3.1.1 空间向量及其加减运算

时间:2019-9-9 19:05:05   作者:数学名师王老师
1.了解空间向量的概念,掌握空间向量的几何表示和字母表示.
2.掌握空间向量的加减运算及其运算律,理解向量减法的几何意义.
知识点
  • 1.向量的有关概念

    (1)在空间,我们把具有大小和方向的量叫做空间向量.向量的大小叫做向量的长度或模.

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    (2)向量的表示法:①几何表示法:用有向线段表示;②字母表示法:用$|a,b,c,…$|表示或用表示向量的有向线段的起点和终点的字母表示.如图,此向量的起点是$A$,终点是$B$,可记作$\overrightarrow{A B}$,其模记为$|\overrightarrow{A B}|$或$|\mathbf{a}|$.

    (3)零向量:长度为0的向量叫做零向量,记作0,零向量的方向是任意的.当有向线段的起点A与终点B重合时,$\overrightarrow{A B}=0$.

    (4)单位向量:模为1的向量.

    (5)相反向量:与向量$\mathbf{a}$长度相等而方向相反的向量,称为$\mathbf{a}$的相反向量,记为$-\mathbf{a}$.

    (6)相等向量:方向相同且模相等的向量称为相等向量.在空间,同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.

    归纳总结
    (1)零向量的方向不确定,是任意的;由于零向量的这一特性,在解题时一定要看清题目中所指的向量是“零向量”还是“非零向量”.

    (2)零向量与零向量相等;任意两个相等的非零向量都可以用空间中的同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关.

    【做一做1】 下列说法错误的是(  )

    A.所有零向量的模相等

    B.模相等的向量不一定是相等向量

    C.零向量没有方向

    D.一个向量与其相反向量的模相等

    答案:C

  • 2.向量的加减运算

    (1)空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内,成为同一平面内的两个向量.类似于平面向量,定义空间向量的加减运算如下:

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    如图①,$\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{A B}=\mathbf{a}+\mathbf{b}$.

    如图②,$\overrightarrow{B A}=\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{B D} \\ =\mathbf{a}+\mathbf{b} ; \overrightarrow{D C}=\overrightarrow{B C}-\overrightarrow{B D}  \\  =\mathbf{a}-\mathbf{b}$

    (2)空间向量的加法运算满足:

    交换律:$a+b=b+a$;

    结合律:$(a+b)+c=a+(b+c)$.

    名师点拨

    向量减法是向量加法的逆运算,减去一个向量$\overrightarrow{A B}$等于加上这个向量的相反向量$\overrightarrow{B A}$.

    【做一做2】 在三棱柱$A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$中,若$\overrightarrow{C A}=\mathbf{a}, \overrightarrow{C B}=\mathbf{b}$,

    $\overrightarrow{C C_{1}}=\mathrm{c}$,则$\overrightarrow{A_{1} B}$等于(  )

    $\begin{array}{ll}{A \cdot a+b-c} & {\text { B. } a-b+c} \\ {C \cdot a+b+c} & {D \cdot-a+b-c}\end{array}$

    答案:D

    解析:如图,

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    $\overrightarrow{A_{1} B}=\overrightarrow{A_{1} A}+\overrightarrow{A B} \\ =\overrightarrow{C_{1} C}+\overrightarrow{C B}-\overrightarrow{C A}=-c+b-a$

重难点
  • 空间向量的加减法

    剖析:(1)求两个空间向量和的运算,叫做空间向量的加法.

    (2)空间向量加法的三角形法则.如图所示,若$\overrightarrow{O A}=\mathbf{a}, \overrightarrow{A B}=\mathbf{b}$

    则$\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{A B}=\mathbf{a}+\mathbf{b}$.使用三角形法则要特别注意“首尾相接”.


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    (3)空间向量加法的平行四边形法则.先把已知的两个空间向量的起点平移到同一点,再以这两个向量为邻边作平行四边形,则这两条邻边所夹的平行四边形的对角线所在的向量(起点与平移后的两个向量的起点相同)就是这两个已知向量的和.如图,$\overrightarrow{A B}=\mathrm{a}, \overrightarrow{A C}=\mathrm{b}$,则$\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}=\mathbf{a}+\mathbf{b}$.

    (4)向量的减法是由向量的加法来定义的:减去一个向量就等于加上这个向量的相反向量.

    由此可以推出向量等式的移项方法,即将其中任意一个向量变号后,从等式一端移到另一端,等式仍然成立.例如,由$\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}=\mathbf{d}$,得$a+b=d-c$.

    (5)向量减法的作图法:因为$(\mathbf{a}-\mathbf{b})+\mathbf{b}=\mathbf{a}+[(-\mathbf{b})+\mathbf{b}]=\mathbf{a}+\mathbf{0}=\mathbf{a}$,所以求$a-b$就是求这样一个向量,它与$b$的和等于$a$,从而得出$a-b$的作图法.

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    (6)向量减法的几何作法:如右图,在平面内任取一点O,作$\overrightarrow{O A}=\mathbf{a}, \overrightarrow{O B}=\mathbf{b}$,则$\overrightarrow{B A}=\mathbf{a}-\mathbf{b}$,即$a-b$表示从向量$b$的终点指向向量$a$的终点的向量,这是向量减法的几何意义.

例题解析
  • 空间向量的概念

    【例1】 给出以下命题:

    ①若两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同;

    ②若空间向量$\mathbf{a}, \mathbf{b}$满足$|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|$,则$\mathbf{a}=\mathbf{b}$;

    ③在正方体$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$中,必有$\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{A_{1} C_{1}}$;

    ④若空间向量$\mathrm{m}, \mathrm{n}, \mathrm{p}$满足$\mathbf{m}=\mathbf{n}, \mathbf{n}=\mathbf{p}$,则$\mathbf{m}=\mathbf{p}$;

    ⑤空间中任意两个单位向量必相等.

    其中正确的命题序号为_________. 

    反思对于概念题,能准确熟练地掌握有关概念,特别是细微之处的差别,是解决这类问题的关键.

    【变式训练1】 下列命题中,是假命题是(  )

    A.向量$\overrightarrow{A B}$与$\overrightarrow{B A}$的长度相等 

    B.两个相等的向量,若起点相同,则终点也相同

    C.只有零向量的模等于0

    D.共线的单位向量都相等

  • 空间向量的加减运算

    【例2】 1.在正方体$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$中,下列各式中运算的结果为向量$\overrightarrow{A C_{1}}$的共有(  )

    ①$\overrightarrow{(A B}+\overrightarrow{B C} )+\overrightarrow{C C_{1}}$;

    ②$\left(\overrightarrow{A A_{1}}+\overrightarrow{A_{1} D_{1}}\right)+\overrightarrow{D_{1} C_{1}}$;

    ③$\left(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B B_{1}}\right)+\overrightarrow{B_{1} C_{1}}$;

    ④$\left(\overrightarrow{A A_{1}}+\overrightarrow{A_{1} B_{1}}\right)+\overrightarrow{B_{1} C_{1}}$.

    A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

    2.证明空间向量加法的结合律:

    $(\mathbf{a}+\mathbf{b})+\mathbf{c}=\mathbf{a}+(\mathbf{b}+\mathbf{c})$.

    反思适当地对向量进行拆分、合并、平移(等量代换)是解决空间向量问题的关键.

    【变式训练2】 如图,在平行六面体$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$中,M为$A_{1} C_{1}$与$B_{1} D_{1}$的交点,连接$AM,CM$,则$\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}-\overrightarrow{A M}=$_______;$\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C C_{1}}+\overrightarrow{C_{1} M}=$________. 

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