3.2.1 用向量方法解决平行问题

时间:2019-9-9 19:05:05   作者:数学名师王老师
1.理解直线的方向向量和平面的法向量.
2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行关系.
知识点
  • 1.直线的方向向量与平面的法向量

    (1)空间中任意一条直线$l$的位置可以由l上一个定点以及一个向量确定.这个向量叫做直线的方向向量.

    (2)直线l垂直于平面$\alpha$,取直线$l$的方向向量$\mathbf{a}$,则向量$\mathbf{a}$叫做平面$\alpha$的法向量.

    【做一做1-1】 若$A(-1,0,1), B(1,4,7)$在直线$l$上,则直线$l$的一个方向向量为(  )

    $\begin{array}{ll}{\text { A. }(1,2,3)} & {\text { B. }(1,3,2)} \\ {\text { C. }(2,1,3)} & {\text { D. }(3,2,1)}\end{array}$

    解析:$\because \overrightarrow{A B}=(2,4,6), \therefore l$的一个方向向量应平行于$\overrightarrow{A B}$.故选$\mathrm{A}$.

    答案:A

    【做一做1-2】 若$\mathbf{u}=(2,-3,1)$是平面$\alpha$的一个法向量,则下列向量中能作为平面$\alpha$的法向量的是(  )

    $\begin{array}{ll}{\text { A. }(0,-3,1)} & {\text { B. }(2,0,1)} \\ {\text { C. }(-2,-3,1)} & {\text { D. }(-2,3,-1)}\end{array}$

    解析:同一个平面的法向量平行,故选$D$.

    答案:$D$

  • 2.空间中平行关系的向量表示

    设直线$l, m$的方向向量分别为$\mathbf{a}, \mathbf{b}$,平面$\alpha, \beta$的法向量分别为$\mathbf{u}, \mathbf{v}$,则

    (1)线线平行:$l / / m \Leftrightarrow \mathbf{a} / / \mathbf{b} \Leftrightarrow \mathbf{a}=k \mathbf{b}(k \in \mathbf{R})$;

    (2)线面平行:$l / / \alpha \Leftrightarrow \mathbf{a} \perp \mathbf{u} \Leftrightarrow \mathbf{a} \cdot \mathbf{u}=0$;

    (3)面面平行:$\alpha / / \beta \Leftrightarrow \mathbf{u} / / \mathbf{v} \Leftrightarrow \mathbf{u}=k \mathbf{v}(k \in \mathbf{R})$.

    【做一做2-1】 下列各组向量中不平行的是(  )

    $A \cdot a=(1,2,-2), b=(-2,-4,4)$

    $B \cdot c=(1,0,0), d=(-3,0,0)$

    $C \cdot e=(2,3,0), f=(0,0,0)$

    $D \cdot g=(-2,3,5), h=(16,24,40)$

    解析:$A$项中,$\mathbf{b}=-2 \mathbf{a} \Rightarrow \mathbf{a} / / \mathbf{b} \cdot \mathbf{B}$项中,$\mathrm{d}=-3 \mathbf{c} \Rightarrow \mathbf{d} / / \mathbf{c} : C$项中,零向量与任何向量都平行.故选$D$.

    答案:$D$

    【做一做2-2】 若两个不同平面$\alpha, \beta$的法向量分别为$\boldsymbol{\mu}=(1,2,-1)$,

    $\mathbf{v}=(-3,-6,3)$,则(  )

    A. $\alpha / / \beta$

    B. $\alpha \perp \beta$

    C.$\alpha$与$\beta$相交但不垂直 

    D.以上均不正确


    解析:$\because \alpha, \beta$的法向量满足$\boldsymbol{\mu}=-\frac{1}{3} \mathbf{v}$,

    $\therefore \mu / / v, \therefore \alpha / / \beta$.

    答案:A

重难点
  • 1.求一个平面的法向量的一般步骤

    剖析:若要求出一个平面的法向量的坐标,一般要先建立空间直角坐标系,再用待定系数法求解,一般步骤如下:

    (1)设出平面的法向量为$\mathbf{n}=(x, y, z)$.

    (2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量

    $\mathbf{a}=\left(a_{1}, b_{1}, c_{1}\right), \mathbf{b}=\left(a_{2}, b_{2}, c_{2}\right)$.

    (3)根据法向量的定义建立关于$x, y, z$的方程组$\left\{\begin{array}{l}{n \cdot a=0} \\ {n \cdot b=0}\end{array}\right.$

    (4)解方程组,取其中的一个解,即得法向量.

    在利用上述步骤求解平面的法向量时,方程组$\left\{\begin{array}{l}{n \cdot a=0} \\ {n \cdot b=0}\end{array}\right.$有无数多个解,只需给$x, y, z$中的一个变量赋一个值,即可确定平面的一个法向量;赋的值不同,所求平面的法向量就不同,但它们是共线向量.注意赋值不能为零.

