1.1.2 余弦定理

时间:2019-9-9 19:05:01   作者:数学名师王老师
1.了解余弦定理的推导过程,掌握余弦定理及其推论.
2.能利用余弦定理解三角形,并判断三角形的形状.
知识点
  • 余弦定理

    文字语言

    三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和___-这两边与它们的夹角的余弦的积的___

    符号语言

    在$ \Delta A B C$中,


    $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A$

    $b^{2}=c^{2}+a^{2}-2 a c \cos B$

    $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cos C$

    推论

    在$ \Delta A B C $中,

    $\cos A=\frac{\mathrm{b}^{2}+\mathrm{c}^{2}-\mathrm{a}^{2}}{2 \mathrm{bc}}$

    $\cos B=\frac{\mathrm{c}^{2}+\mathrm{a}^{2}-\mathrm{b}^{2}}{2 \mathrm{ac}}$

    $\cos C=\frac{\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}-\mathrm{c}^{2}}{2 \mathrm{ab}}$


    作用

    解三角形、判断三角形的形状等

    归纳总结

    1.余弦定理的每个等式中包含四个不同的量,它们分别是三角形的三边和一个角,知道其中的三个量,便可求得第四个量,即“知三求一”.

    2.余弦定理适用的题型:

    (1)已知三边求三角,用余弦定理,有解时只有一解;

    (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他的角,用余弦定理,必有一解.

    3.余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例,余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律,是解三角形的重要工具.

    【做一做1】 在$ \Delta A B C $中,$a=4, b=4, C=30^{\circ}$,则$C^{2}$等于(  ). 

    $\begin{array}{ll}{\mathrm{A} .32-16 \sqrt{3}} & {\text { B. } 32+16 \sqrt{3}} \\ {\text { C.16 }} & {\text { D. } 48}\end{array}$

    答案:A

    【做一做2】 在$ \Delta A B C $中,$a=2, b=5, c=6$,则$\cos B$等于(  ).

    $A \cdot \frac{5}{8} B \cdot \frac{65}{24} C \cdot \frac{19}{20} D .-\frac{7}{20}$

    解析:$\cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2 a c}=\frac{2^{2}+6^{2}-5^{2}}{2 \times 2 \times 6}=\frac{5}{8}$

    答案:A

重难点
  • 1.确定三角形中内角的范围

    剖析由余弦定理可得,在$\Delta A B C$中,$\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}$

    若$A$为锐角,则$\cos A>0$,有$b^{2}+c^{2}-a^{2}>0$,即$b^{2}+c^{2}>a^{2}$;若$A$为直角,则$\cos A=0$,有$b^{2}+c^{2}-a^{2}=0$,即$b^{2}+c^{2}=a^{2}$;若A为钝角,则$\cos A < 0$,有$b^{2}+c^{2}-a^{2} < 0$,即$b^{2}+c^{2} < a^{2}$.

    由此可得:$A$为锐角$\Leftrightarrow a^{2} < b^{2}+c^{2}$;

       $A$为直角$\Leftrightarrow a^{2}=b^{2}+c^{2}$;

        $A$为钝角$\Leftrightarrow a^{2}>b^{2}+c^{2}$.

    知识拓展$a^{2}=b^{2}+c^{2} \Rightarrow \triangle A B C$为直角三角形;

    $a^{2}>b^{2}+c^{2} \Rightarrow \triangle A B C$为钝角三角形;

    $a^{2} < b^{2}+c^{2}$$\not \Rightarrow \triangle A B C$为锐角三角形.

    说明:$a^{2} < b^{2}+c^{2}$只能得到$ \cos A>0 $,即只能得到角$A$为锐角,但是不能保证角$B,C$也为锐角,所以不能得到$\triangle A B C$为锐角三角形.

    $a^{2} < b^{2} + c^{2} $ 只能得到$\cos A  >0$,即只能得到角A为锐角,但是不能保证角B,C也为锐角,所以不能得到△ABC为锐角三角形.

  • 2.利用正弦定理、余弦定理求角的区别

    剖析如表所示.

