3.1.3 空间向量的数量积运算

时间:2019-9-9 19:05:05   作者:数学名师王老师
1.掌握空间向量的夹角与长度的概念.
2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法.
3.能用向量的数量积判断向量共线与垂直.
知识点
  • 1.向量的夹角

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    (1)如图,已知两个非零向量$\mathbf{a}, \mathbf{b}$,在空间任取一点O,作$\overrightarrow{O A}=\mathbf{a}, \overrightarrow{O B}=\mathbf{b}$,则$\angle A O B$叫做向量$\mathbf{a}, \mathbf{b}$的夹角,记作$<\mathbf{a},b>$.

    (2)向量$\mathbf{a}, \mathbf{b}$的夹角$<\mathbf{a},b>$的范围是$[0, \pi]$,如果$<\mathbf{a},b>=\frac{\pi}{2}$,那么向量 $\mathbf{a}, \mathbf{b}$互相垂直,记作$\mathbf{a} \perp \mathbf{b}$.

    知识拓展(1)当$<\mathbf{a},b>=0$时,两个向量同向共线;当$<\mathbf{a},b>=\pi$时,两个向量反向共线.若$\mathbf{a} / / \mathbf{b}$,则$<\mathbf{a},b>=0$或$\pi$.

    (2)对空间任意两个向量$\mathbf{a}, \mathbf{b}$,有以下两个特点:

    ①$<\mathbf{a},b>=<\mathbf{b},a>$;

    ②$<\mathbf{a},-\mathbf{b}>=<\mathbf{a},b>=\pi-<\mathbf{a},b>$.

    【做一做1】 已知向量$\mathbf{a}=-3 \mathbf{b}$,则$<\mathbf{a},b>=$_________. 

    解析:$\because \mathrm{a}=-3 \mathrm{b}, \therefore \mathrm{a}$与$\mathbf{b}$反向.

    $\therefore<\mathbf{a},b>=\pi$.

    答案:$\pi$

  • 2.向量的数量积

    (1)已知两个非零向量$\mathbf{a}, \mathbf{b}$,则$|\mathbf{a}||\mathbf{b}| \cos <\mathbf{a},b>$叫做$\mathbf{a}, \mathbf{b}$的数量积,记作$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$,即$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}| \cos  < \mathbf{a}, \mathbf{b} > $

    零向量与任何向量的数量积为0.

    特别地,$\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}=|\mathbf{a} \| \mathbf{a}| \cos \langle\mathbf{a}, \mathbf{a}\rangle=|\mathbf{a}|^{2}$.

    (2)数量积满足的运算律:

    ①$(\lambda \mathbf{a}) \cdot \mathbf{b}=\lambda(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})$;

    ②交换律:$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=\mathbf{b} \cdot \mathbf{a}$;

    ③分配律:$\mathbf{a} \cdot(\mathbf{b}+\mathbf{c})=\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}+\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}$.


    (3)向量数量积的性质:

    ①若$\mathbf{a}, \mathbf{b}$是非零向量,则$\mathbf{a} \perp \mathbf{b} \Leftrightarrow \mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=0$.

    ②若$\mathbf{a}$与$\mathbf{b}$同向,则$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|$;

    若$\mathbf{a}$与$\mathbf{b}$反向,则$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|$.

    特别地:$\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}=|\mathbf{a}|^{2}$,或$|\mathbf{a}|=\sqrt{a \cdot a}$.

    ③若$\theta$为$\mathbf{a}$与$\mathbf{b}$的夹角,则$\cos \theta=\frac{a \cdot b}{|a||b|}$. 

    ④$|\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}| \leqslant|\mathbf{a}||\mathbf{b}|$.

    归纳总结
    两个向量的数量积,其结果是个数量,而不是向量,它的值为两个向量的模与两个向量夹角的余弦值的乘积;对于两个非零向量的数量积,其符号由夹角的余弦值的正负决定.

    【做一做2-1】 在空间中,若$|\mathbf{a}|=1, \mathbf{b}=-5 \mathbf{a}$,则$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$等于(  )

    $\begin{array}{ll}{\text { A. } 5} & {\text { B. } \frac{1}{5}}\end{array}$ $\begin{array}{cc}{\mathrm{C.}-5} & {\text { D.- } \frac{1}{5}}\end{array}$

    解析:$\because \mathbf{b}=-5 \mathbf{a}$,

    $\therefore a \cdot b=-5 a^{2}=-5|a|^{2}=-5$.

    答案:C

    【做一做2-2】 在空间中,已知正三角形ABC的边长为2,则$\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=$_________________. 

    解析:$\because|\overrightarrow{A B}|=|\overrightarrow{A C}|=2$,且$ < \overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C} > =60^{\circ}$

    $\therefore \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=|\overrightarrow{A B}| \cdot|\overrightarrow{A C}| \cdot \cos 60^{\circ} \\ =2 \times 2 \times \frac{1}{2}=2$

    答案:2

重难点
  • 1.理解向量数量积的概念

    剖析:(1)与向量的数乘运算区分开:向量的数乘运算的结果仍是向量,而向量的数量积的结果是数量;

    (2)书写要规范:不能写成$\mathbf{a} \times \mathbf{b}$,也不能写成$\mathbf{a b}$;

    (3)向量的数量积运算不满足结合律,也不满足消去律,即$(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \mathbf{c} \neq \mathbf{a}(\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}), \mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=\mathbf{a} \cdot \mathbf{c} \not \Rightarrow \mathbf{b}=\mathbf{c}$.

