3.1.2 空间向量的数乘运算

时间:2019-9-9 19:05:05   作者:数学名师王老师
1.掌握空间向量的数乘运算的定义和运算律,了解共线(平行)向量的意义.
2.理解共线向量定理和共面向量定理及其推论,会证明空间三点共线与四点共面问题.
知识点
  • 1.数乘的定义及运算律

    (1)实数$\lambda$与空间向量$\mathbf{a}$的乘积仍然是一个向量,记作$\lambda a$,称为向量的数乘运算.

    ①$\lambda \mathbf{a}$的长度是$|\lambda||\mathbf{a}|$.

    ②$\lambda \mathbf{a}$的方向:当λ>0时,$\lambda a$与a同向;当$\lambda < 0$时,$\lambda a$与a反向.

    (2)空间向量的数乘运算律

    分配律:$(\lambda+\mu) \mathbf{a}=\lambda \mathbf{a}+\mu \mathbf{a}, \lambda(\mathbf{a}+\mathbf{b})=\lambda \mathbf{a}+\lambda \mathbf{b}$;

    结合律:$\lambda(\mu \mathbf{a})=(\lambda u) \mathbf{a}$.

    名师点拨

    若$\lambda=0$,则$\lambda \mathbf{a}=\mathbf{0}$.

    【做一做1-1】 已知三棱锥$A-B C D$的每个面都是正三角形,M,N分别是$A B, C D$的中点.设$\overrightarrow{B A}=\mathbf{a}, \overrightarrow{B C}=\mathbf{b}, \overrightarrow{B D}=\mathbf{c}$,则$\overrightarrow{M N}$等于(  )

    A. $\frac{1}{2}(\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c})$ B. $\frac{1}{2}(\mathbf{a}+\mathbf{c}-\mathbf{b})$

    C. $\frac{1}{2}(\mathbf{b}+\mathbf{c}-\mathbf{a}) \quad$ D. $\frac{1}{2}(\mathbf{a}+\mathbf{b}-\mathbf{c})$

    答案:C

    【做一做1-2】 在空间四边形$ABCD$中,$\overrightarrow{A B}=\mathbf{a}-2 \mathbf{c}, \overrightarrow{C D}=5 \mathbf{a}+6 \mathbf{b}-8 \mathbf{c}$,对角线$AC,BD$的中点分别是$E, F$,则$\overrightarrow{E F}=$_________.

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    解析:如图所示,取$A D$的中点P,连接$E F, E P, F P$,结合图形用$\overrightarrow{A B}$和$\overrightarrow{C D}$表示$\overrightarrow{E F} \cdot \overrightarrow{E F}=\overrightarrow{E P}+\overrightarrow{P F} \\ =\frac{1}{2} \overrightarrow{C D}+\frac{1}{2} \overrightarrow{A B} \\ =\frac{1}{2}(5 \mathrm{a}+6 \mathrm{b}-8 \mathrm{c})+\frac{1}{2}(a-2 c) \\ =3 a+3 b-5 c$

    答案:$3 a+3 b-5 c$ 

  • 2.共线向量与共面向量

    (1)①共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相 平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量.

    ②对空间任意两个向量$\mathbf{a} . \mathbf{b}(\mathbf{b} \neq \mathbf{0}), \mathbf{a} / / \mathbf{b}$的充要条件是存在实数$\lambda$,使$\mathbf{a}=\lambda \mathbf{b}$.

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    ③方向向量:如图,$l$为经过已知点$A$且平行于已知非零向量$\mathbf{a}$的直线,对空间任意一点$O$,点$P$在直线$l$上的充要条件是存在实数$t$,使$\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O A}+t \mathrm{a}$,其中向量$a$叫做直线$l$的方向向量.在直线$l$上取$\overrightarrow{A B}=\mathbf{a}$,则*式可化为$\overrightarrow{O P}=(1-t) \overrightarrow{O A}+t \overrightarrow{O B}$.此推论可以用来判断三点共线.


    (2)①共面向量:平行于同一个平面的向量,叫做共面向量.

