3.1.2 复数的几何意义

时间:2019-9-9 19:05:02   作者:数学名师王老师
1.理解复平面、实轴、虚轴等概念.    
2.了解复数的几何意义.
3.理解复数的模的概念,会求复数的模.
知识点
  • 1.复平面的定义

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    如图,点$Z$的横坐标是$a$,纵坐标是$b$,复数$z=a+b i$可用点$Z(a,b)$表

    示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴

    叫做实轴,y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数,除了原点外,

    虚轴上的点都表示纯虚数.

  • 2.复数的几何意义

    (1)复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的,即

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    这是复数的一种几何意义.

    (2)如图,设复平面内的点$Z$表示复数$z=a+bi$,连接OZ,显然向量$\overrightarrow{O Z}$是由点Z唯一确定的;反过来,点$Z$(相对于原点来说)也可以由向量$\overrightarrow{O Z}$唯一确定.因此,复数集$C$与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实数0与零向量对应),即

    image.png

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    这是复数的另一种几何意义.

    为方便起见,我们常把复数$z=a+b i$说成点Z或说成向量$\overrightarrow{O Z}$,并且规定,相等的向量表示同一个复数.

    【做一做1-1】 实部为-2,虚部为1的复数所对应的点位于复平面的(  )          

    A.第一象限  B.第二象限

    C.第三象限  D.第四象限

    解析:由题意知,该复数在复平面内对应的点为(-2,1),所以该点位于复平面的第二象限.故选B.

    【做一做1-2】 若$\overrightarrow{O Z}=(0,-3)$,则$\overrightarrow{O Z}$对应的复数为(  )

    A.0     B.-3

    C.-3i     D.3

    解析:由$\overrightarrow{O Z}=(0,-3)$,得点Z的坐标为(0,-3),则$\overrightarrow{O Z}$对应的复数为$0-3 i=-3 i$.故选C.

  • 3.复数的模

    复数$z=a+b i(a, b \in \mathbf{R})$对应的向量为$\overrightarrow{O Z}$,则$\overrightarrow{O Z}$的模叫做复数$z$的模,记作$|z|$或$|a+b i|$,且$|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$.如果$b=0$,那么$z=a+b i$就是实数$a$,它的模等于$|a|$(就是实数$a$的绝对值).

    【做一做2】 已知$z_{1}=5+3 i, z_{2}=5+4 i$,则下列各式正确的是(  )

    A.$z_{1}>z_{2}$    B.$z_{1} < z_{2}$

    C.$\left|Z_{1}\right|>\left|z_{2}\right|$     D.$\left|z_{1}\right|<\left|z_{2}\right|$

    解析:复数不能比较大小,排除选项$A,B$.

    又$\left|z_{1}\right|=\sqrt{5^{2}+3^{2}},\left|z_{2}\right|=\sqrt{5^{2}+4^{2}}$,

    则$\left|z_{1}\right|<\left|z_{2}\right|$.故选D.

    答案:D

重难点
  • 1.如何理解复数与复平面内的点、向量间的对应关系?

    剖析:每一个复数都由它的实部和虚部唯一确定.当把实部和虚部作为一个有序实数对时,就和复平面内的点的坐标一样,从而可以用点来表示复数,复平面内的每一个点都可以与从原点出发的一个向量一一对应,从而复数也可以与复平面内的向量一一对应.

    复数$z=a+b i(a, b \in \mathbf{R})$与点$Z(a, b)$和向量$\overrightarrow{O Z}$的一一对应关系如下:

    image.png

    这种对应关系架起了联系复数与解析几何之间的桥梁,使得复数问题可以用几何方法来解决,而几何问题也可以用复数方法来解决(即数形结合法),这就增加了解决复数问题的途径.


    此外,还应注意以下几点:

    (1)复数$z=a+b i(a, b \in \mathbf{R})$的对应点的坐标为$(a,b)$,而不是$(a,bi)$.

    (2)复平面内的虚轴上的单位长度是1,而不是$i$.

    (3)当$a=0$时,对任何$b \neq 0, a+b \mathrm{i}=0+b \mathrm{i}=b \mathrm{i}$是纯虚数,所以虚轴上的点$(0, b)(b \neq 0)$都表示纯虚数.

