sqrt{2}$ .

    反思
    要充分利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系,用向量的有关知识求解线面角.求线面角的基本方法:在斜线$l$上取$\overrightarrow{A B}$,先求平面$\alpha$的法向量$\mathbf{U}$,再求$\cos \theta=\frac{|A B \cdot u|}{|\overrightarrow{A B}||u|}(\theta$"为"$l$"与" $u$"所在直线的夹角,"$0<\theta<\frac{\pi}{2} )$,则直线$l$与平面$\alpha$的夹角$\beta=\frac{\pi}{2}-\theta$.

    【变式训练2】 在四棱锥$P-A B C D$中,底面ABCD是正方形,$P D \perp$平面$A B C D, P D=D C, E$是$PC$的中点,求$EB$与平面$ABCD$夹角的余弦值.

  • 求二面角

    【例3】 如图,四棱锥$P-ABCD$的底面$ABCD$是菱形,$P A \perp$平面ABCD,$A B C D, \angle A B C=60^{\circ}, E, F$分别是$B C, P C$的中点.

    blob.png

    (1)求证:$A E \perp P D$;

    (2)若$P A=A B=2$,求二面角$E-A F-C$的余弦值.

    反思
    用几何法求二面角,往往需要作出其平面角,这是几何中的难点之一;而用向量法求解二面角无须作出二面角的平面角,只需求出平面的法向量,经过简单运算即可.

    【变式训练3】 如图,在三棱柱$A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$中,$A A_{1} C_{1} C$是边长为4的正方形,平面ABC$A B C \perp$平面$A A_{1} C_{1} C, A B=3, B C=5$.

    blob.png

    (1)求证:$A A_{1}$⊥平面$A B C$;

    (2)求二面角$A_{1}-B C_{1}-B_{1}$的余弦值;

    (3)在线段$B C_{1}$上存在点$D$,使得$A D \perp A_{1} B$,并求 $\frac{B D}{B C_{1}}$的值.

  • 易错辨析

    易错点 误求了线面角的余角致错

    【例4】 在直三棱柱$A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$中,$\angle A C B=90^{\circ} A C=2 B C$,

    $A_{1} B \perp B_{1} C$,求$B_{1} C$与侧面$A_{1} A B B_{1}$所成角的余弦值.

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