1.3.1 诱导公式二、三、四

时间:2019-9-9 19:05:02   作者:数学名师王老师
1.掌握π±α,-α,π/2-α的终边与α的终边的对称性.
2.理解和掌握诱导公式二、三、四及结构特征,掌握这三个诱导公式的推导方法和记忆方法.
3.会初步运用诱导公式二、三、四求三角函数的值,并会进行一般的三角关系式的化简和证明.
知识点
  • 1.特殊角的终边对称性

    (1)π+α的终边与角α的终边关于原点对称,如图①;

    (2)-α的终边与角α的终边关于x轴对称,如图②;

    (3)π-α的终边与角α的终边关于y轴对称,如图③;

    (4)$\frac{\pi}{2}-\alpha$的终边与角α的终边关于直线$y=x$对称,如图④.

    image.png

    【做一做1】 已知α的终边与单位圆的交点为$P\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right), \pi+\alpha,-\alpha, \pi-\alpha, \frac{\pi}{2}-\alpha$的终边与单位圆分别交于P1,P2,P3,P4,则有(  ) 

    A.$P 1\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$      B.$P 2\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

    C.$P 3\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$     D.$P 4\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$

    答案:C

  • 2.诱导公式

    公式一

    $\sin (\alpha+2 k \pi) \\ =\sin \alpha$

    $\cos (\alpha+2 k \pi) \\ =\cos \alpha$

    $\tan (\alpha+2 k \pi) \\ =\tan \alpha$

    公式二

    $\sin (\pi+\alpha) \\ =-\sin \alpha$

    $\cos (\pi+\alpha) \\ =-\cos \alpha$

    $\tan (\pi+\alpha) \\ =\tan \alpha$

    公式三

    $\sin (-\alpha) \\ =-\sin \alpha$

    $\cos (-\alpha) \\ =\cos \alpha$

    $\tan (-\alpha) \\ =-\tan \alpha$

    公式四

    $\sin (\pi-\alpha) \\ =\sin \alpha$

    $\cos (\pi-\alpha) \\ =-\cos \alpha$

    $\tan (\pi-\alpha) \\ =\tan \alpha$

    说明:(1)公式一中$k \in \mathbf{Z}$.

    (2)公式一~四可以概括为

    $\alpha+k \cdot 2 \pi(k \in \mathbf{Z}),-\alpha, \pi \pm \alpha$的三角函数值,等于$\alpha$同名函数值,前面加上一个把$\alpha$;看成锐角时原函数值的符号

    归纳总结

    诱导公式一~四可用口诀“函数名不变,符号看象限”记忆,其中“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名,“符号”是指等式右边是正号还是负号,“看象限”是指把α看成锐角时等式左边三角函数值的符号.

    【做一做2-1】 若$\cos \alpha=m$,则cos(-α)等于(  )

    A.m  B.-m

    C.|m|  D.$m^{2}$

    答案:A

    【做一做2-2】 若$\sin (\pi+\alpha)=\frac{1}{3}$,则sin α等于(  ) 

    A.$\frac{1}{3}$    B.$-\frac{1}{3}$      C.3       D.-3

    答案:B

    【做一做2-3】 已知tan α=4,则tan(π-α)等于(  )

    A.π-4     B.4  C.-4  D.4-π

    答案:C

  • 3.公式一~四的应用

    image.png

    【做一做3】 若$\cos 61^{\circ}=m$,则$\cos \left(-2041^{\circ}\right)$=(  )

    A.m  B.-m  C.0  D.与m无关

    答案:B

重难点
  • 对诱导公式一~四的理解

    剖析:(1)在角度制和弧度制下,公式都成立.

    (2)公式中的角α可以是任意角,但对于正切函数而言,公式成立是以正切函数有意义为前提条件的.

    (3)公式一~四,等式两边的“函数名”不变,是对三角函数名称而言.