    (4)复数$z=a+b i(a, b \in \mathbf{R})$对应的向量$\overrightarrow{O Z}$是以原点$O$为起点的,否则就谈不上一一对应,因为复平面上与向量$\overrightarrow{O Z}$相等的向量有无数多个.

    (5)复数$z=a+b i(a, b \in \mathbf{R})$中的$z$,书写时应小写,复平面内的点$Z(a,b)$中的$Z$,书写时应大写.


  • 2.如何理解复数的模?

    剖析:从数的角度理解,可类比绝对值是数轴上表示这个数的点到原点的距离来理解.

    从形的角度理解,是该复数对应向量的模,也是向量起点与终点间的距离.

    事实上,在实数集中,实数$a$的绝对值,即$|a|$是数轴上表示实数$a$的点与原点$O$间的距离.那么在复数集中,类似地,$|z|$是复平面内表示复数$z$的点$Z$到坐标原点间的距离,也就是向量$\overrightarrow{O Z}$的模,即$|z|=|\overrightarrow{O Z}|$.

例题解析
  • 题型一、复数的几何意义

    【例1】 在复平面内,O是原点,复数i,1,4+2i对应的点分别是A,B,C,求平行四边形ABCD的顶点D所对应的复数.

    反思

    1.复数与复平面内的点一一对应:复数的实部、虚部分别是该点的横坐标、纵坐标,利用这一点,可把复数问题转化为平面内点的坐标问题.

    2.复数与复平面内的向量一一对应:复数的实部、虚部是对应向量的坐标,利用这一点,可把复数问题转化为向量问题.

    【变式训练1】 

    (1)已知复数$z_{1}=-3+4 \mathrm{i}, z_{2}=2 a+\mathrm{i}(a \in \mathbf{R})$对应的复平面内的点分别为$Z_{1}$和$Z_{2}$,且$\overrightarrow{O Z_{1}} \perp \overrightarrow{O Z_{2}}$,求实数$a$的值;

    (2)在复平面内,若点P是复数$z=\left(m^{2}-m-2\right)+\left(m^{2}-3 m+2\right) \mathrm{i}(m \in \mathbf{R})$的对应点,请根据下列点$P$的位置分别求复数z.

    ①在虚轴上;

    ②在实轴负半轴上.

  • 题型二、复数的模的求法

    【例2】 求复数$z_{1}=3+4 i$及$z_{2}=-\frac{1}{2}-\sqrt{2} \mathrm{i}$的模,并比较它们的模的大小.

    反思

    复数$z=a+b \mathrm{i}(a, b \in \mathbf{R})$的模就是向量$\overrightarrow{O Z}=(a, b)$的模,所以$|z|=|\overrightarrow{O Z}|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$.复数一般不能比较大小,但复数的模可以比较大小.

    【变式训练2】 (1)已知复数z=(x-1)+(2x-1)i的模小于$\sqrt{10}$ ,则实数x的取值范围是(  )

    A.$-\frac{4}{5} < x < 2$       B.$x < 2$

    C.$x>-\frac{4}{5}$                     D.$x<-\frac{4}{5}$ x="">2$

    (2)设复数$z=(x+1)+(x-3) \mathrm{i}, x \in \mathbf{R}$,则$|z|$的最小值为(  )

    A.1       B.2       C.2$\sqrt{2}$       D.4

  • 题型三、复数模的意义

    【例3】 已知$|x|=3$,对于下列条件,这个方程对应的图形各是什么?

    (1)在数轴上;

    (2)在复平面内,$x \in \mathbf{C}$.

    反思

    复数的模的几何意义是复平面内表示复数对应的点到原点的距离,这可以类比实数的绝对值,也可以类比以原点为起点的向量的模来加深理解.

    【变式训练3】 设$z \in \mathbf{C}$,满足下列条件的点Z的集合是什么图形?

    (1)$|z|=2$; (2)$2<|z| < 3$.

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  • 题型四、易错辨析

    易错点:弄错复数与点的对应关系致错

    【例4】 在复平面内,已知复数$z=x-\frac{1}{3} \mathrm{i}(x \in \mathbf{R})$所对应的点都在单位圆内,则x的取值范围是________. 

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