3.1.5 空间向量运算的坐标表示

时间:2019-9-9 19:05:05   作者:数学名师王老师
1.掌握空间向量的坐标运算.
2.会根据向量的坐标,判断两个向量共线或垂直.
3.掌握向量的长度,两个向量的夹角和两点间的距离公式.
知识点
  • 1.空间向量的坐标运算

    若$\mathbf{a}=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right), \mathbf{b}=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right)$,则

    (1) a $+\mathbf{b}=\left(a_{1}+b_{1}, a_{2}+b_{2}, a_{3}+b_{3}\right)$

    (2) $\mathbf{a}-\mathbf{b}=\left(a_{1}-b_{1}, a_{2}-b_{2}, a_{3}-b_{3}\right)$

    (3) $\lambda \mathbf{a}=\left(\lambda a_{1}, \lambda a_{2}, \lambda a_{3}\right)(\lambda \in \mathbf{R})$

    (4) $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3}$

    $(5) \mathbf{a} / / \mathbf{b} \Leftrightarrow a_{1}=\lambda b_{1}, \\ a_{2}=\lambda b_{2}, a_{3}=\lambda b_{3}(\mathbf{b} \neq \mathbf{0}, \lambda \in \mathbf{R})$

    $(6) \mathbf{a} \perp \mathbf{b} \Leftrightarrow a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3}=0$;

    $(7)|\mathbf{a}|=\sqrt{a \cdot a}=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}$

    $(8) \cos <\mathbf{a},>=\frac{a \cdot b}{|a \| b|}=\frac{a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}} \sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}}$

    【做一做1-1】 与向量$\mathbf{a}=(1,2,3), \mathbf{b}=(3,1,2)$都垂直的向量为(  )

    $\begin{array}{ll}{A \cdot(1,7,5)} & {B \cdot(1,-7,5)} \\ {C \cdot(-1,-7,5)} & {D \cdot(1,-7,-5)}\end{array}$

    解析:$(-1,-7,5) \cdot \mathbf{a}=-1-14+15=0, \\ (-1,-7,5) \cdot \mathbf{b}=-3-7+10=0$

    答案:C

    【做一做1-2】 已知$\mathbf{a}=(1,-2,1), \mathbf{a}+\mathbf{b}=(-1,2,-1)$,则$\mathbf{b}=(\quad)$

    $\begin{array}{ll}{\text { A. }(2,-4,2)} & {\text { B. }(-2,4,-2)} \\ {\text { C. }(-2,0,-2)} & {\text { D. }(2,1,-3)}\end{array}$

    解析:$\mathbf{b}=(\mathbf{a}+\mathbf{b})-\mathbf{a}=(-2,4,-2)$.

    答案:$B$

  • 2.空间中向量的坐标及两点间的距离公式

    若$A\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)$,则

    (1) $\overrightarrow{A B}=\frac{(x 2-x 1, y 2-y 1, z 2-z 1)}{\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}+\left(z_{2}-z_{1}\right)^{2}}}$

    (2) $d_{A B}=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}+\left(z_{2}-z_{1}\right)^{2}}$.

    【做一做2-1】 在空间直角坐标系$O x y z$中,已知点A的坐标为$(-1,2,1)$,点B的坐标为$(1,3,4)$,则(  )

    A. $\overrightarrow{A B}=(-1,2,1)$

    B. $\overrightarrow{A B}=(1,3,4)$

    C. $\overrightarrow{A B}=(2,1,3)$

    D. $\overrightarrow{A B}=(-2,-1,-3)$

    解析:$\because A(-1,2,1), B(1,3,4), \therefore \overrightarrow{A B}=(2,1,3)$

    答案:C

    【做一做2-2】 已知$a=(1,3,5), b=(-2,-3,1)$,

    则$\mathbf{a}+\mathbf{b}=$_________,$|\mathbf{a}|=$_________. 

    解析:$\mathbf{a}+\mathbf{b}=(1-2,3-3,5+1)=(-1,0,6)$,

    $|\mathbf{a}|=\sqrt{1^{2}+3^{2}+5^{2}}=\sqrt{35}$

    答案:$(-1,0,6) \quad \sqrt{35}$

重难点
  • 空间向量的坐标运算

    剖析:空间向量的加法、减法和数量积与平面向量类似,具有类似的运算法则,学习中可类比推广.但能不能推广是难点所在,应抓住空间向量的坐标表示这一根本去突破,即向量a在平面上是用唯一确定的有序实数对表示,即$\mathbf{a}=(x, y)$,在空间也是这样定义的.不同点仅是向量在空间具有不同的表达形式,如在平面上,$\mathbf{a}=\left(x_{1}, y_{1}\right),|\mathbf{a}|=\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}$;在空间中,$\mathbf{a}=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right),|\mathbf{a}|=\sqrt{a_{1}^{2}}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}$.但不论在平面还是在空间都有$\cos <\mathbf{a},>=\frac{a \cdot b}{|a||b|^{*}}$.

