1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象

时间:2019-9-9 19:05:02   作者:数学名师王老师
1.了解利用正弦线作正弦函数图象的方法.
2.掌握正弦函数、余弦函数的图象,知道它们之间的关系.
3.会用“五点法”画正弦函数、余弦函数的图象.
知识点
  • 1.正弦函数、余弦函数图象的画法

    (1)几何法:利用正弦线画函数$y=\sin x, x \in[0,2 \pi]$的图象,是把角$x$的正弦线向右平移,使它的起点与$x$轴上的点$x$重合,再用光滑的曲线把这些正弦线的终点连接起来,就得到函数$y=\sin x, x \in[0,2 \pi]$的图象.

    $y=\sin x, x \in[0,2 \pi]$的图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度),就可以得到正弦函数$y=\sin x, x \in \mathbf{R}$的图象.

    (2)五点法:用“五点法”作函数$y=\sin x, x \in[0,2 \pi]$的图象的步骤是: 

    ①列表: 


    $x$

    0

    $\frac{\pi}{2}$

    $\pi$

    $\frac{3 \pi}{2}$

    2$\pi$

    $y=\sin x$

    0

    1

    0

    -1

    0

    ②描点:在平面直角坐标系中描出五点:$(0,0),\left(\frac{\pi}{2}, 1\right),(\pi, 0),\left(\frac{3 \pi}{2},-1\right),(2 \pi, 0)$.

     

     ③用光滑的曲线顺次连接这五个点,得正弦函数在[0,2π]上的简图. 

    归纳总结

    1.“五点法”只是画出y=sin x和y=cos x在[0,2π]上的图象.

    2.若$x \in \mathbf{R}$,可先作出正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的图象,再通过左、右平移可得到y=sin x和y=cos x的图象.

    【做一做1-1】 用五点法画$y=\sin x, x \in[0,2 \pi]$的图象时,最高点的横坐标与最低点的横坐标的差为(  )

    A.π               B.2π             C.$\frac{\pi}{2}$      D.$\frac{3 \pi}{2}$

    答案:A

    【做一做1-2】 用五点法画$y=\cos x, x \in[0,2 \pi]$的图象时,这五个点的纵坐标的和等于(  )

    A.-1    B.0    C.1    D.2

    解析:1+0+(-1)+0+1=1.

    答案:C

  • 2.正弦曲线、余弦曲线

    (1)定义:正弦函数$y=\sin x, x \in \mathbf{R}$和余弦函数$y=\cos x, x \in \mathbf{R}$的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.

    (2)图象如图.

    image.png

    名师点拨

    将$y=\sin x, x \in \mathbf{R}$的图象向左平移$\frac{\pi}{2}$个单位得$y=\cos x, x \in \mathbf{R}$的图象,因此$y=\sin x, x \in \mathbf{R}$与$y=\cos x, x \in \mathbf{R}$的图象形状相同,只是在直角坐标系中的位置不同.

    【做一做2-1】 下列各点中,不在y=sin x图象上的是 (  )

    A. $(0,0)$     B.$\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)$     C. $\left(\frac{3 \pi}{2},-1\right)$     D.$(\pi, 1)$

    答案:D

    【做一做2-2】 x轴与函数$y=\cos x, x \in \mathbf{R}$的图象的交点有(  )

    A.0个     B.1个     C.2个     D.无数个

    答案:D

重难点
  • “五点法”画正弦函数和余弦函数的图象 

    剖析:画正弦函数$y=\sin x, x \in[0,2 \pi]$的图象有五个关键点,它们是$(0,0),\left(\frac{\pi}{2}, 1\right),(\pi, 0),\left(\frac{3 \pi}{2},-1\right),(2 \pi, 0)$,因此描出这五点后,正弦函数$y=\sin x, x \in[0,2 \pi]$图象的形状基本上就确定了.在连线时,曲线经过最高点或最低点的连线要保持“光滑”.用“五点法”画余弦函数$y=\cos x, x \in[0,2 \pi]$的图象时也是一样.

例题解析
  • 题型一、画三角函数的图象

    【例1】 画函数$y=-\sin x, x \in[0,2 \pi]$的简图.

    【变式训练1】 用“五点法”作出$y=1+\cos x(0 \leq x \leq 2 \pi)$的简图.

  • 题型二、正弦曲线、余弦曲线的应用

    【例2】 判断方程$x^{2}-\cos x=0$的根的个数.

    反思

    关于方程根的个数问题,往往运用数形结合方法构造函数,转化为求函数图象交点的个数问题来解决.

    【变式训练2】 (1)方程$2^{x}=\cos x$的实根有(  )

    A.0个  B.1个 

    C.2个  D.无数个

    (2)当$x \in[0,2 \pi]$时,满足$2 \cos x-1 < 0$的解集为_______. 

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