     

    余弦定理

    正弦定理

    相同点

    先求某种三角函数值,再求角

    条件

    已知三边

    已知两边及一边的对角

    依据

    $\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}$

    $\sin A=\frac{\operatorname{asin} \mathrm{B}}{\mathrm{b}}$等

    求角

    解方程$\cos A=m, \\  A  \in(0, \pi)$

    解方程$\sin A=m, \\  A \in(0, \pi)$

    检验

    $y=\cos x$在$(0, \pi)$内为减函数,解方程所得的解唯一

    $y=\sin x$在$(0, \pi)$内先增后减,解方程所得的解不一定唯一,有时需分类讨论

例题解析
  • 已知两边及夹角解三角形

    【例1】 在$\triangle A B C$中,已知$ a=2, b=2 \sqrt{2}, C=15^{\circ}$解此三角形.

    分析思路一:可先用余弦定理求边$c$,再用正弦定理求角$A$,最后用三角形内角和定理求出角$B$.

    思路二:可先用余弦定理求边$c$,再用余弦定理的推论求角$A$,最后用三角形内角和定理求出角$B$.

    反思

    已知两边及其夹角解三角形(此时有唯一解)的步骤:

    方法一:

    (1)利用余弦定理求出第三边;

    (2)利用正弦定理求出另外一个角;

    (3)利用三角形内角和定理求出第三个角.

    方法二:

    (1)利用余弦定理求出第三边;

    (2)利用余弦定理的推论求出另外一个角;

    (3)利用三角形内角和定理求出第三个角.

    此时方法一中(2)通常需要分类讨论,因此建议应用方法二解三角形.

    【变式训练1】 在$\triangle A B C$中,已知$a=8, B=60^{\circ}, c=4(\sqrt{3}+1)$,解此三角形.


    已知三边解三角形

    【例2】 已知$\triangle A B C$的三边长分别为$a=2 \sqrt{3}, b=2 \sqrt{2}, c=\sqrt{6}+\sqrt{2}$,求$\triangle A B C$的各角度数.

    分析利用余弦定理的推论求出两个角,利用三角形的内角和定理求出第三个角.


    反思

    已知三边解三角形的步骤:

    (1)分别用余弦定理的推论求出两个角;

    (2)用三角形内角和定理求出第三个角.

    【变式训练2】 在$\triangle A B C$中,已知$B C=7, A C=8, A B=9$,试求$AC$边上的中线长.

  • 已知两边及一边的对角解三角形

    【例3】 在$\triangle A B C$中,已知$b=3, c=3 \sqrt{3}, B=30^{\circ}$求边$a$的长

    反思

    当已知两边和其中一边的对角解三角形时,若用余弦定理先求第三边,可根据求出值的正、负,利用边为正值确定无解、一解,还是两解,极易判断,不易漏解;若用正弦定理先求另一边的对角时,需要根据角、边的大小和正弦值的情况判断解的情况,以免漏解.

    【变式训练3】 在$\triangle A B C$中,角$A,B,C$的对边分别为$a,b,c$, $A=\frac{\pi}{2}, a=\sqrt{3}, b=1$,则c等于(  )

    A.1    B.2 

    C.2或-1 D.$\sqrt{3}$

  • 判定三角形的形状

    【例4】 在$\triangle A B C$中,若$b^{2} \sin ^{2} C+c^{2} \sin ^{2} B=2 b c \cos B \cos C$,试判断$\triangle A B C$的形状.

    反思
    判定三角形的形状,主要看其是不是等边三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形等,要注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别.依据边角关系判断时,主要有两条途径:

    (1)利用正弦定理转化为内角三角函数间的关系,通过三角恒等变形,得出内角的关系,从而判断三角形的形状,这时要注意使用“A+B+C=π”这个结论.也可利用正弦定理完全转化为边的关系,再通过变形,从而判断三角形的形状.

    (2)利用余弦定理转化为边之间的关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.

    【变式训练4】 在$\triangle A B C$中,若$(a-c \cos B) \sin B=(b-c \cos A) \sin A$,判断$\triangle A B C$的形状.

  • 易错辨析

    易错点:忽略三角形各边满足的条件致错

    【例5】 在钝角三角形$ABC$中,$a=1,b=2,c=t$,且$C$是最大角,求$t$的取值范围.

    反思

    解题时,容易忽略三角形的三边满足两边之和大于第三边,从而使某些参数的取值范围变大.

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