  • 2.用向量方法证明空间中的平行关系

    剖析:空间中的平行关系主要是指:线线平行、线面平行、面面平行.

    (1)线线平行

    设不重合的直线$l_{1}, l_{2}$的方向向量分别是$\mathbf{a}, \mathbf{b}$,则要证明$l_{1} / / l_{2}$,只需证明$\mathbf{a} / / \mathbf{b}$,即$\mathbf{a}=k \mathbf{b}(k \in \mathbf{R})$.

    (2)线面平行

    ①设直线$l$的方向向量是$\mathbf{a}$,平面$\alpha$的法向量是$\mathbf{u}$,则要证明$l / / \alpha$,只需证明$\mathbf{a} \perp \mathbf{u}$,即$\mathbf{a} \cdot \mathbf{u}=0$.

    ②根据线面平行的判定定理:“如果直线(平面外)与平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行”,要证明一条直线和一个平面平行,也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可.


    ③要证明一条直线和一个平面平行,只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线的向量线性表示即可.

    (3)面面平行

    ①由平面与平面平行的判定定理可知,要证明面面平行,只要转化为证明相应的线面平行、线线平行即可.

    ②若能求出平面$\alpha, \beta$的法向量$\mathbf{u}, \mathbf{v}$,则要证明$\alpha / / \beta$,只需证明$\mathbf{u} / / \mathbf{v}$即可.


例题解析
  • 利用向量方法判定线、面的位置关系

    【例1】 (1)设$\mathbf{a}, \mathbf{b}$分别是两条不同的直线$l_{1}, l_{2}$的方向向量,判断$l_{1}, l_{2}$的位置关系:

    ①$a=(2,3,-1), b=(-6,-9,3)$;

    ②$\mathbf{a}=(5,0,2), \mathbf{b}=(0,4,0)$.

    (2)设$\mathbf{u}, \mathbf{v}$分别是两个不同的平面$\alpha, \beta$的法向量,判断$\alpha, \beta$的位置关系:

    ①$\mathbf{u}=(1,-1,2), \mathbf{v}=\left(3,2,-\frac{1}{2}\right)$;

    ②$\mathbf{u}=(0,3,0), \mathbf{v}=(0,-5,0)$.

    (3)设$\mathbf{u}$是$\alpha$的法向量,$\mathbf{a}$是直线$l$的方向向量,判断$\alpha, l$l的位置关系:

    ①$\mathbf{u}=(2,2,-1), \mathbf{a}=(-3,4,2)$;

    ②$\mathbf{u}=(0,2,-3), \mathbf{a}=(0,-8,12)$.

    反思
    解答这类问题的关键:一是要清楚直线的方向向量,平面的法向量和直线、平面的位置关系之间的内在联系;二是熟练掌握判断向量共线、垂直的方法.在把向量问题转化为几何问题时,要注意两者的区别,如第(3)问中的①题,直线的方向向量和平面平行,则直线可能在平面内,也可能与平面平行.

    【变式训练1】 根据下列条件,判断相应的线、面位置关系:

    (1)直线$l_{1}, l_{2}$的方向向量分别是$a=(1,-3,-1), b=(8,2,2)$;

    (2)两个不同的平面$\alpha, \beta$的法向量分别是$\boldsymbol{\mu}=(1,3,0), \mathbf{v}=(-3,-9,0)$;

    (3)直线l$l$的方向向量、平面$\alpha$的法向量分别是$a=(1,-4,-3)$,

    $\mu=(2,0,3)$.

  • 平面的法向量的求法

    【例2】 四边形$A B C D$是直角梯形,$A D / / B C, \angle A B C=90^{\circ}, S A \perp$平面$A B C D, S A=A B=B C=2, A D=1$,求平面$S C D$和平面$S A B$的法向量.

    分析:解答本题可先建立空间直角坐标系,写出每个平面内不共线的两个向量的坐标,再利用待定系数法求出平面的法向量.

    反思
    任一平面的法向量有无数个,一般用待定系数法解一个三元一次方程组,求得其中的一个即可.构造方程组时,注意所选平面内的两个向量是不共线的,赋值时应保证所求法向量为非零向量,本题中的法向量的设法值得借鉴.

    【变式训练2】 已知$A(1,0,1), B(0,1,1), C(1,1,0)$,求平面$A B C$的一个法向量.

  • 利用向量法证明空间中的平行关系

    【例3】 在长方体$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$中,$A A_{1}=2 A B=2 B C, E, F, E_{1}$分别是棱$A A_{1}, B B_{1}, A_{1} B_{1}$的中点.

    求证:$C E / /$平面$C_{1} E_{1} F$.

    【变式训练3】 在正方体$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$中,棱长为$a, M, N$分别为$A_{1} B$和$A C$上的点,$A_{1} M=A N=\frac{\sqrt{2}}{3} a$.求证:$M N / /$平面$B B_{1} C_{1} C$.

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