3.2.2 用向量方法解决垂直问题

时间:2019-9-9 19:05:05   作者:数学名师王老师
1.理解线面的位置关系与向量的联系.
2.能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直关系.
知识点
  • 空间中垂直关系的向量表示

    设直线$l, m$的方向向量分别为$\mathbf{a}, \mathbf{b}$,平面$\alpha, \beta$的法向量分别为$\mathbf{u}, \mathbf{v}$,则

    (1)线线垂直:$l \perp m \Leftrightarrow \mathbf{a} \perp \mathbf{b} \Leftrightarrow \mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=0$;

    (2)线面垂直:$l \perp \alpha \Leftrightarrow \mathbf{a} / / \mathbf{u} \Leftrightarrow \mathbf{a}=k \mathbf{u}(k \in \mathbf{R})$;

    (3)面面垂直:$\alpha \perp \beta \Leftrightarrow \mathbf{u} \perp \mathbf{v} \Leftrightarrow \mathbf{u} \cdot \mathbf{v}=0$.

    【做一做1】 设直线$l_{1}, l_{2}$的方向向量分别为$\mathbf{a}=(1,2,-2), \mathbf{b}=(-2,3, m)$,若$l_{1} \perp l_{2}$,则$m=(\quad)$

    A.1 B.2 C.3 D.4

    解析:$\because l_{1} \perp l_{2}, \therefore a \perp b$.

    $\therefore a \cdot b=-2+6-2 m=0, \therefore m=2$.

    答案:B

    【做一做2】 若直线l的方向向量为$\mathbf{a}=(1,0,2)$,平面$\alpha$的法向量为$\mathbf{n}=(-2,0,-4)$,则(  )

    $A . l / \alpha \qquad B . l \perp \alpha$ 

    $\mathrm{C} \cdot L \subset \alpha$  $D . l$与$\alpha$斜交

    解析:$\because \mathbf{n}=-2 \mathbf{a}, \therefore \mathbf{n} / / \mathbf{a} \cdot : l \perp \alpha$.

    答案:$B$

重难点
  • 应用向量方法证明垂直问题

    剖析:1.线线垂直

    设直线$l_{1}, l_{2}$的方向向量分别是$\mathbf{a}, \mathbf{b}$,则要证明$l_{1} \perp l_{2}$,只需证明$\mathbf{a} \perp \mathbf{b}$,即$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=0$.

  • 2.线面垂直

    (1)设直线l的方向向量是$\mathbf{a}$,平面$\alpha$的法向量是$\mathbf{u}$,则要证$l \perp \alpha$,只需证明$\mathbf{a} / / \mathbf{u}$,即$\mathbf{a}=k \mathbf{u}(k \in \mathbf{R})$.

    (2)根据线面垂直的判定定理,转化为直线与平面内的两条相交直线垂直,即设$\mathbf{a}, \mathbf{b}$是在平面$\alpha$内(或与平面$\alpha$α平行)的两条直线的方向向量,且$\mathbf{a}$与$\mathbf{b}$不平行,直线$l$的方向向量为$\mathbf{c}$,则$l \perp \alpha \Leftrightarrow \mathbf{c} \perp \mathbf{a}$,且$c⊥b?a?c=b?c=0$$\mathbf{c} \perp \mathbf{b} \Leftrightarrow \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}=\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}=0$.

  • 3.面面垂直

    (1)根据面面垂直的判定定理转化为证明相应的线面垂直、线线垂直.

    (2)证明两个平面的法向量互相垂直.

例题解析
  • 证明线线垂直

    【例1】 已知正三棱柱$A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$的各棱长都为$1,M$是底面上$B C$边的中点,$N$是侧棱$C C_{1}$上的点,且$C N=\frac{1}{4} C C 1$.求证:$A B 1 \perp M N$.

    分析:先建立空间直角坐标系,找出$\overrightarrow{A B_{1}}$与$\overrightarrow{M N}$的坐标,再证明$\overrightarrow{A B_{1}} \cdot \overrightarrow{M N}=0$.

    反思
    证明线线垂直,只需证明两条直线的方向向量的数量积为0,可以建立空间直角坐标系,用坐标运算来解决,也可以利用向量间的几何关系来证明.

    【变式训练1】 在棱长为$a$的正方体$O A B C-O_{1} A_{1} B_{1} C_{1}$中,$E,F$分别是$A B, B C$上的动点,且$A E=B F$,求证:$A_{1} F \perp C_{1} E$.

    blob.png

  • 证明线面垂直

    【例2】 如图所示,在正方体$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$中,O为$A C$与$B D$的交点,$G$为$C C_{1}$的中点,求证:$A_{1} O \perp$平面$G B D$.

    blob.png

    反思
    对于坐标系易建立的空间线面垂直问题,通常用向量法,求出平面的法向量和直线的方向向量,证明平面法向量与直线的方向向量平行或者直接用向量法证明直线与平面内两条相交直线垂直,再用线面垂直判定定理即可.

    【变式训练2】 在长方体$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$中,$E, F$分别是棱$B C$,

    $C C_{1}$上的点,$C F=A B=2 C E, A B \quad \\ \therefore A D : A A_{1}=1 : 2 : 4$
    .求证:$A F \perp$平面$A_{1} E D$.

    blob.png

  • 证明面面垂直

    【例3】 如图,在五面体$A B C D E F$中,$F A \perp$平面$A B C D, A D / / B C / /F E, A B \perp A D, M$为$E C$的中点,$A F=A B=B C=F E=\frac{1}{2} A D$.

    blob.png

    求证:平面$A M D \perp$平面$C D E$.

    分析:因为$F A \perp$平面$A B C D$,

    所以可以以点$A$为坐标原点建立空间直角坐标系.

    反思
    证明面面垂直通常有两种方法,一是利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明;二是证明两个平面的法向量互相垂直.

    【变式训练3】 如图所示,在六面体$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$中,四边形$A B C D$是边长为2的正方形,四边形$A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$是边长为1的正方形,$D D_{1} \perp$平面$A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}, D D_{1}$平面$A B C D, D D_{1}=2$.

    blob.png

    求证:(1)$A_{1} C_{1}$与AC共面,$B_{1} D_{1}$与BD共面;

    (2)平面$A_{1} A C C_{1} \perp$平面$B_{1} B D D_{1}$.

声明:本站部分内容搜集整理自互联网,如果涉及侵犯您的版权,请联系我们举报,并提供相关证据,工作人员会在5个工作日内回复您,一经查实,本站将立刻删除涉嫌侵权内容。