2.1.2 数列的递推公式

时间:2019-9-9 19:05:02   作者:数学名师王老师
1.知道递推公式是给出数列的一种形式.
2.能够根据递推公式写出数列的前几项.
知识点
  • 递推公式

    如果已知数列$\left\{a_{n}\right\}$的____(或前几项),且任一项$a_{n}$与它的________________)间的关系可用一个公式来表示,那么这个公式叫做数列的递推公式.用递推公式给出数列的方法叫做递推法.

    名师点拨

    递推公式也是给出数列的一种重要方法,但并不是所有的数列都有递推公式.

    【做一做】 已知在数列$\left\{a_{n}\right\}$中,$a_{1}=3, a_{n+1}=2 a_{n}$,则$a_{3}$等于(  ).

    A.3  B.6  C.12  D.18

    解析:$a_{2}=2 a_{1}=6, a_{3}=2 a_{2}=12$

    答案:C

重难点
  • 通项公式与递推公式的异同

    剖析如表所示.

     

    不同点

    相同点

    通项公式

    可根据某项的序号,直接用代入法求出该项

    都可确定一个数列,都可求出数列的任何一项

    递推公式

    可根据第1项或前几项的值,通过一次或多次赋值逐项求出数列的项,直至求出所需的项

例题解析
  • 递推公式的应用

    【例1】 已知数列$\left\{a_{n}\right\}$的第一项是1,以后各项由公式$a_{n-1}=2 a_{n}-2(n>1)$给出,写出这个数列的前5项.

    分析先将递推公式变形为$a_{n}=1+\frac{1}{2} a n-1$,再根据递推公式写出数列的前几项.由$a_{1}=1$及$a_{2}=1+\frac{1}{2} a 1$求出$a_{2}$,这一步是解题的关键,求$a_{3}, a_{4}, a_{5}$与求$a_{2}$类似.

    反思

    根据递推公式写出数列的前几项,这类问题要弄清楚递推公式中各部分的关系,依次代入n的值计算即可.解答这类问题时还需注意:若已知首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式;若已知末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.

    【变式训练1】 已知数列$\left\{a_{n}\right\}$的第一项$a_{1}=1$,以后的各项由公式$a_{n+1}=\frac{2 a_{n}}{a_{n}+2}$给出,试写出这个数列的前5项

  • 由递推公式写出通项公式

    【例2】 已知数列$\left\{a_{n}\right\}$满足$a_{1}=1, a_{n}=a_{n-1}+\frac{1}{n(n-1)}(n \geqslant 2)$ ,写出该数列前5项,并归纳出它的一个通项公式.

    分析由首项及递推关系写出前5项,再观察前5项的规律,写出一个通项公式.

    反思

    由递推公式写出通项公式的步骤:

    (1)先根据递推公式写出数列的前几项(至少是前3项);

    (2)根据写出的前几项,归纳总结其特点,并把每一项统一形式;

    (3)写出数列的一个通项公式.

    【变式训练2】 (1)已知在数列$\left\{a_{n}\right\}$中,$a_{1}=1, \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{1}{2}$,则数列$\left\{a_{n}\right\}$的通项公式是(  ).

    $\mathrm{A} . a_{n}=2 n$  $\mathrm{B} . a_{n}=\frac{1}{2 n}$

    $\mathrm{C} . a_{n}=\frac{1}{2^{n-1}} \quad$ D. $a n=\frac{1}{n^{2}}$

    (2)在数列$\left\{a_{n}\right\}$中,已知$a_{1}=0, a_{n+1}=a_{n}+(2 n-1)$,写出这个数列的前5项,并写出数列$\left\{a_{n}\right\}$的一个通项公式.

  • 易错辨析

    易错点:忽视函数单调性与数列单调性的关系致错

    【例3】 已知在数列$\left\{a_{n}\right\}$中,$a_{n}=n^{2}-k n\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$,且$\left\{a_{n}\right\}$单调递增,求实数$k$的取值范围.

声明:本站部分内容搜集整理自互联网,如果涉及侵犯您的版权,请联系我们举报,并提供相关证据,工作人员会在5个工作日内回复您,一经查实,本站将立刻删除涉嫌侵权内容。