  • 2.空间向量数量积的应用

    剖析:(1)利用向量的数量积可以求出向量的模和夹角,进而可以求出两点间的距离或两条直线所成的角.

    (2)利用向量的数量积可以证明两个非零向量垂直,进而可以证明两条直线垂直.

例题解析
  • 数量积的运算

    【例1】 已知在长方体$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$中,$A B=A A_{1}=2, A D=4, E$为$A B_{1}$的中点,F为$A_{1} D_{1}$的中点.试计算:

    $(1) \overrightarrow{B C} \cdot \overrightarrow{E D_{1}} ; \quad(2) \overrightarrow{B F} \cdot \overrightarrow{A B_{1}} ; \quad(3) \overrightarrow{E F} \cdot \overrightarrow{F C_{1}}$

    分析:解答本题可先把各向量用同一顶点上的三条棱对应的向量表示出来,再代入向量的数量积进行运算.

    反思
    在几何体中进行向量的数量积运算,要充分利用向量加减法的几何性质,把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算.

    【变式训练1】 已知正四面体$O A B C$的棱长为1.求:

    (1) $\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}$ ;

    (2) $(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}) \cdot(\overrightarrow{C A}+\overrightarrow{C B})$

    (3) $|\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C} |$.

  • 利用数量积证明垂直

    【例2】 已知在空间四边形$O A C B$中,$O B=O C, A B=A C$.

    求证:$O A \perp B C$.

    分析:结合图形,利用向量知识证明$O A \perp B C$,就是证明$\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{B C}=0$.

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    反思
    立体几何中直线与直线的垂直问题可转化为空间向量的数量积为零的问题.

    【变式训练2】 如图所示,已知平行六面体$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$的底面$A B C D$是菱形,且$\angle C_{1} C B=\angle C_{1} C D=\angle B C D=60^{\circ}$,求证:$C C_{1} \perp B D$.

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  • 利用数量积求异面直线所成的角

    【例3】 已知空间四边形$O-A B C$的各边及对角线的长都相等,$E,F$分别为$A B, O C$的中点,求$OE$与$BF$所成的角的余弦值.

    分析:利用$\overrightarrow{O E} \cdot \overrightarrow{B F}=|\overrightarrow{O E}||\overrightarrow{B F}| \cos  < \overrightarrow{O E}, \overrightarrow{B F} > $,先求出向量$\overrightarrow{O E}$与$\overrightarrow{B F}$夹角的余弦值,再转化为求异面直线所成的角的余弦值.

    反思
    根据空间两个向量数量积的定义:$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}| \cos <\mathbf{a},b>$,得空间两个向量$a,b$的夹角的余弦值$\cos <\mathbf{a},b>=\frac{a \cdot b}{|a| b |}$,这个公式在今后的求解及证明中应用很广泛.

    需要注意的是两条异面直线所成角的范围是$\left(0, \frac{\pi}{2}\right]$和两个向量夹角的范围是$[0, \pi]$,所以在处理此类题目时应注意符号.

    【变式训练3】 如图,在正方体$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$中,$M,N$分别是棱$C D, C C_{1}$的中点,则异面直线$A_{1} M$与$DN$所成的角的大小是_________.

  • 利用数量积求两点间的距离

    【例4】 已知线段$AB$在平面$\alpha$内,线段$A C \perp \alpha$,线段$B D \perp A B$,且与$\alpha$所成的角是$30^{\circ}$,如果$A B=a A C=B D=b$.求$C,D$两点间的距离.

    分析:求$C,D$两点间的距离即求$CD$的长,首先将$CD$用向量表示,然后求其与自身数量积,根据已知向量的模及向量间的夹角得其模的平方,最后开平方即为所求.

    反思
    先用已知的向量表示$\overrightarrow{|C D|}$,然后用向量的数量积作工具,利用$|\overrightarrow{C D}|=\sqrt{\overrightarrow{C D} \cdot \overrightarrow{C D}}$来解决问题.

    【变式训练4】 如图,在平行四边形$ABCD$中,$AB=AC=1$,

    $\angle A C D=90^{\circ}$,将它沿对角线AC折起,使AB与CD成$60^{\circ}$°角,求$B,D$两点间的距离.

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    分析:画出立体图,结合已知知识用长度与夹角均已知的向量表示出:$\overrightarrow{B D}=\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{C D}$,而$\overrightarrow{B A}$与$\overrightarrow{A C}, \overrightarrow{A C}$与$\overrightarrow{C D}, \overrightarrow{A B}$与$\overrightarrow{C D}$的夹角及其模均易知.

  • 易错辨析

    易错点 混淆向量夹角与异面直线夹角的范围致错

    【例5】 已知空间四边形$ABCD$的四条边和对角线长都为$a$,点$E, F, G$分别是$AB,AD,DC$的中点,则四个数量积:①2 $\overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{A C}$;

    ②2 $\overrightarrow{A D} \cdot \overrightarrow{B D}$ ;③2 $\overrightarrow{G F} \cdot \overrightarrow{A C}$;④2 $\overrightarrow{E F} \cdot \overrightarrow{C B}$中,结果为$a^{2}$的式子

    的序号是_________________. 

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