1.2.2 高度问题

时间:2019-9-9 19:05:02   作者:数学名师王老师
1.复习巩固正弦定理、余弦定理.
2.能够用正弦定理、余弦定理解决高度问题.
知识点
  • 1.正弦定理

    (1)定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比_____,即$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$

    (2)应用:正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题:

    ①已知_____和任意一边,求另两边和另一角;

    ②已知_____和其中一边的对角,求另一边的对角,进而求其他的边和角.

    【做一做1】 在$\Delta A B C$中,$A=30^{\circ}, B=45^{\circ}, a=\sqrt{2}$,则$b=$__________.

    答案:2

  • 2.余弦定理

    (1)定理:三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍,即$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A, \\ b^{2}=a^{2}+c^{2}-2 a c \cos B, \\ c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cos C, .$ 

    (2)推论:$\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}, \cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2 a c}, \\ \cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a b}$.

    (3)应用:余弦定理可以用来解决两类解三角形的问题:

    ①已知三角形的三边,求三角形的三个角;

    ②已知三角形的两边和它们的夹角,求三角形的第三边和其他两个角.

    【做一做2】 在$\triangle A B C$中,$A,B,C$所对的边分别为$a,b,c$,若$a=1, b=\sqrt{7}, c=\sqrt{3}$则B_________________.

    答案:$\frac{5 \pi}{6}$

  • 3.测量中的有关概念

    (1)坡角:坡面与___________的夹角,如图所示,α为坡角.

    (2)坡比:坡面的铅直高度与___________之比,


    即$i=\frac{h}{l}=\tan \alpha$,如图所示.

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    (3)仰角和俯角:与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和______视线的夹角,目标视线在水平视线上方时叫仰角,目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图所示).

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    (4)铅直平面:铅直平面是指与海平面______的平面.

    (5)基线:在测量上,根据测量需要适当确定的线段.

重难点
  • 1.高度问题

    剖析在测量底部不可到达的建筑物的高度问题时,由于底部不可到达,因此这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决,但常用正弦定理或余弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离,然后转化为解直角三角形的问题.

    归纳总结
    在测量底部不可到达的建筑物的高度时,可以借助正弦定理或余弦定理,构造两角(两个仰角或两个俯角)和一边或三角(两个方向角和仰角)和一边,如图.

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  • 2.利用解三角形解决实际问题

    剖析解三角形知识在生产实践中有着广泛的应用,解与三角形有关的实际问题的过程,贯穿了数学建模的思想.这种思想就是从实际出发,经过抽象概括,把它转化为具体问题中的数学模型,然后通过推理演算,得出数学模型的解,再还原成实际问题的解.上述思维过程可以用下图表示.

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    解三角形应用题的一般步骤是:

    (1)分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图,化实际问题为数学问题.

    (2)建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中,建立一个解三角形的数学模型.

    (3)求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解.

    (4)检验:检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解.

例题解析
  • 测量能看到底部但不可到达的物体的高度

    【例1】 如图,在测量河对岸的塔高$AB$时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个测量点$C$和$D$.现测得$\angle B C D=\alpha, \angle B D C=\beta, C D=s$,并在点$C$测得塔顶A的仰角为$\theta$,求塔高$AB$.

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    分析先利用三角形内角和定理求出$\angle C B D$的度数,再利用正弦定理求出$BC$的长,最后在$\triangle A B C$中求出AB即为塔高.

    反思解决测量高度问题的步骤: 

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    【变式训练】如图,从山顶$A$望地面上$C,D$两点,测得它们的俯角分别为$45^{\circ}$和$30^{\circ}$,已知$C D=100 \mathrm{m}$,点$C$位于$BD$上,则山高$AB$等于(  ).

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    A. 100 $\mathrm{m}$

    $\mathrm{B} .50 \sqrt{3} \mathrm{m}$

    C. 50$\sqrt{2} \mathrm{m}$

    $\mathrm{D} .50(\sqrt{3}+1) \mathrm{m}$

  • 测量不能看到底部且不可到达的物体的高度

    【例2】 在某一山顶观测山下两村庄$A,B$,测得A的俯角为$30^{\circ}$,B的俯角为$40^{\circ}$,观测$A,B$两村庄的视角为$50^{\circ}$.已知$A,B$在同一平面上,且相距1 000 m,求山的高度.(结果精确到1 m)

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