1.2.3 角度问题

时间:2019-9-9 19:05:02   作者:数学名师王老师
1.复习巩固正弦定理、余弦定理.
2.能利用正弦定理、余弦定理解决角度问题.
知识点
  • 1.正弦定理

    (1)定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,

    即$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$

    (2)应用:可解两类三角形:①已知两角及一边,解三角形;②已知两边及其中一边的对角,解三角形.

    2.解三角形【做一做1】 在$\Delta A B C$中,$a=5, \sin A=\frac{1}{3}, b=\frac{15}{4}$,则 $\sin B$=_________. 

    答案:$\frac{1}{4}$

  • 2.余弦定理

    (1)定理:三角形中任何一边的平方等于其他两边的_________减去这两边与它们的夹角的余弦的___的两倍.即

    $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cos C$

    $b^{2}=a^{2}+c^{2}-2 a c \cos B$

    $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A$

    (2)推论:$\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c} ; \cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2 a c} ; \\  \cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a b}$

    (3)应用:可解两类三角形:①已知三边解三角形;②已知两边和它们的夹角解三角形.

    【做一做2】 在$\triangle A B C$中,$a=3, b=5, c=7$,则$\cos A=$______________.

    答案:$\frac{13}{14}$

  • 3.测量中有关角的概念

    (1)方位角:指从正北方向_______转到目标方向线所成的水平角.如点B的方位角为α.(如图)

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    方位角的其他表示,如:

    ①正南方向:指从原点O出发的经过目标的射线与正南的方向线重合,即目标在正南的方向线上,依此可类推正北方向、正东方向和正西方向.

    ②东南方向:指经过目标的射线是正东方向和正南方向的夹角的______.

    (2)方向角:从指定方向线到目标方向线所成的小于$90^{\circ}$的水平角.如南偏西$60^{\circ}$,指以正南方向为始边,顺时针方向向西旋转$60^{\circ}$.

重难点
  • 解应用问题需注意的问题

    剖析(1)注意作图的准确性,通过积累、归纳,学会根据题目已知的方向角、方位角、仰角、俯角等已知量顺利地作出图形.特别当一些题目的图形是空间立体图形时,除要作好图形外,还要发挥空间想象力.

    (2)注意数学思想方法的应用:①化归与转化思想,即将实际问题抽象概括,转化为解三角形的问题;②方程思想,即在三角形中应用正弦定理、余弦定理列方程求解;③函数思想,题目中涉及最值问题的往往需要考虑建立函数解析式来求最值.

    (3)解三角形应用题常常为综合知识的应用,此类问题常与方程、函数、平面几何、立体几何等知识结合,因此,应注重知识间的联系.

例题解析
  • 角度问题

    【例题】 某渔船在航行中不幸遇险,发出呼救信号,我海军舰艇在$A$处获悉后,立即测出该渔船在方位角为$45^{\circ}$,距离$A$为10海里的$C$处,并测得渔船正沿方位角为$105^{\circ}$的方向,以9海里/时的速度向小岛靠拢,我海军舰艇立即以21海里$/$时的速度前去营救,求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间.(精确到$0.1^{\circ}$)

    分析首先根据题意画出图形,若设相遇点为$B^{\prime}$,由题意可知$A C=10$海里,$\angle A C B^{\prime}=120^{\circ}$,再利用舰艇靠近渔船所需的时间与渔船用的时间相同,这样解$\triangle A B^{\prime} C$即可.

    反思

    解答此类问题,首先应明确各个角的含义,然后分析题意,分清已知和所求,再根据题意画出正确的示意图,将图形中的已知量与未知量之间的关系转化为三角形中边与角的关系,运用正弦定理、余弦定理求解.

    【变式训练】如图,甲船在$A$处观察到乙船在它的北偏东$60^{\circ}$方向的$B$处,两船相距$a$海里,乙船正向北行驶,若甲船速度是乙船速度的$\sqrt{3}$倍,问甲船应沿什么方向前进才能在最短时间内追上乙船,此时乙船行驶了多少海里?

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