1.1.1 正弦定理

时间:2019-9-9 19:05:01   作者:数学名师王老师
1.了解正弦定理的推导过程,掌握正弦定理及其变形.
2.能用正弦定理解三角形,并能判断三角形的形状.
知识点
  • 1.正弦定理

    文字语言

    在一个三角形中,各边和它所对角的____的比相等

    符号语言

    在$\Delta A B C$中$\frac{\mathrm{a}}{\sin \mathrm{A}}=\frac{\mathrm{b}}{\sin \mathrm{B}}=\frac{\mathrm{C}}{\sin C}$

    作用

    解三角形、判断三角形的形状等

    知识拓展
    设$\triangle A B C$的外接圆的半径为R,

    则$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2 R$ 

    由此还可以推出以下结论:

    $(1) a : b : c=\sin A \therefore \sin B \quad \therefore \sin C$

    (2) $\frac{a}{b}=\frac{\sin A}{\sin B}, \frac{a}{c}=\frac{\sin A}{\sin C}, \frac{b}{c}=\frac{\sin B}{\sin C}$

    (3) $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=\frac{a+b+c}{\sin A+\sin B+\sin C}$

    (4) $a=2 R \sin A, b=2 R \sin B, c=2 R \sin C$

    $(5) \sin A=\frac{a}{2 R}, \sin B=\frac{b}{2 R}, \sin C=\frac{c}{2 R}$

    $(6) A < B \Leftrightarrow a < b \Leftrightarrow 2 R \sin A  \\  < 2 R \sin B \Leftrightarrow \sin A < \sin B $

    【做一做1】 在$\Delta A B C$中,$a=2, b=3$

    则$\frac{\sin A}{\sin B}$ 等于(  ).

    $\mathrm{A} \cdot \frac{3}{2} \mathrm{B} \cdot \frac{2}{3} \mathrm{C} \cdot \frac{2}{5} \mathrm{D}$.不确定

    答案:B

  • 2.解三角形

    一般地,把三角形的三个角A,B,C和它们的____a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求____的过程叫做解三角形.

    【做一做2-1】 在$\triangle A B C$中,$c=3, A=45^{\circ}, C=60^{\circ}$,则$a$=____. 

    答案:$\sqrt{6}$

    【做一做2-2】 在$\triangle A B C$中,$a=2, b=1, \sin A=\frac{1}{3}$ 则$\sin B$=

    答案:$\frac{1}{6}$

重难点
  • 确定三角形解的个数

    剖析(1)已知三角形的两角与一边,根据正弦定理,有且只有一解.

    (2)已知三角形的两边及其中一边的对角,根据正弦定理,可能有两解、一解或无解.在$\triangle A B C$中,当已知$a . b$和角$A$时,解的情况如下:

    blob.png

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    在具体解题时,作出已知角A、边AC,以点C为圆心,以边长a为半径画弧,与射线AB的公共点(除去顶点A)的个数即为三角形解的个数.

例题解析
  • 已知两角和一边解三角形

    【例1】 在$\triangle A B C$中,已知$A=60^{\circ}$,$B=45^{\circ}$,$c=2$,求$C \cdot a, b$.

    分析先根据三角形的内角和定理求出角$C$,再由正弦定理求$a,b$.

    反思

    当已知三角形的两角和一边时,解三角形的步骤如下:(1)利用三角形内角和定理求出第三个角;(2)利用正弦定理求出另外两边.

    【变式训练1】 在$\triangle A B C$中,$b=20, A=60^{\circ}, C=45^{\circ}$,求$B . a . c$.

  • 已知两边和其中一边的对角解三角形

    【例2】 在△ABC中,已知下列条件,解三角形:

    $(1) a=10, b=20, A=80^{\circ}$

    $(2) b=10, c=5 \sqrt{6}, C=60^{\circ}$

    $(3) a=\sqrt{3}, b=\sqrt{2}, B=45^{\circ}$

    反思

    已知两边和其中一边的对角解三角形的步骤:(1)利用正弦定理求出另一角的正弦值$m$,若$m>1$,则此三角形无解;若$0 < m \leqslant 1$,则执行下一步;(2)借助于三角形的内角范围和m来确定该内角的大小.在确定该角时,要注意结论“$ a < b \Leftrightarrow A < B $”的应用;(3)分类讨论该内角的大小,先用三角形的内角和定理求出第三个角,再用正弦定理求出第三边,此时可能无解,或仅有一解,或有两解.

    此类题目也可先确定三角形解的个数,再解三角形.

    【变式训练2】 (1)在$\triangle A B C$中,$A=78^{\circ}, a=5 \sqrt{2}, b=7$,则此三角形(  ).

    A.有一个解  B.有两个解

    C.无解  D.不确定

  • 判断三角形的形状

    【例3】 已知在$\triangle A B C$中,$b \sin B=c \sin C$,且$\sin ^{2} A=\sin ^{2} B+\sin ^{2} C$,试判断$\triangle A B C$的形状.

    分析设 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2 R$,

    再利用$\sin A=\frac{a}{2 R}, \sin B=\frac{b}{2 R}$,

    $\sin C=\frac{c}{2 R}$,将角的关系转化为边的关系.

    反思

    1.要判断三角形的形状,必须深入研究边与边的大小关系:是否两边相等?是否三边相等?是否符合勾股定理的逆定理?还要研究角与角的大小关系:是否两个角相等?是否三个角相等?有无直角或钝角?

    2.解此类题的思想方法是:从条件出发,利用正弦定理等进行代换、转化、化简、运算,发现边与边的关系或角与角的关系,从而作出正确判断.

    3.一般有两种转化方向:(1)角转化为边;(2)边转化为角.

    【变式训练3】 在$\triangle A B C$中,已知$a,b,c$分别是角$A,B,C$的对边,

    若 $\frac{a}{b}=\frac{\cos B}{\cos A}$,试判断$\triangle A B C$的形状.

  • 易错辨析

    易错点:由角的正弦值求角时,未讨论致错

    【例4】 在$\triangle A B C$中,$a,b,c$分别是角$A,B,C$所对应的边,且$b=6$,$a=2 \sqrt{3}, A=30^{\circ}$,求$ac$的值

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