    ②如果两个向量$\mathbf{a}, \mathbf{b}$不共线,那么向量$\mathbf{p}$与向量$\mathbf{a}, \mathbf{b}$共面的充要条件是存在唯一的有序实数对$(x, y)$,使$\mathrm{p}=x \mathrm{a}+y \mathrm{b}$.

    【做一做2-1】 下列说法正确的是(  )

    $\mathrm{A} \cdot \mathrm{a}(\mathrm{a} \neq 0)$与$\lambda \mathbf{a}$方向相同

    B.若$\mathbf{a}=\lambda \mathbf{b}(\mathbf{b} \neq \mathbf{0})$,则$\lambda=\frac{a}{b}$ 

    C.直线l的方向向量一定在直线l上

    D.平行于同一平面的向量,叫做共面向量

    解析:选项A中若$\lambda < 0$,则$\lambda \mathbf{a}$与$\mathbf{a}$反向;

    选项$B$中,两向量不能作除法;

    选项$C$中,方向向量与直线可能平行,不在同一直线上.

    答案:$D$

    【做一做2-2】 下列说法正确的是(  )

    A.在平面内共线的向量在空间不一定共线

    B.在空间共线的向量在平面内不一定共线

    C.在平面内共线的向量在空间一定不共线

    D.在空间共线的向量在平面内一定共线

    答案:D

重难点
  • 1.向量共线的充要条件及其应用

    剖析:(1)空间共线向量与平面共线向量的定义完全一样,当我们说$\mathbf{a}, \mathbf{b}$共线时,表示$\mathbf{a}, \mathbf{b}$的两条有向线段所在的直线既可能是同一条直线,也可能是平行直线;当我们说$\mathbf{a} / / \mathbf{b}$时,也具有同样的意义.

    (2)“共线”这个概念具有自反性,即$\mathbf{a} / / \mathbf{a}$;也具有对称性,即若$\mathbf{a} / / \mathbf{b}$,则$\mathbf{b} / / \mathbf{a}$.

    (3)如果应用上述结论判断$\mathbf{a}, \mathbf{b}$所在的直线平行,那么还需说明$\mathbf{a}$(或$\mathbf{b}$)上有一点不在$\mathbf{b}$(或$\mathbf{a}$)上.

    (4)用上述结论证明(或判断)三点$A,B,C$共线时,只需证明存在实数$\lambda$,使$\overrightarrow{A B}=\lambda \overrightarrow{B C}$(或$\overrightarrow{A B}=\lambda \overrightarrow{A C} )$)即可;也可用“对空间任意一点O,有$\overrightarrow{O C}=t \overrightarrow{O A}+(1-t) \overrightarrow{O B}$来证明三点共线.

  • 2.向量共面的充要条件及其应用

    剖析:(1)空间一点$P$位于平面$MAB$内的充要条件是:存在有序实数对$(x,y)$,使$\overrightarrow{M P}=x \overrightarrow{M A}+y \overrightarrow{M B}$ 满足这个关系式的点$P$都在平面$MAB$内;反之,平面$MAB$内的任一点$P$都满足这个关系式.这个充要条件常用来证明四点共面.

    (2)共面向量的充要条件是判断三个向量是否共面的依据,也可用来把已知共面条件转化为向量式,以便应用向量这一工具.另外,在许多情况下,可以用“若存在有序实数组$(x,y,z)$,使得对于空间任意一点$O$,都有$\overrightarrow{O P}=x \overrightarrow{O A}+y \overrightarrow{O B}+z \overrightarrow{O C}$且$x+y+z=1$成立,则$P,A,B,C$四点共面”作为判定空间中四点共面的依据.

例题解析
  • 空间向量的数乘运算

    【例1】 已知$ABCD$为正方形,$P$是$ABCD$所在平面外的一点,$P$在平面$ABCD$上的射影恰好是正方形$ABCD$的中心$O,Q$是$CD$的中点,求下列各式中$x,y$的值:

    (1) $\overrightarrow{O Q}=\overrightarrow{P Q}+x \overrightarrow{P C}+y \overrightarrow{P A}$

    (2) $\overrightarrow{P A}=x \overrightarrow{P O}+y \overrightarrow{P Q}+\overrightarrow{P D}$

    分析:画出图形,根据向量的加减和数乘运算解题.

