1.2.4 几何计算问题

时间:2019-9-9 19:05:02   作者:数学名师王老师
1.复习巩固正弦定理、余弦定理.
2.能用正弦定理、余弦定理计算三角形的面积等
知识点
  • 正弦定理

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    【做一做1】 在$\triangle A B C$中,$a=\sqrt{2}, A=45^{\circ}$,则$\triangle A B C$外接圆的半径$R$等于(  ).

    $A.1  B.2  C.4  D.$无法确定

    答案:A

  • 2.余弦定理

    blob.png

    【做一做2】 边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是(  ).

    A.$90^{\circ}$  B.$120^{\circ}$  C.$135^{\circ}$  D.$150^{\circ}$

    答案:B

  • 3.几何计算问题

    在$\triangle A B C$中,边BC,CA,AB上的高分别记为ha,hb,hc,则

    (1) $h_{a}=b \sin C= c \sin B$

    (2) $h_{b}=c \sin A= a \sin C$

    (3) $h_{c}=a \sin B= b \sin A$

    (4)$S=\frac{1}{2} a b \sin C=\frac{1}{2} a c \sin B=\frac{1}{2} b c \sin A$

    知识拓展
    三角形中的计算、证明问题除正弦定理、余弦定理外,常见的公式还有:

    $(1)P=a+b+c(P$为三角形的周长$)$;

    $(2)A+B+C=\pi$;

    $(3) S=\frac{1}{2}$ aha $(h a$表示a边上的高$)$;

    $(4) S=\frac{a b c}{4 R}($可用正弦定理推得$)$;

    $(5) S=2 R^{2} \sin A \sin B \sin C(R$是三角形外接圆的半径$)$; 

    $(6) S=\frac{1}{2} r(a+b+c)(r$为三角形内切圆的半径$)$;

    (7)海伦公式:$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$,其中$p=\frac{1}{2}(a+b+c)$.

    【做一做3】 在$\triangle A B C$中,$a=4, b=2, C=45^{\circ}$,则$\triangle A B C$的面积$S=$_______. 

    答案:2$\sqrt{2}$

重难点
  • 1.三角形中的常用结论

    剖析在$\triangle A B C$中,边、角之间的关系有以下常用结论:

    $(1) a+b>c . b+c>a, c+a>b$

    $(2) a-b < c . b-c < a . a-c < b$

    $(3) A+B+C=\pi$

    $(4) a>b \Leftrightarrow A>B \sin A>\sin B$

    $(5) a=b \Leftrightarrow A=B$

    $(6)A$为锐角$\Leftrightarrow \cos A > 0 \Leftrightarrow a^{2}< b^{2}+c^{2}$;

    $A$为钝角$\Leftrightarrow \cos A < 0 \Leftrightarrow a^{2} > b^{2}+c^{2}$

    $A$为直角$\Leftrightarrow \cos A=0 \Leftrightarrow a^{2}=b^{2}+c^{2}$.

    $(7) \sin (A+B)=\sin C \cos (A+B)=-\cos C$

    $(8) \sin \frac{A+B}{2}=\cos \frac{C}{2}, \cos \frac{A+B}{2}=\sin \frac{C}{2}$

  • 2.解三角形

    剖析解三角形有四种情况,如下表所示:

    已知条件

    应用定理

    一般解法

    一边和两角(如$a, B, C$)

    正弦定理

    由$A+B+C=180^{\circ}$,求角$A$;由正弦定理求出$b$与$c$;在有解时只有一解

    两边和夹角(如$a, b, C$)

    余弦定理

    正弦定理

    由余弦定理求第三边$c$;由正弦定理求出小边所对的角;再由$A+B+C=180^{\circ}$;求出另一角;在有解时只有一解

    三边($a, b, c$)

    余弦定理

    由余弦定理求出角$A,B$;再利用$A+B+C=180^{\circ}$;,求出角$C$;在有解时只有一解

    已知条件

    应用定理

    一般解法

    两边和其中一边的对角(如$a, b, A$)

    正弦定理

    由正弦定理求出角$B$;由$A+B+C=180^{\circ}$;,求出角$C$;再利用正弦定理求出第三边$c$;可有一解、两解或无解

例题解析
  • 求三角形的面积

    【例1】 在$\triangle A B C$中,根据下列条件,求三角形的面积$S$.

    (1)已知$a=3 \mathrm{cm}, c=4 \mathrm{cm} . B=30^{\circ}$;

    (2)已知$A=75^{\circ}, C=45^{\circ} \quad, b=4 \mathrm{cm}$.

    分析(1)可根据面积公式$S=\frac{1}{2} a c \sin B$直接求解;

    (2)要求三角形的面积,需知道三角形的两边及其夹角.

    反思

    求三角形的面积,常结合正弦定理、余弦定理,只要求得三角形中的两边及其夹角即可求出面积.

    在三角形中,当涉及两边的和、两边的积或两边的平方和或三角形的面积时,常用余弦定理解答.

    【变式训练1】 设△ABC的内角$A,B,C$所对的边长分别为$a,b,c$,且

    $\cos B=\frac{4}{5}, b=2$

    (1)当$A=30^{\circ}$时,求$a$的值;

    (2)当$\triangle A B C$的面积为3时,求$a+c$的值.

  • 三角形中的计算问题

    【例2】 在$\triangle A B C$中,若$c=4, b=7, B C$边上的中线$AD$的长为$\frac{7}{2}$,求边长$a$.

    分析可设$C D=D B=x$,则$a=2 x$,在$\triangle A C D$和$\triangle A C B$中,$\angle A C B$是公共角,使用两次余弦定理,便可求出$x$.

    blob.png

    反思

    1.有关长度问题,要有方程意识.设未知数,列方程求解是经常用到的方法.列方程时,要注意一些隐含关系的应用.

    2.要灵活运用正、余弦定理及三角形面积公式.

    【变式训练2】 如图,在梯形$ABCD$中,$A D / / B C, A B=5, A C=9, \angle B C A=30^{\circ} \quad, \\ \angle A D B=45^{\circ}$,求$BD$的长.

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  • 三角形的综合问题

    【例3】 在$\triangle A B C$中,内角$A,B,C$的对边分别是$a,b,c$.已知$c=2, C=\frac{\pi}{3}$

    (1)若$\Delta A B C$的面积等于$\sqrt{3}$,求$a,b$的值;

    (2)若$\sin C+\sin (B-A)=2 \sin 2 A$,求$\triangle A B C$的面积.

    分析(1)利用余弦定理和面积公式列关于$a,b$的方程组求解;

    (2)先利用正弦定理得$a$与b的关系,再利用余弦定理得$a$与$b$的另一个关系,列方程组求解$a,b$,进而求面积.


    反思

    解决三角形的综合问题,除灵活运用正、余弦定理及三角形的有关知识外,一般还要用到三角函数、三角恒等变换、方程等知识.因此,掌握正、余弦定理、三角函数的公式和性质是解题的关键.

    【变式训练3】 在$\triangle A B C$中,角$A,B,C$所对的边分别为$a,b,c$,设S为$\triangle A B C$的面积,满足$S=\frac{\sqrt{3}}{4}(a 2+b 2-c 2)$

    (1)求角$C$的大小;

    (2)求$\sin A+\sin B |$的最大值.

  • 易错辨析

    易错点:忽视三角形中角的取值范围致错

    【例4】 在$\triangle A B C$中,$a,b,c$是角$A,B,C$的对边,$\triangle A B C$的面积为$S$,若$a=4, b=5, S=5 \sqrt{3}$求$c$的长.

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