1.3.2 诱导公式五、六

时间:2019-9-9 19:05:02   作者:数学名师王老师
1.理解和掌握诱导公式五、六及其结构特征,掌握这两个诱导公式的推导和记忆方法.
2.掌握六组诱导公式,并能运用公式进行一般的三角关系式的化简和证明.
知识点
  • 诱导公式五、六如下表:

    公式五

    $\sin \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos \alpha$

    $\cos \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin \alpha$

    公式六

    $\sin \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=\cos \alpha$

    $\cos \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin \alpha$

    公式五和公式六可以概括为:

    $\frac{\pi}{2} \pm \alpha$的正弦(余弦)函数值,分别等于α的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号,公式一~六都叫做诱导公式

    归纳总结

    诱导公式五和六可用口诀“函数名改变,符号看象限”记忆,“函数名改变”是指正弦变余弦,余弦变正弦.“符号看象限”是把α看成锐角时原三角函数值的符号.

    【做一做1】 已知$\sin 25.7^{\circ}=m$,则$\cos 64.3^{\circ}$等于(  )

    A.m      B.-m

    C.$m^{2}$      D.$\sqrt{1-m^{2}}$

    答案:A

    【做一做2】 已知$\cos 10^{\circ}=a$,则$\sin 100^{\circ}=$(a)。

    答案:a

重难点
  • 1.对诱导公式五、六的认识

    剖析:(1)公式五和公式六可概括如下:

    $\frac{\pi}{2} \pm \alpha$的正弦(余弦)函数值,分别等于α的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.简记为“函数名改变(正余互变),符号看象限”.

    (2)把α看成锐角,实际上α可以为任意角.

    (3)运用公式五或公式六,可以实现正弦函数与余弦函数的转化,在三角恒等变形中,起到改变函数名称的作用.

  • 2.记忆六组诱导公式

    剖析:由$2 k \pi+\alpha=4 k \cdot \frac{\pi}{2}+\alpha(k \in \mathbf{Z}),-\alpha=0 \cdot \frac{\pi}{2}-\alpha$,$\pi \pm \alpha=2 \cdot \frac{\pi}{2} \pm \alpha, \frac{\pi}{2} \pm \alpha=1 \cdot \frac{\pi}{2} \pm \alpha$,则这六组诱导公式也可以统一用口诀“奇变偶不变,符号看象限”来记忆,即$k \cdot \frac{\pi}{2} \pm \alpha(k \in \mathbf{Z})$的三角函数值,当k为偶数时,得α的同名三角函数值;当k为奇数时,α的正余互换,然后前面加上一个把α看成锐角时原三角函数值的符号,口诀中的“奇”和“偶”指k的奇偶性.如$\sin \left(\frac{11 \pi}{2}+\alpha\right)$中的k=11是奇数,且把α看成锐角时,$\frac{11 \pi}{2}+\alpha$是第四象限角,第四象限角的正弦值是负数,所以$\sin \left(\frac{11 \pi}{2}+\alpha\right)=-\cos \alpha$

例题解析
  • 题型一、求值

    【例1】 已知$\sin \left(\frac{\pi}{6}+\alpha\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}$,求$\cos \left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)$的值.

    反思

    已知关于$\alpha$的三角函数值,求角$\beta$的三角函数时,先观察是否有$\alpha \pm \beta=\frac{k \pi}{2}(k \in \mathbf{Z})$,若有,则将$\beta$用$\alpha$表示出来,再利用诱导公式求出$\beta$的三角函数值.

    【变式训练1】 

    (1)已知$\sin \left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{3}$,则$\cos \left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)$的值等于(  ) 

    A.$\frac{2 \sqrt{2}}{3}$        B.$-\frac{2 \sqrt{2}}{3}$      C.$\frac{1}{3}$      D.$-\frac{1}{3}$ 

    (2)若$\sin (\pi+\alpha)+\cos \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-m$,则$\cos \left(\frac{3 \pi}{2}-\alpha\right)+2 \sin (6 \pi-\alpha)=$________.

  • 题型二、化简三角函数式

    【例2】 化简$\frac{\cos \left(\frac{5 \pi}{2}-\alpha\right) \cos (-\alpha)}{\sin \left(\frac{3 \pi}{2}+\alpha\right) \cos \left(\frac{21 \pi}{2}-\alpha\right)}=$________。

    【变式训练2】 化简$\frac{\cos (\pi+\theta)}{\cos \theta[\cos (\pi-\theta)-1]}+\frac{\cos (\theta-2 \pi)}{\sin \left(\theta-\frac{3 \pi}{2}\right) \cos (\theta-\pi)-\sin \left(\frac{3 \pi}{2}+\theta\right)}$

  • 题型三、证明三角恒等式

    【例3】 求证:$\frac{\tan (2 \pi-\alpha) \cos \left(\frac{3 \pi}{2}-\alpha\right) \cos (6 \pi-\alpha)}{\sin \left(\alpha+\frac{3 \pi}{2}\right) \cos \left(\alpha+\frac{3 \pi}{2}\right)}=-\tan \alpha$

    分析:解答本题可直接利用诱导公式对等式左边进行化简,推出右边.

    【变式训练3】 求证:

    $\frac{\sin \theta+\cos \theta}{\sin \theta-\cos \theta}=\frac{2 \sin \left(\theta-\frac{3 \pi}{2}\right) \cos \left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)-1}{1-2 \sin ^{2}(\pi+\theta)}$

  • 题型四、易错辨析

    易错点 用错诱导公式致错

    【例4】 已知$\sin \left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)=a, 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$,求$\sin \left(\frac{5 \pi}{4}+\alpha\right)$的值.

    反思

    诱导公式共有六组16个公式,公式较多,易错记错用(如本题错解),特别是诱导公式右边的符号要记准.

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