    反思
    对于这类题目,应结合图形,充分利用向量平移来处理向量的加减运算和数乘运算.

    【变式训练1】 若$A$是$\triangle B C D$所在平面外一点,点$G$是$\Delta B C D$的重心,求证:$\overrightarrow{A G}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{A D})$.

  • 向量共线与三点共线问题

    【例2】 如图所示,已知四边形$A B C D, A B E F$都是平行四边形且不共面,$M,N$分别是$AC,BF$的中点,判断$\overrightarrow{C E}$与$\overrightarrow{M N}$是否共线.

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    分析:要判断$\overrightarrow{C E}$与$\overrightarrow{M N}$是否共线,就是看是否存在实数$x$,使$\overrightarrow{C E}=x \overrightarrow{M N}$.

    反思
    判断两个向量$\mathbf{a}, \mathbf{b}$是否共线,就是寻求是否存在一个非零实数$x$,使$\mathbf{a}=\chi \mathbf{b}$.要充分运用空间向量的运算法则,结合图形得出$\mathbf{a}=x \mathbf{b}$,从而$\mathbf{a} / / \mathbf{b}$.而证明空间三点共线可转化为证明空间两个向量共线.

    【变式训练2】 已知四边形$ABCD$是空间四边形,$E,H$分别是$AB,AD$的中点,$F,G$分别是$CB,CD$上的点,且$\overrightarrow{C F}=\frac{2}{3} \overrightarrow{C B}, \overrightarrow{C G}=\frac{2}{3} \overrightarrow{C D}$ ?求证:四边形$E F G H$是梯形.

  • 三个向量共面与四点共面问题

    【例3】 如图所示,已知四边形$ABCD$是平行四边形,点P是四边形$ABCD$所在平面外一点,连接$PA,PB,PC,PD$.设点$E,F,G,H$分别为$\triangle P A B, \triangle P B C, \triangle P C D, \triangle P D A$的重心.

    (1)试用向量方法证明$E,F,G,H$四点共面;

    (2)试判断平面$EFGH$与平面$ABCD$的位置

    关系,并用向量方法证明你的判断.

    分析:可以利用共面向量定理或其推论完成第(1)问的证明;从几何图形直观判断,第(2)问中的两个平面应该是平行关系.

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    反思
    (1)空间向量基本定理的应用之一就是证明四点共面.

    (2)用共线向量定理证明线线平行,从而证明面面平行,可使问题简单化.

    (3)要学会用向量的知识来解决立体几何问题.

    【变式训练3】 如图所示,已知矩形$ABCD$和矩形$ADEF$所在的平面互相垂直,点$M,N$分别在对角线$BD,AE$上,且$B M=\frac{1}{3} B D$,

    $A N=\frac{1}{3} A E$.求证:向量$\overrightarrow{M N}, \overrightarrow{C D}, \overrightarrow{D E}$共面.

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  • 易错辨析

    易错点 混淆了平面与空间致错

    【例4】 已知非零向量$\mathbf{e}_{1, \mathbf{e}_{2}}$不共线,如果$\overrightarrow{A B}=\mathbf{e}_{1}+\mathbf{e}_{2}, \overrightarrow{A C}=2 \mathbf{e}_{1}+8 \mathbf{e}_{2}, \\ \overrightarrow{A D}=3 \mathbf{e}_{1}-3 \mathbf{e}_{\mathbf{2}}$
    ,那么下列结论正确的是 (  )

    $A.A,B,C,D$四点共线

    $B.A,B,C,D$四点共面

    $C.A,B,C,D$四点不共面

    D.无法确定

    反思

    在平面向量中,若$a=λb(b≠0)$,则$a$与$b$共线;在空间向量中,若$a=λb+μc(b$与$c$不共线),则$a,b,c$共面.

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