    (4)利用公式求三角函数.“符号看象限”看的应该是诱导公式中,把α看成锐角时原函数值的符号,而不是α的三角函数值的符号,例如sin(2π-α)中,把α看成锐角,则2π-α是第四象限角,此时sin(2π-α) < 0,所以sin(2π-α)=-sin α.

例题解析
  • 题型一、求任意角的三角函数值

    【例1】 求$\sin \left(-1200^{\circ}\right) \cos 1290^{\circ}+ \\  \cos \left(-1020^{\circ}\right) \sin \left(-1050^{\circ}\right)+\tan 945^{\circ}$
    的值.

    分析:先利用诱导公式把任意角的三角函数转化成锐角的三角函数再求值

    反思

    利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤:

    (1)“负化正”:用公式一或三来转化;

    (2)“大化小”:用公式一将角化为0~2π的角;

    (3)“小化锐”:用公式二或四将大于$\frac{\pi}{2}$的角转化为锐角;

    (4)“锐求值”:得到锐角的三角函数后求值.

    【变式训练1】 求值:(1)$\sin 1320^{\circ}$;(2)$\cos \left(-\frac{31 \pi}{6}\right)$.

  • 题型二、化简三角函数式

    【例2】 化简:$\frac{\cos (\alpha+\pi) \sin ^{2}(\alpha+3 \pi)}{\tan (\alpha+\pi) \cos ^{3}(-\alpha-\pi)}$

    分析:先用诱导公式化为α的三角函数,使角统一,再切化弦或弦化切,使三角函数名最少.

    反思

    三角函数式化简的常用方法:

    (1)合理转化:①将角化成$2 k \pi \pm \alpha, k \in \mathbf{Z}, \pi \pm \alpha$,的形式.②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数.

    (2)切化弦或弦化切:多数情况下需将表达式中的切函数转化为弦函数,有时也将弦函数化为切函数.

    (3)注意“1”的应用:$1=\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha=\tan \frac{\pi}{4}$。

    【变式训练2】 化简:

    (1)$\frac{\sin (5 \pi+\alpha) \cos (\pi-\alpha)}{\cos (2 \pi-\alpha) \sin (-\pi+\alpha)}$

    (2)$\frac{\sin \left(1440^{\circ}+\alpha\right) \cdot \cos \left(\alpha-1080^{\circ}\right)}{\cos \left(-180^{\circ}-\alpha\right) \cdot \sin \left(-\alpha-180^{\circ}\right)}$

  • 题型三、求三角函数式的值

    【例3】 已知$\cos \left(\frac{\pi}{6}-\alpha\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}$,求$\cos \left(\frac{5 \pi}{6}+\alpha\right)-\sin 2\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)$的值.

    反思

    解决条件求值问题的方法:

    (1)解决条件求值问题,要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系.

    (2)可以将已知式进行变形向所求式转化,或将所求式进行变形向已知式转化.

    【变式训练3】 已知$\sin \left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)=\frac{1}{4}$,则$\sin \left(\frac{4 \pi}{3}-\alpha\right)$的值为(  ) 

    A.$\frac{1}{4}$           B.$-\frac{1}{4}$         C.$\frac{\sqrt{15}}{4}$        D.$-\frac{\sqrt{15}}{4}$

  • 题型四、易错辨析

    易错点 在化简求值中,往往对$n \pi+\alpha(n \in \mathbf{Z})$与$2 k \pi+\alpha(k \in \mathbf{Z})$不加区别而致错。

    【例4】 化简:$\cos \left(\frac{4 n+1}{4} \pi+x\right)+\cos \left(\frac{4 n-1}{4} \pi-x\right)(n \in \mathbf{Z})$

    反思

    化简$\sin (k \pi+\alpha), \cos (k \pi+\alpha)(k \in \mathbf{Z})$时,需对$k$是奇数还是偶数分类讨论,而$\tan (k \pi+\alpha)=\tan \alpha(k \in \mathbf{Z})$对k是奇数、偶数都成立.

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