    空间两个向量平行与平面两个向量平行的表达式不一样,但实质是一致的,即对应坐标成比例,且比值为λ.空间两个向量垂直与平面两个向量垂直公式类似.


    空间向量的长度公式是计算向量的长度,其形式与平面向量的长度公式一致,学习时可用类比的方法进行.它的几何意义是表示长方体对角线的长度.

    夹角公式可根据数量积的定义$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}| \cos \theta$,结合空间向量的数量积、空间向量的长度推出其范围为$0^{\circ} \leqslant \theta \leqslant 180^{\circ}$.

    空间两点间的距离公式是长度公式的推广.先根据向量的减法推出向量$\overrightarrow{A B}$的坐标表示,再用长度公式推出.

例题解析
  • 空间向量的坐标运算

    【例1】 已知O为坐标原点,A,B,C三点的坐标分别是$(2,-1,2)$,

    $(4,5,-1),(-2,2,3)$.求点P的坐标,使:

    $(1) \overrightarrow{O P}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A C})$

    $(2) \overrightarrow{A P}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A C})$

    分析:解答本题时可先求出$\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}$的坐标,再利用运算性质求$\overrightarrow{O P}, \overrightarrow{A P}$.

    反思
    向量的坐标即终点的坐标减去起点坐标对应的坐标.求向量终点的坐标时,一定要注意向量的起点是否在原点,在原点时,向量的坐标与终点的坐标相同;不在原点时,向量的坐标加上起点坐标才是终点的坐标.

    【变式训练1】$\mathbf{a}=(1,1,0), \mathbf{b}=(0,1,1), \mathbf{c}=(1,0,1), \\ \mathbf{p}=\mathbf{a}-\mathbf{b} \cdot \mathbf{q}=\mathbf{a}+2 \mathbf{b}-\mathbf{c}$
    ,求$\mathbf{p}, \mathbf{q}, \mathbf{p} \cdot \mathbf{q}$.

  • 坐标形式下平行与垂直条件的应用

    【例2】 设$a=(1,5,-1), b=(-2,3,5)$.

    (1)若$(k a+b) / /(a-3 b)$,求$k$;

    (2)若$(k a+b) \perp(a-3 b)$,求$k$.

    分析:解答本题可先求出$k a+b$与$a-3 b$,再根据向量平行与垂直的条件列方程求解.

    反思
    已知向量平行或垂直时,利用坐标应满足的条件可得到方程(组),进而求出参数的值,当$\mathbf{b}=\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)$中的每个坐标都非零时,$\mathbf{a} / / \mathbf{b} \Leftrightarrow \frac{x_{1}}{x_{2}}=\frac{y_{1}}{y_{2}}=\frac{z_{1}}{z_{2}}$.

    【变式训练2】 (1)已知向量$\mathbf{a}=(2,4,5), \mathbf{b}=(3, x, y)$,若$\mathbf{a} / / \mathbf{b}$,求$x,y$的值;

    (2)已知向量$\mathbf{a}=(1,2,0), \mathbf{b}=(0,2,3)$,若$(a+k b) \perp(a-2 b)$,求$k$的值.

  • 用向量的坐标解决问题

    【例3】 如图所示,正四棱锥$S-A B C D$的侧棱长为$\sqrt{2}$,底面边长为$\sqrt{3}, E$是$SA$的中点,$O$为底面$A B C D$的中心.

    blob.png

    (1)求$CE$的长;

    (2)求异面直线$BE$与$SC$所成角的余弦值;

    (3)若$O G \perp S C$,垂足为$G$,求证:$O G \perp B E$.


    分析:由于棱锥是正四棱锥, 因此底面四边形$ABCD$是正方形,从而$OA,OB,OS$两两垂直,故可建立空间直角坐标系,进行求解和证明.在第(3)问的证明过程中,要充分利用共线向量的知识,不直接设出点$G$的坐标,而是设$\overrightarrow{S G}$的坐标,,这样就出现一个未知量,便于求解.

    反思
    结合题目建立适当的空间直角坐标系,先写出所需点的坐标,求出向量坐标,再利用坐标的运算对向量进行证明和求解运算.

    【变式训练3】 在棱长为1的正方体$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$中,E,F分别是$D D_{1}, D B$的中点,$G$在棱$CD$上,$C G=\frac{1}{4} C D, H$是$C 1 G$的中点.

    (1)求证:$E F \perp B_{1} C$;

    (2)求$E F$与$C_{1} G$所成的角的余弦值;

    (3)求$FH$的长.

    分析:依据条件建立合适的空间直角坐标系,将问题转化为向量的坐标运算.

  • 易错辨析

    易错点 共线的概念理解不透致错

    【例4】 已知$A(2,1,-3), B(1,-2,4)$,则与向量$\overrightarrow{A B}$共线的单位向量为_________. 

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